文档内容
2026年中考数学常考考点专题之圆
一．选择题（共12小题）
1．（2025•费县一模）如图，AB，AC，AD分别是直径为AE的 O的内接正六边形、正方形、正三角形
的一边．若AB＝2，给出下面四个结论：① O的直径为4⊙；②AC=2√2；③^BC=C^D；④连接
BC，则△ABC的面积是√3-1．上述结论中，⊙所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
2．（2025•阳泉模拟）如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，延长AB，DC交于点E，延长AD，BC
交于点F．若∠A＝40°，∠E＝55°，则∠F的⊙度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
3．（2025•徐州校级模拟）如图，点A、B、C、D在 O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（ ）
⊙
A．120° B．130° C．100° D．125°
4．（2025•琼中县一模）如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上，连接AC，AD，BD，CD．若∠C
＝50°，则∠BAD的度数为（ ）⊙ ⊙
第1页（共47页）A．30° B．40° C．45° D．50°
5．（2025•盐山县二模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为 5cm，瓶内液体的最大深度CD＝
2cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）cm．
A．4√2 B．6 C．8 D．8.4
6．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE
为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（ ）
4π 4π 4π 4π
A．5√3- B．5√3+ C．3√3- D．3√3+
3 3 3 3
7．（2025•西安校级模拟）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是
（ ） ⊙
A．100° B．110° C．120° D．125°
第2页（共47页）8．（2025•船营区校级模拟）如图，半径为2的 O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则
AB的长为（ ） ⊙
A．2√2 B．2 C．√2 D．1
9．（2025•涿州市校级三模）如图，△ABC与△ACD中，AD=AC=DC=2√3，∠BAC：∠B：∠ACB
＝1：2：3，则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为（ ）
A．2 B．√3+1 C．2√3 D．3
10．（2025•湖南模拟）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．
小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于 A、B、
C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底
的直径为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
11．（2025•鼎湖区模拟）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的
半径r＝1 cm，扇形的圆心角 ＝120°，则该圆锥的母线长l为（ ）cm．
θ
第3页（共47页）A．1 B．12 C．3 D．6
12．（2025•沂水县校级一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田
一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若
能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内
可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直
径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
x
A． （x+3）2﹣x2＝72 B．π( +3) 2-x2=72
2
π
x
C． （x+3）2﹣x2＝36 D．π( +3) 2-x2=36
2
π
二．填空题（共8小题）
13．（2025•莱西市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O分别交BC，AC于点
D，G，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．当DB＝BF＝5时⊙，阴影部分的面积为
．
14．（2025•泉山区校级模拟）如图，AB为 O的直径，∠ACB的平分线交 O于点D，则∠ACD＝
． ⊙ ⊙
第4页（共47页）15．（2025•沭阳县校级模拟）如图，在 O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝
19°，则∠BAC＝ ． ⊙
16．（2025•凉州区一模）如图，AB是 O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则
线段CE的长为 ⊙ ．
17．（2025•九龙坡区校级模拟）如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2√5，点C是半圆弧上的任意
点，点 F 是^AC的中点，连结 BF 交 AC 于点 E，AD 平分∠CAB 交 BF 于点 D，则∠ADB＝
度；当DB＝DF时，BC的长为 ．
18．（2025•惠山区一模）如图，BD是 O的直径，点A、C在同一半圆上，∠CBD＝27°，则∠A的度数
为 ． ⊙
第5页（共47页）19．（2025•大庆）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，
以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE
为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半
径顺时针作弧 FG交DC的延长线于点 G，得到扇形 FCG，依此类推进行操作，其中^DE，^EF，
^FG，G^H，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经
过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留 ）
π
20．（2025•金凤区校级模拟）如图是一个圆形拱桥的截面，已知直径为 52，若水面宽AB＝48，则水的
最大深度是 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•遵义模拟）如图， O是△ABC的外接圆，A是优弧BC上一点，设∠OCB＝ ，∠A＝ ．
（1）当 ＝42°时， ＝ ⊙ ； α β
（2）猜想β 与 之间α的关系，并给予证明；
（3）若点
α
A平分
β 优弧BC，且OC2= 1 BC2
