文档内容
重庆市 2022 年初中学业水平暨高中招生考试
数学试卷（B 卷）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
参考公式：抛物线 （ ）的顶点坐标为 ，对
称轴为 ．
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给
出了序号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题
号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义可得结果．
【详解】因为-2+2=0，所以-2的相反数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键．
2. 下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
学科网（北京）股份有限公司【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.是轴对称图形，故C正确；
D.不是轴对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3. 如图，直线 ，直线m与a，b相交，若 ，则 的度数为（ ）
A. 115° B. 105° C. 75° D. 65°
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求得结果．
【详解】∵ ，
∴ =115°（两直线平行同位角相等），
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，比较简单，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为（
）
A. 3时 B. 6时 C. 9时 D. 12时
【答案】C
【解析】
【分析】分析图象的变化趋势和位置的高低，即可求出答案．
【详解】解：∵ 观察小颖0到12时的心跳速度变化图，可知大约在9时图象的位置最高，
学科网（北京）股份有限公司∴在0到12时内心跳速度最快的时刻约为9时，
故选：C
【点睛】此题考查了函数图象，由纵坐标看出心跳速度，横坐标看出时间是解题的关键．
5. 如图， 与 位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则 与
的周长之比是（ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比
即可求解．
【详解】解：∵ 与 位似
∴
∵ 与 的位似比是1:2
∴ 与 的相似比是1:2
∴ 与 的周长比是1:2
故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质．
6. 把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3
个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数
为（ ）
.
A 15 B. 13 C. 11 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据第①个图案中菱形的个数： ；第②个图案中菱形的个数： ；第③
学科网（北京）股份有限公司个图案中菱形的个数： ；…第n个图案中菱形的个数： ，算出第
⑥个图案中菱形个数即可．
【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数： ；
第②个图案中菱形的个数： ；
第③个图案中菱形的个数： ；
…
第n个图案中菱形的个数： ，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为： ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变
化规律．
7. 估计 的值在（ ）
A. 6到7之间 B. 5到6之间 C. 4到5之间 D. 3到4
之间
【答案】D
【解析】
【分析】根据49<54<64，得到 ，进而得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵49<54<64，
∴ ，
∴ ，即 的值在3到4之间，
故选：D．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．
8. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设
该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，
再根据题意列出方程即可．
【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根
据题意列出方程： ．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多
理解、练习增长率相关问题．
9. 如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点O． E、F分别为 、 上
一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数为（
）
A. 50° B. 55° C. 65° D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用
OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进
而得到∠CBE的度数．
【详解】解：在正方形 中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵ ，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵ ，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题
的关键．
10. 如图， 是 的直径，C为 上一点，过点C的切线与 的延长线交于点P，
若 ，则 的长为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，根据 ， ，证出 ，求出
，在 中， , ，解得
、 的长度即可求出 的长度．
【详解】解：连接 ，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出
辅助线是解答此题的关键．
11. 关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组
的解集为 ，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 13 B. 15 C. 18 D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个
取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：
解得：
又题意得： 且
∴ 且 ，
由 得：
由 得：
∵解集为
∴
解得：
学科网（北京）股份有限公司综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13
故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本
题关键．
12. 对多项式 任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为
“加算操作”，例如： ，
，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】给 添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使
得 的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得 的符号为负号
∴②说法正确
∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是 、 、
、 ；
当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是 、 、
；
当括号中有四个字母，共有1种情况，
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在
学科网（北京）股份有限公司答题卡中对应的横线上．
13. _________．
【答案】3
【解析】
【分析】先计算绝对值和零指数幂，再进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数的运算，解答此题的关键是要掌握负数的绝对值等于它的相反数，
任何不为0的数的0次幂都等于1．
14. 不透明的袋子中装有 个红球和 个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，
放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求
解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，
所以两次都摸到红球的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
15. 如图，在矩形 中， ， ，以B为圆心， 的长为半轻画弧，交
于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留 ）
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出 ，进而求出 ，再根据扇形
的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形 ，
，
以B为圆心， 的长为半轻画弧，交 于点E， ，
