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2022 年重庆市中考数学试卷 A 卷
一、选择题
1. 5的相反数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．
【详解】解：5的相反数是-5，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个
正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与
倒数的意义混淆．
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3. 如图，直线 ， 被直线 所截， ， ，则 的度数为（
）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴∠1+∠C=180°，
∵ ，
∴∠1=130°．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关
键．
4. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面 的高度 随飞行时间 的变化情况，
则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象可直接得出答案．
【详解】解：∵函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度 ，
∴由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，
故选：D．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键．
5. 如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ．若 的周长为
4，则 的周长是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 4 B. 6 C. 9 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设 的周长是x，
∵ 与 位似，相似比为 ， 的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
6. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有
9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，
则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A. 32 B. 34 C. 37 D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，
……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图
形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数
字之间的规律是解决问题的关键．
7. 估计 的值应在（ ）
A. 10和11之间 B. 9和10之间 C. 8和9之间 D. 7和8
之间
【答案】B
【解析】
【分析】先化简 ，利用 ，从而判定即可．
【详解】 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题
的关键．
8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平
均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）
2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为： ，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，
难度一般．
9. 如图，在正方形 中， 平分 交 于点 ，点 是边 上一点，连
接 ，若 ，则 的度数为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用正方形的性质得到 ， ，
，利用角平分线的定义求得 ，再证得 ，利用
全等三角形的性质求得 ，最后利用
即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ 平分 交 于点 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练
掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10. 如图， 是 的切线，B为切点，连接 交 于点 ，延长 交 于点
，连接 ．若 ，且 ，则 的长度是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 3 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用 ＝tan30°，即可求
出AB的长度．
【详解】解：连接OB，
∵OB＝OD，
∴ OBD是等腰三角形，
∴∠OBD＝∠D，
△
∵∠AOB是 OBD的一个外角，
∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，
△
∵ 是 的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵ ，
∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AO＝2OB＝AC＋OC，
∵OB＝OC，
∴OB＝AC＝3，
∵ ＝tan30°，
学科网（北京）股份有限公司∴AB＝ ．
故选：C
【点睛】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，
求出∠A＝30°是解决此题的关键．
11. 若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程
的解是负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是（ ）
A. －26 B. －24 C. －15 D. －13
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据
分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可．
【详解】∵ ，
解①得解集为 ，解②得解集为 ，
∵ 不等式组 的解集为 ，
∴ ，
解得a＞-11，
∵ 的解是y= ，且y≠-1， 的解是负整数，
∴a＜1且a≠-2，
∴-11＜a＜1且a≠-2，
故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数 的值之和是-8-5=-13，
故选D．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解
法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
12. 对多项式 任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为
学科网（北京）股份有限公司“加算操作”，例如： ，
，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和 为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】给 添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使
得 的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得 的符号为负号
∴②说法正确
∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是 、 、
、 ；
当括号中有三个字母，共有3种情况，分别 是、 、
；
当括号中有四个字母，共有1种情况，
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
二、填空题
13. 计算： _________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据绝对值和零指数幂进行计算即可．
【详解】解： ，
学科网（北京）股份有限公司故答案为：5．
【点睛】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
14. 有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机
抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的
字母相同的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，
然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）＝ ＝ ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时
要注意此题是放回实验还是不放回实验．
15. 如图，菱形 中，分别以点 ， 为圆心， ， 长为半径画弧，分别交对
角线 于点 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为_________．
（结果不取近似值）
【答案】
【解析】
【分析】连接BD交AC于点G，证明 ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的
性质及勾股定理求出AC，再由S ＝S －S －S 得出答案．
阴影 △菱形ABCD 扇形ADE 扇形CBF
【详解】解：连接BD交AC于点G，
学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵ ，
