文档内容
新高二开学摸底考试卷（福建专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D B D C A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 BC AB ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】 /
13．【答案】
14【答案】 /
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·山西大同·期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上
的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分：
9.5 10.2 9.7 9.8 10.0 9.6 10.1 9.7 10.1 10.3
经计算得 ，其中 为抽取的第 件产品的评分， ．
(1)求这组样本的平均数和方差；
(2)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3．根据以上随机抽取的10件产品改进后
的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差．
【答案】(1)样本平均数为 ，样本方差为 ．(2)平均数为 ，方差为
【详解】（1）样本平均数为 ．（3分）
样本方差为 ．（7分）
（2）因为改进后随机抽取的10件产品的评分是改进前抽取的10件产品的评分每个提高0.3分，所以
改进后生产的产品评分的平均数 ，（10分）
方差为 ．（13分）
16．（23-24高一下·湖南株洲·期末）小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小
米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按
， ， ， 分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)销售部从年龄在 ， 内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人
中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.
【答案】(1)平均数为44.5，众数为45.
(2) .，
【详解】（1）由平均数计算公式，可估计平均数为
，（4分）
根据频率分步直方图，估计众数为45.（7分）
（2）由已知可得抽取的6人中，年龄在 内的有4人，分别记为 ；
年龄在 内的有2人，分别记为 ；
则从这6人中随机抽取2人的样本点为
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共15个；
记事件 “这2人取自不同年龄区间”，其包含样本点有 ， ， ， ，
， ， ， ，共8个，故这2人取自不同年龄区间的概率为 .（15分）
17．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角 中角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得 ，即 ，（2分）
由余弦定理 可得 ，（4分）
又 ，（5分）
则 ；（6分）
（2）由 ，则 、 ，（7分）
则 （8分）
，（9分）
由 为锐角三角形，可得 ，解得 ，（12分）
则 ，（13分）
则 ，（14分）
故 .（15分）
18．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知函数 （ ），其相邻两
个对称中心之间的距离为 .(1)求实数 的值及函数 的单调递增区间；
(2)将 图象上所有点向平左移 个单位长度，再将图象上所有点向上平移1个单位，得到函数
的图象，若 在 上有两个不同零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， 单调递增区间是 （ ）；
(2) .
【详解】（1）依题意， （3分）
因为相邻两个对称中心之间的距离为 ，
所以 的周期 ，解得 ，（4分）
所以 ，（5分）
由 ， ，
得 ，
所以 单调递增区间为 .（8分）
（2）由 ，可得 ，（9分）
由 ， ，
得 ， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 的图象如图所示：
因为 在 上有两个不同零点，（14分）
即直线 与函数 在 的图象有两个交点，此时 ，所以实数 的取值范围是 .（17分）
19．（23-24高一下·广东广州·期中）若 是定义在 上的增函数，其中 ，存
在函数 ， ，且函数 图像上存在两点 ， 图像上存在两
点 ，其中 两点横坐标相等， 两点横坐标相等，且 ，则称 在 上可以对
进行“ 型平行追逐”，即 是 在 上的“ 型平行追逐函数”. 已知
是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数．
(1)求满足 的 的值；
(2)设函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的
取值范围；
(3)若函数 是 在 上的“ 型平行追逐函数”，求正数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由于 是奇函数，故 ，即
恒成立，所以 ；（2分）
由于 是偶函数，故 ，即 恒成
立，所以 .（4分）
故 ， .现要解方程 ，而 ，故命题等
价于 ，即 .
这是关于正实数 的二次方程，解得 ，所以 .（6分）
（2）由于 ，
而 单调递增，且对 有 ，故当 时， 的取值范围是
.
从而命题等价于对任意的 ，有 ，即 .
若 ，则有 ，故条件对 不成立，不符合要求；
若 ，则对 有 ，符合要求.
所以 的取值范围是 .（11分）
（3）我们有 ， .
根据题目定义， 是 在 上的“ 型平行追逐函数”，当且仅当存在 ，满足
.
换言之，函数 在 上不是单调函数.
由于
，
而 在 上递增，取值范围为 .
故命题等价于 在 上不是单调函数.对 ，我们知道 在 上递减，在 上递增.
所以命题等价于 ，从而正数 的取值范围是 .（17分）
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对 型函数的单调性的反复运用.
