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泰安市 2023 年初中学业水平考试数学试题
一、选择题
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1，是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、利用
积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解： 和 不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；
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故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握完全
平方公式是解本题的关键.
3. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的
研究，精确测定了月球的年龄是 亿年，数据 亿年用科学记数法表示为（ ）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10时，
n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： 亿年 年 年，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4. 小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如下四种图形，则既是轴对称图形又是中心对
称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
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形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180度后与原图重
合，即可得到答案．
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握概念是解题关键．
5. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若 ，则 的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，过点O作 ，则 ，由平行线的性质得到
，进而推出 ，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选B．
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【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关
键．
的
6. 为了解学生 身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级
二班随机抽取了 名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ．根据这组数据判断下列结论中错误的是（ ）
A. 这组数据的众数是 B. 这组数据的中位数是
C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的方差是
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数 的定义，中位数，平均数，方差的计算方法即可求解．
【详解】解： 、这组数据中出现次数最多的是 ，故众数是 ，正确，不符合题意；
、这组数据重新排序为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故中位数是
，错误，符合题意；
、这组数据 的平均数是 ，故平均数是 ，正确，
不符合题意；
、这组数据的平均数是 ，方差是 ，故方差是 ，
正确，不符合题意；
故选： ．
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【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算，掌握众数的概念，中位数，平均数，方差的计算
方法是解题的关键．
7. 如图， 是 的直径，D，C是 上的点， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关
键．
8. 一次函数 与反比例函数 （a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是
（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出 的符号，由此可以确定反比例函数图象所在
的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
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D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决
本题的关键．
9. 如图， 是 的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若 ， ，则
阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得 ，再根据扇
形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出
是解答的关键．
10. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之
重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相
同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻
了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根
据题意得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量 11枚白银的重量；②（10枚白银的重量 枚黄金
的重量） （1枚白银的重量 枚黄金的重量） 两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得， ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
11. 如图， 是等腰三角形， ．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点
F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH
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交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线
MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：① ；② ；③ ；④当
时， ．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形两底角相等与 ，得到 ，根据角平分线定义得到
，根据线段垂直平分线性质得到 ，得到 ，推出
，得到 ，推出 ，①正确；根据等角对等边得到 ，
，根据三角形外角性质得到 ，得到 ，推出 ，②正确；
根据 ，得到 ，推出 ，③错误；根据 时，
，得到 ,推出 ，④正确．
9【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】∵ 中， ， ，
∴ ，
由作图知， 平分 ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，①正确；
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，②正确；
设 ， ，
则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，③错误；
当 时， ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，
相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．
12. 如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ；
中， ，连接 ，点M是 中点，连接 ．将
以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ）
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. 3 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点A的坐标为 得到 ，
再证明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点C在以O
为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求
出 的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，
∵ 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M为 中点，点A为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∵将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
12【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角
形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
13. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
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，则方程没有实数根．
14. 为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出
，则这张光盘的半径是_______ ．（精确到 ．参考数据： ）
【答案】
【解析】
【分析】设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接 ，经过圆外一点A的两条直
线 都与圆O相切，所以 为 的角平分线， ，同时
由 切 线 的 性 质 得 到 ， 在 中 ， ， 求 出
，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
【详解】解：设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接 ，如下图所示：
∵ 分别为圆O的切线，
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∴ 为 的角平分线，即 ，
又∵ ,
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
则这张光盘的半径为 ；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握
性质及定理是解本题的关键．
15. 二次函数 的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：
二次函数开口向下，
顶点处取最大值，
即当 时，最大值为 ．
故答案为： ．
15【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题
的关键，也是易错点．
16. 在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，
测得该塔顶端B的仰角为 ，后退 （ ）到D处有一平台，在高 （ ）的平
台上的E处，测得B的仰角为 ．则该电视发射塔的高度 为_______ ．（精确到 ．参考数据：
）
【答案】55
【解析】
【分析】如图所示，过点E作 于F，则四边形 是矩形，可得到
；设 ，则 ，解 得到 ，
解 得到 ，进而建立方程
，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作 于F，
由题意得， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，则 ，
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在 中， ，
∴ ，