∴ ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴BD＝2，
△
∴BG＝ ，
∴ ，
∴AC＝ ，
∴S ＝S －S －S ＝ ，
阴影 菱形ABCD 扇形ADE 扇形CBF
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式
等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的
关键．
16. 为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预
算，这三座山各需两种树木数量和之比为 ，需香樟数量之比为 ，并且甲、
乙两山需红枫数量之比为 ．在实际购买时，香樟的价格比预算低 ，红枫的价格比
预算高 ，香樟购买数量减少了 ，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则
实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．
【答案】
【解析】
【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．
【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9x．甲、乙两山需红枫数量 、 ．
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故丙山的红枫数量为 ，
设香樟和红枫价格分别为 、 ．
∴
，
∴ ，
∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算
求解是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解
学科网（北京）股份有限公司题的关键．
18. 在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形 中， 是 边上的一点，
试说明 的面积与矩形 的面积之间的关系．他的思路是：首先过点 作
的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．
请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点 作 的垂线 ，垂足为 （只保留作图㾗迹）．
在 和 中，
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴__________________①
∵ ，
∴__________________②
又__________________③
∴ ．
同理可得__________________④
∴ ．
【答案】 、 、 、
【解析】
【分析】过点 作 的垂线 ，垂足为 ，分别利用AAS证得 ，
，利用全等三角形的面积相等即可求解．
【详解】证明：用直尺和圆规，过点 作 的垂线 ，垂足为 （只保留作图㾗迹）．
如图所示，
学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ①
∵ ，
∴ ②
又 ③
∴ ．
同理可得 ④
∴ ．
故答案为： 、 、 、
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键．
19. 公司生产 、 两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生
产的 、 型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘
量的数据（单位： ），并进行整理、描述和分析（除尘量用 表示，共分为三个等级：
合格 ，良好 ，优秀 ），下面给出了部分信息：
10台 型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台 型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的 、 型扫地机器人除尘量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
90 89 26.6
90 90 30
学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： _________， _________， _________；
（2）这个月公司可生产 型扫地机器人共3000台，估计该月 型扫地机器人“优秀”等
级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理
由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）95；90；20
（2）900台 （3） 型号更好，在平均数均为90的情况下， 型号的平均除尘量众数
大于B型号的平均除尘量众数90
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据 型扫地机器人中“优秀”等级所占
百分比和“良好”等级包含的数据可求出m；
（2）用总数乘以 型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；
（3）可从众数的角度进行分析判断．
【小问1详解】
解： 型中除尘量为95的有3个，数量最多，
所以众数a＝95；
B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%，
所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20；
因为B型中“合格”等级所占百分比为20%，
所以B型中“合格”的有2个，
所以B型中中位数b＝ ；
故答案为：95；90；20；
【小问2详解】
（台），
答：估计该月 型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台；
【小问3详解】
型号更好，
学科网（北京）股份有限公司理由：在平均数均为90的情况下， 型号的平均除尘量众数 大于B型号的平均除尘量
众数90．
【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计
表中获取有用信息是解题的关键．
20. 已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，
．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式 的解集；
（3）若点 是点 关于 轴的对称点，连接 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ，图见解析
（2） 或
（3）12
【解析】
【分析】（1）把 ， 分别代入 得到m，n的值，得到点A和点B的
坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；
（2）由函数图象可知，当 或 时，一次函数 的图象在反
比例函数 的图象的上方，即可得到答案；
学科网（北京）股份有限公司（3）根据点 是点 关于 轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三
角形的面积即可．
【小问1详解】
解：把 ， 分别代入 得，
， ，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴ 点A（1，4），点B（﹣2，﹣2），
把点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）代入一次函数 得，
，
解得 ，
∴一次函数的表达式是y＝2x＋2，
这个一次函数的图象如图，
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当 或 时，一次函数 的图象在反
比例函数 的图象的上方，
∴不等式 的解集为 或 ；
【小问3详解】
学科网（北京）股份有限公司解：∵点 是点 关于 轴的对称点，点B的坐标是（﹣2，﹣2），
∴点C的坐标是（2，﹣2），
∴BC＝2－（﹣2）＝4，
∴ ．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一
次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质
是解题的关键．
21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 地沿相同
路线骑行去距 地30千米的 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的
速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从 地出发，则甲、乙恰好同时到达 地，求甲骑行
的速度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设乙的速度为 ，则甲的速度为 ，根据甲出发半小时恰好
追上乙列方程求解即可；
（2）设乙的速度为 ，则甲的速度为 ，根据甲、乙恰好同时到达 地列
方程求解即可．
【小问1详解】
解：设乙的速度为 ，则甲的速度为 ，
由题意得： ，
解得： ，
则 ，
答：甲骑行的速度为 ；
【小问2详解】
设乙的速度为 ，则甲的速度为 ，
由题意得： ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司答：甲骑行的速度为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方
程是解题的关键．
22. 如图，三角形花园 紧邻湖泊，四边形 是沿湖泊修建的人行步道．经测量，
点 在点 的正东方向， 米．点 在点 的正北方向．点 ， 在点 的正北
方向， 米．点 在点 的北偏东 ，点 在点 的北偏东 ．
（1）求步道 的长度（精确到个位）；
（2）点 处有直饮水，小红从 出发沿人行步道去取水，可以经过点 到达点 ，也可
以经过点 到达点 ．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据： ，
）
【答案】（1）283米