，
在 中， ，
，
，
，
S ．
阴影
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，
综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．
16. 特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，
每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、
米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与
每包麻花的成本之比为_________．
【答案】4：3
【解析】
【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则
每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特
学科网（北京）股份有限公司产的总利润是总成本的25%列得 ，计算可得．
【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，
则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得
，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．
三、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．
【小问1详解】
解：
=
=
【小问2详解】
解：
=
=
学科网（北京）股份有限公司=
【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识
点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的
三角形的面积公式为 ．想法是：以 为边作矩形 ，点A在边 上，再
过点A作 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以
上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作 的垂线 交 于点
D．（只保留作图痕迹）
在 和 中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴______①____．
∵ ，
∴______②_____．
又∵____③______．
∴ （ ）．
同理可得：_____④______．
．
【答案】图见解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE
【解析】
【分析】根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到∠ADC=∠F，根据平行线的
性质得到∠1=∠2，即可证明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到结论．
【详解】解：如图，AD即为所求，
学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴∠ADC=∠F．
∵ ，
∴∠1=∠2．
又∵AC=AC．
∴ （ ）．
同理可得：△ABD≌△BAE．
．
故答案为：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，矩形的性质，熟练掌握
三角形的判定定理是解题的关键．
三、解答题（共7个小题，每小题10分，共70分）
19. 在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步
统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随机
抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析
（阅读时长记为x， ，记为6； ，记为7； ，记为8；…以此类
推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，
七年级抽取的学生课外阅读时长：
6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11，
七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.3 8.3
众数 a 9
学科网（北京）股份有限公司中位数 8 b
8小时及以上所占百分比 75% c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______________， ______________， ______________．
（2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以
上的学生人数．
（3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积
极性更高？请说明理由，（写出一条理由即可）
【答案】（1） ， ，
（2）160名 （3）八年级阅读积极性更高.理由：七年级和八年级阅读时长平均数一样，
八年级阅读时长的众数和中位数都比七年级高（合理即可）
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数、百分比的意义求解即可；
（2）用400名学生乘七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上所占的百分比
即可求解；
（3）根据七年级阅读时长为8小时及以上所占百分比比八年级高进行分析即可．
【小问1详解】
解：∵七年级学生阅读时长出现次数最多是8小时
∴众数是8，即
∵将八年级学生阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为
∴八年级学生阅读时长的中位数为 ，即
∵八年级学生阅读时长为8小时及以上的人数为13
∴八年级学生阅读时长为8小时及以上所占百分比为 ，即
综上所述： ， ，
【小问2详解】
学科网（北京）股份有限公司解： （名）
答：估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数为160名．
【小问3详解】
解：∵七年级和八年级阅读时长平均数一样，八年级阅读时长众数和中位数都比七年级高
∴八年级阅读积极性更高（合理即可）
【点睛】本题考查了条形统计图、统计表、众数、中位数等知识点，能够读懂统计图和统
计表并理解相关概念是解答本题的关键．
20. 反比例函数 图象如图所示，一次函数 （ ）的图象与 的
的
图象交于 ， 两点，
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式 的解集；
（3）一次函数 的图象与x轴交于点C，连接 ，求 的面积．
【答案】（1）一次函数的表达式为 ；函数图象见解析；
（2） 或
（3）2
【解析】
【分析】（1）把 ， 分别代入 求出m，n的值，再运用待系数法求
出a，b的值即可；
（2）根据交点坐，结合函数图象即可解答；
（3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
学科网（北京）股份有限公司∵一次函数 （ ）的图象与 的图象交于 ， 两点，
∴把 ， 分别代入 ，得，
，
解得， ，
∴ ， ，
把 ， 代入 ，得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为 ；
画出函数图象如下图：
【小问2详解】
∵直线 与反比例函数 交于点A（1，4），B（-2，-2）
∴当 或 时，一次函数 的图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式 的解集为 或 ；
【小问3详解】
如图，
学科网（北京）股份有限公司对于 ，当 时， ，
解得， ，
∴点C的坐标为（-1，0）
∵A（1，4）
∴
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等
式的关系．
21. 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建
20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙
施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后
的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，
灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少
米？
【答案】（1）100米
（2）90米
【解析】
【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 米，
根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方
程即可得出答案；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 米，根据水
渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时
开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可
学科网（北京）股份有限公司得出答案．
【小问1详解】
解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 米，
则有
解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
【小问2详解】
∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 米，即1.2y
米
