文档内容
2023 年重庆一中高 2024 届 12 月月考
数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知p：双曲线C的方程为 ，q：双曲线C的渐近线方程为 ，则（ ）
A. p是q的充要条件 B. p是q的充分不必要条件
C. p是q的必要不充分条件 D. p是q的既不充分也不必要条件
3. ， ，若 ，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设 ， ， ，则有（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知在四面体 中，底面 是边长为 的等边三角形，侧棱长都为 ，D为 的中点，
则直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地
理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
.
A 216种 B. 384种 C. 408种 D. 432种
7. 已知 为正项等比数列，且 ，若函数 ，则
（ ）
A. 2023 B. 2024 C. D. 1012
8. 已知 ， ， ， ， ，则 的最大值为（
）
A. B. 4 C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知左、右焦点分别为 ， 的椭圆 的长轴长为4，过 的直线交椭圆于P，Q两点，
则（ ）
A. 离心率
B. 若线段 垂直于x轴，则
C. 的周长为8
D. 的内切圆半径为1
10. 与二项式定理 类似，有莱布尼兹公式：
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学科网（北京）股份有限公司，其中 （ ，
2，…，n）为u的k阶导数， ， ，则（ ）
A. B.
C. D. ，则
11. 全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏
高手．下列说法正确的有（ ）
A. 全球游戏高手占比不超过10%
B. 某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1%
C. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8%
D. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%
12. 已知定义在 上的函数 满足 ， ，且实数
对任意 都成立（ ， ），则（ ）
A. B. 有极小值，无极大值
C. 既有极小值，也有极大值 D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
.
13 已知数列 满足 ，且 ，则 ______．
14. 已知 的两共轭虚根为 ， ，且 ，则 ______．
15. 已知圆 ，过直线 上一动点P作圆C的两条切线，切点分别
为A，B，则 的最小值为______．
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学科网（北京）股份有限公司16. 正方体 棱长为2，E，F分别是棱 ， 的中点，M是正方体的表面上一动点，
当四面体 的体积最大时，四面体 的外接球的表面积为______．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师
进行了调查．
附： ，其中 ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）完成下列 列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；
不喜欢看演唱
喜欢看演唱会 合计
会
文科老师 30
理科老师 40
合计 50
（2）三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到
的3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率．
18. 如图，在直三棱柱 中， ， ，E，F为 上分别靠近C和 的四等分点，
若多面体 的体积为40．
（1）求 到平面 的距离；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求二面角 的大小．
19. 已知数列 满足 ， ，且 ．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）若 ，求数列 的前n项的和 ．
的
20. 在锐角 中，角A，B，C所对 边分别为a，b，c，且a，b， 成等比数列．
（1）若 ，求角C；
（2）若 的面积为S，求 的取值范围．
21. 已知抛物线 的准线 交 轴于 ，过 作斜率为 的直线 交 于 ，过
作斜率为 的直线 交 于 ．
（1）若抛物线的焦点 ，判断直线 与以 为直径的圆的位置关系，并证明；
（2）若 三点共线，
为
①证明： 定值；
②求直线 与 夹角 的余弦值的最小值．
.
22 已知
（1）当 时，求 过点 的切线方程；
（2）若对 ， ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
[参考不等式： ]
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