（2）经过点 到达点 较近
【解析】
【分析】（1）过 作 的垂线，垂足为 ，可得四边形ACHE是矩形，从而得到
米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解；
（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．
【小问1详解】
解：过 作 的垂线，垂足为 ，
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，
∴四边形ACHE是矩形，
∴ 米，
学科网（北京）股份有限公司根据题意得：∠D=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∴DH=EH=200米，
∴ （米）；
【小问2详解】
解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，
在 中，
∴ 米，
∴经过点 到达点 ，总路程为AB+BD=500米，
∴ （米），
∴ （米），
∴经过点 到达点 ，总路程为 ，
∴经过点 到达点 较近．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解
题的关键．
23. 若一个四位数 的个位数字与十位数字的平方和恰好是 去掉个位与十位数字后得到
的两位数，则这个四位数 为“勾股和数”．
例如： ，∵ ，∴2543是“勾股和数”；
又如： ，∵ ， ，∴4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为
，记 ， ．当 ， 均是整数时，
求出所有满足条件的 ．
【答案】（1）2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析
（2）8109或8190或4536或4563．
【解析】
【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；
（2）由“勾股和数”的定义可得 ，根据 ， 均是整数可得
， 为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确
定出M．
【小问1详解】
解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；
学科网（北京）股份有限公司理由：∵ ， ，
∴1022不是“勾股和数”；
∵ ，
∴5055是“勾股和数”；
【小问2详解】
∵ 为“勾股和数”，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 为3的倍数，
∴① ， 或 ， ，此时 或8190；
② ， 或 ， ，此时 或4563，
综上，M的值为8109或8190或4536或4563．
【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题
关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 ，
．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 是直线 下方拋物线上的一动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点
作 轴的平行线交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
学科网（北京）股份有限公司（3）在（2）中 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单
位，点 为点 的对应点，平移后的抛物线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对
称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边
形是平行四边形，写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种
情况的过程．
【答案】（1）
（2） ，
（3） ； ；
【解析】
【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线 中求出b，c即可；
（2）设 交 于 ，可得 ，求出直线AB的解析式，设 ，
则 ， ，表示出 ，然后根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设 ，
，分情况讨论：①当 为对角线时，②当 为对角线时，③当
为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．
【小问1详解】
解：将点 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴该抛物线的函数表达式为： ；
【小问2详解】
如图，设 交 于 ，
∵ ， ，
∴OA＝OB＝4，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∵PC∥OB，PD∥OA，
∴ ， ，
∴ ，
设直线AB的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线AB的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
∴
，
∴当 时， 取得最大值 ，此时 ；
【小问3详解】
由题意得：平移后抛物线解析式为 ，
，
∴ ，
∵抛物线 的对称轴为 ，
∴设 ， ，
分情况讨论：
①当 为对角线时，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
解得： ，此时 ，
∴ ；
②当 为对角线时，
则 ，即 ，
此时 ，
∴ ；
③当 为对角线时，
则 ，即 ，
此时 ，
∴ ，
综上所述，点 的坐标为： ， ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函
数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关
键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四
边形的性质列方程．
25. 如图，在锐角 中， ，点 ， 分别是边 ， 上一动点，连接
交直线 于点 ．
（1）如图1，若 ，且 ， ，求 的度数；
学科网（北京）股份有限公司（2）如图2，若 ，且 ，在平面内将线段 绕点 顺时针方向旋转
得到线段 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ．在点 ， 运动过程中，
猜想线段 ， ， 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若 ，且 ，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到
，点 是 的中点，点 是线段 上一点，将 沿直线 翻折至
所在平面内得到 ，连接 ．在点 ， 运动过程中，当线段 取得
最小值，且 时，请直接写出 的值．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）在射线 上取一点 ，使得 ，证明 ，求出
，然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答
案；
（2）证明 ，求出 ，倍长 至 ，连接 ，PQ，证
明 ，求出 ，在CF上截取FP＝FB，连接BP，易得
为正三角形，然后求出 ，证 ，可得PQ＝PC，
∠QPF＝∠CPB＝60°，则可得 为正三角形，然后由
得出结论；
（3）根据 可知 轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心，此时AO垂
直平分BC，当 、 、 三点共线时， 取得最小值，设 ，解直角三角
形求出PL、PH，再用面积法求出PQ计算即可．
【小问1详解】
解：如图1，在射线 上取一点 ，使得 ，
∵ ，BC＝BC，
∴ （SAS），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
，
证明：∵ ， ，
∴ ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠DBC＝60°，
△
又∵ ，
∴ （SAS），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
倍长 至 ，连接 ，PQ，
∵CN＝QN，∠QNF＝∠CNM，NF＝NM，
∴ （SAS），
∴ ，∠QFN＝∠CMN，
由旋转的性质得AC＝CM，
∴ ，
在CF上截取FP＝FB，连接BP，
∵ ，
∴ ，
∴ 为正三角形，
∴∠BPF＝60°， ，
∴ ，
∵∠QFN＝∠CMN，
∴FQ∥CM，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
又∵ ，
∴ （SAS），
∴PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，
∴ 为正三角形，
∴ ，即 ；
【小问3详解】
由（2）知 ，
∴ 轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心，此时AO垂直平分BC，
∴ 、 、 三点共线时， 取得最小值，
∵∠PAO＝∠PAB＋∠BAO＝90°，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图3-2，作HL⊥PK于L，
设 ，
在Rt HLP中， ，即 ，
△
∴ ，
∴ ， ，
设PQ与HK交于点R，则HK垂直平分PQ，
∵S ＝ ，
PHK
△
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BC＝AP＝2 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，
平行线的性质，圆的基本性质，解直角三角形，勾股定理等知识，综合性较强，能够作出
合适的辅助线是解题的关键．
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