文档内容
新高二开学摸底考试卷
数学·答案及评分标准
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C B A D A D C B D
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. / 12. （第一空3分，第二空2分）
13 . 14. 15.①④（答对一个给3分，全对给5分）
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）
【解】解：（1）因为 ，
所以 ，（6分）
（2）设 与 夹角为 ，则
，（8分）
因为 ，所以 ，
所以 与 夹角的大小为 ，（9分）
（3）因为 ，
所以 ，（11分）
所以 （13分）
17．（13分）
【解】（1）
如图所示，连接 ，交 于点 ，
在正方体 中， 平面 ，而 平面 ，
所以 ，（3分）
又因为在正方形 中， ，且注意到 ， 平面
，所以 平面 ，（3分）
而 平面 ，
所以 ；（8分）
（2）
如图所示，连接 ，（9分）
因为 分别为 的中点，所以 ，（11分）
而 平面 ， 平面 ，（12分）
从而 平面 .（13分）
18．（14分）
【解】（1）在 中，由正弦定理得 （4分）
因为 ，所以 ，（6分）
由余弦定理得 ，代入 ，
解得 或 （舍）（8分）
（2）由余弦定理推论得 ，（10分）
因为 ，所以角 ；（11分）
因此 的面积为 .（14分）
19．（15分）
【解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有 人，其中选择历史学科的学生有 人，
故估计高一年级选历史学科的学生有 人．（5分）
（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，
编号为 ， ， ， ， ，（6分）
从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为 ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种，
设 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，（8分）
则 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有 ， ， ， 共2种，（10分）
所以事件 发生的概率 ．（12分）（3）解： ，
，
，
，
，
，
当 取得最大值时， ．（15分）
20．（15分）
【解】（1）在 中，因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，所以 .（6分）
（2）由正弦定理得 ,
,
,
,
于是 ,（8分）
又 ，故 ，所以 或 ，（10分）
因此 （舍去）或 ，所以 .（12分）
（14分）
所以 是等腰直角三角形.（15分）
21．（15分）
【解】（1）因为 ，所以 ，（1分）
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，（2分）
因为三棱柱 ，所以四边形 是平行四边形，（3分）
因为 ，所以 是菱形，所以 ，（4分）
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，（5分）
因为 平面 ，所以 ；（6分）
（2）若选择条件①：（ⅰ）因为 ，所以平行四边形 为矩形，所以 ，（7分）
由（1）知， ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，（8分）
因为 平面 ，所以平面 平面 ；（9分）
（ⅱ）因为 平面 ， 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角为 ，所以 ，（10分）
因为 ，所以 ， ， ， ，（11分）
作 于 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .（12分）
作 于 ，连接 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角.（13分）
因为 ，所以 ，（14分）
因为 ，所以 ，所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .（15分）
若选择条件②： ，因为 ，
所以 ，所以 ，
由（1）知， ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ；（9分）
（ⅱ）因为 平面 ， 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， ， ，
作 于 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
作 于 ，连接 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角.（13分）
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .（15分）