则有
解得
经检验， 是原方程的解，符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题
意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．
22. 湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A
处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿
方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向
上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．
学科网（北京）股份有限公司（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据： ）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇
能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【答案】（1）湖岸A与码头C的距离为1559米
（2）在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船
【解析】
【分析】（1）过点 作 垂线，交 延长线于点 ，设 ，则 ，
， ，在 中， ，即可求出 ，
根据 中， 即可求出湖岸 与码头 的距离；
（2）设快艇将游客送上救援船时间为 分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇
行驶的路程= ，列出方程，求出时间 ，再和5分钟进行比较即可求解．
【小问1详解】
解：过点 作 垂线，交 延长线于点 ，如图所示，
由题意可得： ， ， 米，则 ，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
∴ （米），
∴湖岸 与码头 的距离为1559米；
【小问2详解】
解：设快艇将游客送上救援船时间为 分钟，
由题意可得： ，
，
∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含
30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题
的关键．
23. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之
和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵ ，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵ ，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且
．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 ，最小的两位
数记为 ，若 为整数，求出满足条件的所有数A．
【答案】（1）357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
（2）数A可能为732或372或516或156
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出 ，根据 ， 是最
大的两位数， 是最小的两位数，得出 ，
（k为整数），结合 得出 ，根据已知条件得出
，从而得出 或 ，然后进行分类讨论即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵ ，
学科网（北京）股份有限公司∴357不是15“和倍数”；
∵ ，
∴441是9的“和倍数”．
【小问2详解】
∵三位数A是12的“和倍数”，
∴ ，
∵ ，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数 ，最小的两位数
，
∴ ，
∵ 为整数，
设 （k为整数），
则 ，
整理得： ，
根据 得： ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得：
，
整理得： ，
∵ ，k为整数，
∴ 或 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ， ，或 ， ， ，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”；
当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ，
∵ ，
∴ 不是12的“和倍数”，
∵ ，
∴ 不是12的“和倍数”；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
， ， ，组成的三位数为516或156，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征
和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴
交于点 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线 上方抛物线上一动点，过点P作 轴于点Q，交 于点M，
求 的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 与点P关于抛物线 的对称轴对称．将抛
物线 向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，
点D在l上，直接写出所有使得以点A、 、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的
坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2） 最大值为： ，
（3） 、 、
【解析】
【分析】（1）将 、 代入抛物线 ，即可求出抛物线的解
析式；
（2）根据 得到 ，推出
，即可得到 ，则 ，求出直线
的解析式为： ，设 ，则 ， ，
求出 ，即可求解；
（3）先求出平移后新抛物线解析式： ， ， ，设
， ，再利用平行四边形中心对称性分情况列出方程组求
解即可．
【小问1详解】
学科网（北京）股份有限公司解：将 、 代入抛物线 可得： ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为： ；
【小问2详解】
解：∵ 、 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
将 、 代入可得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
设 ，则 ， ，
∴
∵ ， ，
∴当 时，存在 最大值，最大值为： ，此时 ；
学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
解：∵对称轴为： ，
∴ ，
∵直线 ： ，
∴抛物线向右平移 个单位，
∴ ，
， ，设 ， ，
①以 、 为对角线时， ，解得
∴ ；
②以 、 为对角线时， ，解得
∴ ；
③以 、 为对角线时， ，解得
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边
形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求
得二次函数和一次函数解析式．
25. 在 中， ， ，D为 的中点，E，F分别为 ，
上任意一点，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转90°得到线段 ，连接 ，
．
学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，点E与点C重合，且 的延长线过点B，若点P为 的中点，连接 ，
求 的长；
（2）如图2， 的延长线交 于点M，点N在 上， 且
，求证： ；
（3）如图3，F为线段 上一动点，E为 的中点，连接 ，H为直线 上一动点，
连接 ，将 沿 翻折至 所在平面内，得到 ，连接 ，直接
写出线段 的长度的最小值．
【答案】（1）2 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得 为 的中点，证明 ，进而根据直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，
，可得 ，进而根据 ，
即可得出结论，
（3）根据（2）可知 ，当点 在线段 上运动时，点 在平行于 的
线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解．
【小问1详解】
如图，连接
学科网（北京）股份有限公司将线段 绕点E顺时针旋转90°得到线段 ，
是等腰直角三角形，
P为FG的中点，
，
，
，
，D为 的中点， ，
， ，
，
在 中， ；
【小问2详解】
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
,
，
，
，
，
；
【小问3详解】
由（2）可知 ，
则当点 在线段 上运动时，点 在平行于 的线段上运动，
学科网（北京）股份有限公司将 沿 翻折至 所在平面内，得到 ，
E为 的中点，
，
，
则点 在以 为圆心 为半径的圆上运动，当 三点共线时， 最小，
如图，当 运动到与 点重合时， 取得最小值， ．
如图，当点 运动到与 点重合时， 取得最小值，
此时 ，则 ．
综上所述， 的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全
等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助
线是解题的关键．
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