，猜想△ABC的形状，并说明理由．
3
第6页（共47页）22．（2025•苍梧县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AB是 O的直径， O交BC于
点D，DE⊥AC于点E，BE交 O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点⊙P． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线⊙；
⊙ 1
（2）若OA＝2，tan∠ABE= ，求线段AP的长．
2
23．（2025•嘉峪关校级二模）如图所示，AB是 O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交 O于点D，点E
在 O上． ⊙ ⊙
（⊙1）若∠AOD＝64°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
24．（2025•浑南区二模）已知：如图，△ABC内接于 O，点E为 O上一点，连接EB，EA，其中EA
经过圆心O，EA的延长线交射线CD于点D，若∠A⊙CD＝∠ABC．⊙
（1）求证：CD是 O切线；
（2）若AC＝5，∠⊙ACD＝30°，求^EC的长．
第7页（共47页）25．（2025•费县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点F在AB上，以AF为直径的 O与边BC
相切于点D，与边AC相交于点E，且^AE=^DE，连接EO并延长交 O于点G，连接BG．⊙
（1）求证：BG是 O的切线． ⊙
⊙8
（2）若^DE的长为 π，求图形中阴影部分的面积．
3
第8页（共47页）2026年中考数学常考考点专题之圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B B B C A B A A B C
题号 12
答案 B
一．选择题（共12小题）
1．（2025•费县一模）如图，AB，AC，AD分别是直径为AE的 O的内接正六边形、正方形、正三角形
的一边．若AB＝2，给出下面四个结论：① O的直径为4⊙；②AC=2√2；③^BC=C^D；④连接
BC，则△ABC的面积是√3-1．上述结论中，⊙所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质；勾股定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正多边形的性质以及圆心角定理即可判断③；再利用OA＝OB＝OC＝OD即可判断①；
借助勾股定理可求出AC，即可判断②；过点A作AH⊥BC交BC延长线于点H，根据等边三角形的性
质先求出∠HBA＝45°，判定△AHB 是等腰直角三角形，可得 AH＝BH，结合勾股定理求得
CH=√AC2-AH2，则BC＝CH﹣BH，利用面积公式求解即可．
【解答】解：如图1，AB，AC，AD分别是直径为AE的 O的内接正六边形、正方形、等边三角形的
一边，连接OB，OC，OD， ⊙
第9页（共47页）∴∠AOB＝60°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠COD，
即^BC=C^D，
故结论③正确，符合题意；
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB是等边三角形，△AOC是等腰直角三角形，
∴AE＝2OA＝2AB＝4，
故结论①正确，符合题意；
∵AE＝2OA＝2AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
由勾股定理可得，AC=√OA2+OC2=2√2，
故结论②正确，符合题意；
如图2，过点A作AH⊥BC交BC延长线于点H，
∵∠COB＝30°，OC＝OB，
1
∴∠OCB=∠OBC= ×(180°-30°)=75°，
2
∵△AOB是等边三角形，
第10页（共47页）∴∠ABO＝60°，
∴∠HBA＝180°﹣∠CBO﹣∠ABO＝45°，
∴△AHB是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴AH=BH=√2，
在直角三角形ACH中，AC=2√2，
由勾股定理得：CH=√AC2-AH2=√6，BC=CH-BH=√6-√2，
1 1
∴S = ⋅CB⋅AH= ×(√6-√2)×√2=√3-1，
△ABC 2 2
故结论④正确，符合题意，
综上所述，所有正确结论的序号是①②③④，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题
的关键．
2．（2025•阳泉模拟）如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，延长AB，DC交于点E，延长AD，BC
交于点F．若∠A＝40°，∠E＝55°，则∠F的⊙度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【考点】圆内接四边形的性质；三角形的外角性质．
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【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDF，根据圆内接四边形的性质和三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为 O的内接四边形，∠A＝40°，∠E＝55°，
∴∠CDF＝∠A+∠E＝95°， ⊙
∵∠A＝40°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠F＝∠BCD﹣∠CDF＝45°，
故选：B．
第11页（共47页）【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形外角的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解
题的关键．
3．（2025•徐州校级模拟）如图，点A、B、C、D在 O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（ ）
⊙
A．120° B．130° C．100° D．125°
【考点】圆周角定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
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【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OC，则∠1＝2∠A＝50°，由平行线的性质以及等腰三角形得到∠2＝∠3＝∠1＝50°，再
由三角形内角和定理求出∠COD，再由角度和差计算即可．
【解答】解：连接OC，
∵∠A＝25°，
∴∠1＝2∠A＝50°，
∵BO∥CD，
∴∠2＝∠1＝50°，
∵OC＝OD，
∴∠2＝∠3＝50°，
∵∠2+∠3+∠COD＝180°，
∴∠COD＝180°﹣∠2﹣∠3＝80°，
∴∠BOD＝∠1+∠COD＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添
加辅助线是解题的关键．
第12页（共47页）4．（2025•琼中县一模）如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上，连接AC，AD，BD，CD．若∠C