在中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：55．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的
性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．
17. 如图，在 中， ，点D在 上，点E在 上，点B关于直线 的轴对称点
为点 ，连接 ， ，分别与 相交于F点，G点，若 ，则 的长度
为__________．
17【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】
【解析】
【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明 ，进而证明 ，则 ，然
后代值计算求出 ，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明
是解题的关键．
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
18. 已知， 都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点
都在x轴正半轴上，且 ，则点 的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：
如图：过 作 轴，
∵
∴
∴ ,
同理：
∴ 为偶数， 为奇数；
∵ ，2023为奇数
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规
律是解答本题的关键．
三、解答题
19. （1）化简： ；
（2）解不等式组： ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得： ，
20【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．
20. 2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做
党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结
果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如
图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同
一出口走出的概率．
【答案】（1）200，108
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出获奖选手的总数，进而求出B级的人数，由此即可
求出C级的人数，再用360度乘以C级的人数占比即可得到答案；
（2）求出B级的人数，然后补全统计图即可；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即
可．
【小问1详解】
解： 名，
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴本次竞赛共有200名选手获奖，
∴C级的人数为 名，
∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 度，
故答案为：200，108；
【小问2详解】
解：B级的人数为 名，
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：设这三个出口分别用E、F、G表示，列表如下：
E F G
E （E，E） （F，E） （G，E）
F （E，F） （F，F） （G，F）
G （E，G） （F，G） （G，G）
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数
有3种，
∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率 ．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统
计图，画出树状图或列出表格是解题的关键．
21. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象分别交于点 ，点 ，与 轴， 轴
分别交于点 ，点 ，作 轴，垂足为点 ， ．
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当 时，直接写出 的取值范围；
（3）点 在 轴负半轴上，连接 ，且 ，求点 坐标．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）求出点 坐标，即可求出反比例函数解析式；
（2）观察图象特点，即可得出取值范围；
（3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段 长，最后由线段和差即可求出 的长．
【小问1详解】
∵ ， 轴，
∴ ，点 的纵坐标为 ，
∵点 在 图象上，
∴当 时， ，解得： ，
∴点 坐标为 ，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵反比例函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为： ；
【小问2详解】
如图，在第二象限内，当 时， ，
【小问3详解】
如图，过 作 轴于点 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即： ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 得： 时， ，解得： ，
∴点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量 的取
值范围，相似三角形的判定等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
22. 为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购
买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一
个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按
批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【答案】这个学校九年级学生有300人．
【解析】
【分析】设零售价为x元，批发价为y，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600
除以零售价即可解答．
【详解】解：设零售价为x元，批发价为y，
根据题意可得：
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，解得： ，
则学校九年级学生 人．
答：这个学校九年级学生有300人．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的
关键．
23. 如图，矩形 中，对角线 相交于点O，点F是 边上的一点，连接 ，将
沿直线 折叠，点D落在点G处，连接 并延长交 于点H，连接 并延长交 于点
M，交 的延长线于点E，且 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）求证： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明 ， ，由此
即可证明 得到 ，进而推出 ，再由 ，即可证
明四边形 是平行四边形；
（2）由（1）的结论可得 ，进一步证明 ，再证明 ，即可证明
．
【小问1详解】
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形于折叠问题，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟
练掌握相关知识是解题的关键．
24. 如图， 、 是两个等腰直角三角形， ．
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）当 时，求 ；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）见详解
【解析】
【分析】（1）先证明 ，再证明 是线段 的垂直平分线，即有 ，即
是等边三角形，问题得解；
（2）根据垂直可得 ，又根据 ，可得
，即可证明；
（3）过H点作 于点K，先表示出 ，根据 是线段 的垂直平分线，
可得 ，即可得 ，进而可得 ，则有
，结合 ， ，可得 ，再证明 ，即可证明．
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ 、 是两个等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴等腰直角 中， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，即 是等边三角形，
∴ ；
【小问2详解】
在（1）中有 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
过H点作 于点K，如图，
∵ ， ，
∴ ，
29【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，即是等腰 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
在（1）中已证明 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，
作出科学的辅助线，是解答本题的关键．
25. 如图1，二次函数 的图象经过点 ．
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（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P在二次函数对称轴上，当 面积为5时，求P坐标；
（3）小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使 ；请判断小明的说法是否正确，
如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 或
（3）正确，
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线 解析式，然后通过设 点坐标，并表示对应 点坐标，从而利用“割补法”计算
的面积表达式并建立方程求解即可；
（3）首先连接 ， ，设 与对称轴交点为 ，对称轴与 轴交点为 ，连接 ，延长 与
对称轴交于点 ，根据已知信息求出 ，然后推出 ，从而在 中求出
，确定出 点坐标，再求出直线 解析式，通过与抛物线解析式联立，求出交点 的坐标即可．
【小问1详解】
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解：将 代入 得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
【小问2详解】
解：由抛物线 可知，其对称轴为直线 ， ，
设直线 解析式为： ，
将 ， 代入解得： ，
∴直线 解析式为： ，
此时，如图所示，作 轴，交 于点 ，
∵点P在二次函数对称轴上，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
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∵要使得 面积为5，
∴ ，解得： 或 ，
∴ 的坐标为 或 ；
【小问3详解】
解：正确， ，理由如下：
如图所示，连接 ， ，设 与对称轴交点为 ，对称轴与 轴交点为 ，连接 ，延长 与
对称轴交于点 ，
由（1）、（2）可得 ， ，
∴ ， ，
根据抛物线的对称性， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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在 中， ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
即：在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 解析式为： ，
将 、 代入解得： ，
∴直线 解析式为： ，
联立 ，解得： 或 （不合题，舍去）
∴小明说法正确，D的坐标为 ．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括“割补法”计算面积，以及解直角三角形等，掌握二次函数的性
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质，并熟练运用解三角形的方法进行数形结合分析是解题关键．
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