＝50°，则∠BAD的度数为（ ）⊙ ⊙
A．30° B．40° C．45° D．50°
【考点】圆周角定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB＝90°，再由三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相
等即可得到答案．
【解答】解；∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°， ⊙
∵∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，关键是熟练掌握圆周角定理．
5．（2025•盐山县二模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为 5cm，瓶内液体的最大深度CD＝
2cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）cm．
A．4√2 B．6 C．8 D．8.4
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
1
【分析】由垂径定理得AC＝BC= AB，再由勾股定理得AC＝4cm，即可得出结论．
2
第13页（共47页）【解答】解：由题意得：OC⊥AB，
1
∴AC＝BC= AB，∠OCA＝90°，
2
由OA＝OD＝5cm，CD＝2cm可知：
OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
AC=√52-32=4（cm），
∴AB＝2AC＝8（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
6．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE
为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（ ）
4π 4π 4π 4π
A．5√3- B．5√3+ C．3√3- D．3√3+
3 3 3 3
【考点】扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】A
【分析】连接AC，将阴影部分的面积转化为四边形AECF与中间空白部分两边形面积的差即可解决问
题．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
第14页（共47页）∴AB∥CD，AB＝BC＝4．
又∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．
∵点E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
1
∵BE= BC=2，
2
∴AE=√3BE=2√3，
1
∴S = ×2×2√3=2√3，
△AEC 2
同理可得，S =2√3，
△AFC
∴S =2√3+2√3=4√3．
四边形AECF
120⋅π⋅22 4 1
∵S = = π，S = ×2√3×1=√3，
扇形CEF 360 3 △CEF 2
4
∴中间空白部分两边形的面积为 π-√3，
3
4 4
∴阴影部分的面积为4√3-( π-√3)=5√3- π．
3 3
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟知菱形的性质
及扇形的面积公式是解题的关键．
7．（2025•西安校级模拟）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是
（ ） ⊙
A．100° B．110° C．120° D．125°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
第15页（共47页）【答案】B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D，再利用圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴﹣∠ABC+∠D＝180°， ⊙
∵∠ABC＝125°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×55°＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2025•船营区校级模拟）如图，半径为2的 O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则
AB的长为（ ） ⊙
A．2√2 B．2 C．√2 D．1
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OA，OB，根据AD＝BC，可得^AB=C^D，所以∠C＝∠CAD，由AD⊥BC，可得∠C＝
∠CAD＝45°，所以∠O＝2∠C＝90°，即可求出AB=√2OA＝2√2．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵AD＝BC，
∴^AD=^BC，
∴^AB=C^D，
∴∠C＝∠CAD，
第16页（共47页）∵AD⊥BC
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
∴∠O＝2∠C＝90°，
∴AB=√2OA＝2√2．
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
9．（2025•涿州市校级三模）如图，△ABC与△ACD中，AD=AC=DC=2√3，∠BAC：∠B：∠ACB
＝1：2：3，则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为（ ）
A．2 B．√3+1 C．2√3 D．3
【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，并延长交AB于点F，得△ABC的外心，过点A作AE平分
∠DAC交DG于点E，则点E为△ACD的内心，证明△ACD和△AEF是等边三角形，从而可以解答．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AC于点G，并延长交AB于点F，
△ACD中，AD=AC=DC=2√3，
∴△ACD是等边三角形，点G为AC中点，
过点A作AE平分∠DAC交DG于点E，则点E为△ACD的内心，∠EAC＝30°，
∵△ABC中，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3，
∴∠BAC＝30°，∠B＝60°，∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，∠EAF＝∠EAC+∠BAC＝60°，
∴∠AFE＝∠B＝60°，
∵AG＝CG，
第17页（共47页）∴点F为AB中点，即点F为△ABC的外心，
∴△AEF是等边三角形，
∵AC=2√3，
∴在Rt△ABC中，AB＝4，
∴EF＝AF＝2．
则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为2．
故选：A．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的内心和外心的性质，
确定等边三角形的内心和直角三角形的外心是解本题的关键．
10．（2025•湖南模拟）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．
小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于 A、B、
C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底
的直径为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂径定理求出BN，CM的长，设ON＝x，由勾股定理得到（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，求出x
的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，
∴MN＝3.5cm，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
1 1 1 1
∴CM= CD= ×4=2(cm)，BN= AB= ×3=1.5(cm)，
2 2 2 2
设ON＝x cm，
∴OM＝MN﹣ON＝（3.5﹣x）cm，
∵OM2+MC2＝OC2，ON2+BN2＝OB2，
第18页（共47页）∴OM2+MC2＝ON2+BN2，
∴（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，
∴12.25﹣7x+x2+4＝x2+2.25，
∴7x＝14，
∴x＝2，
∴ON＝2（cm），
∴OB=√ON2+MB2=√22+1．52=2.5(cm)，
∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
11．（2025•鼎湖区模拟）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的
半径r＝1 cm，扇形的圆心角 ＝120°，则该圆锥的母线长l为（ ）cm．
θ
A．1 B．12 C．3 D．6
【考点】圆锥的计算．
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【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2 ×1＝2 cm，
120πlπ π
设圆锥的母线长为l，则： =2 ，
180
π
解得l＝3．
第19页（共47页）故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公
nπr
式为： ．
180
12．（2025•沂水县校级一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田
一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若
能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内
可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直
径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
x
A． （x+3）2﹣x2＝72 B．π( +3) 2-x2=72
2
π
x
C． （x+3）2﹣x2＝36 D．π( +3) 2-x2=36
2
π
【考点】垂径定理的应用；数学常识；由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；圆的有关概念及性质；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．
x
【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： （ +3）2﹣x2＝72．
2
π
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用、正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确
表示出圆的面积是解题关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•莱西市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O分别交BC，AC于点
D，G，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．当DB＝BF＝5时⊙，阴影部分的面积为
第20页（共47页）25√3 25π
- ．
2 6
【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
25√3 25π
【答案】 - ．
2 6
【分析】连接AD，由圆周角定理证明∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质证明点D是BC的中点，从
而由三角形中位线定理证明 OD∥AC，由平行线的性质证明∠ODF＝90°，由∠ODB+∠BDF＝
∠DOB+∠F＝90°、∠BDF＝∠F、∠ODB＝∠DBO证明∴△BOD是等边三角形，由等边三角形的性质、
特殊角的三角形函数值、三角形面积公式求出△ODF的面积，由扇形面积公式求出扇形BOD的面积，
再根据阴影部分的面积＝△ODF的面积﹣扇形BOD的面积计算即可．
【解答】解：如图，连接AD．
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵AB＝AC，
∴点D是BC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
第21页（共47页）∴∠AEF＝90°，
∴∠ODF＝∠AEF＝90°，
∴∠ODB+∠BDF＝∠DOB+∠F＝90°，
∵DB＝BF＝5，
∴∠BDF＝∠F，
∴∠ODB＝∠DOB，
∵∠ODB＝∠DBO，
∴∠ODB＝∠DOB＝∠DBO，
∴△BOD是等边三角形，
∴OB＝OD＝DB＝BF＝5，∠DOB＝60°，
∴DF＝OD•tan∠DOB＝5×√3=5√3，
1 1 25√3
∴S = OD•DF= ×5×5√3= ，
△ODF 2 2 2
60 25π
∵S扇形BOD =
360
×52=
6
，
π
25√3 25π
∴S阴影 ＝S
△ODF
﹣S扇形BOD =
2
-
6
．
25√3 25π
故答案为： - ．
2 6
【点评】本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质、圆周角定理，掌握三角形和扇形面积的计算
公式、等腰三角形的性质、圆周角定理、中位线定理、平行线的性质、等边三角形的性质、特殊角的
三角形函数值是解题的关键．
14．（2025•泉山区校级模拟）如图，AB为 O的直径，∠ACB的平分线交 O于点D，则∠ACD＝
45° ． ⊙ ⊙
【考点】圆周角定理；角平分线的定义．
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【专题】运算能力．
【答案】45°．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB的度数，再由角平分线的定义即可得到答案．
第22页（共47页）【解答】解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所⊙对的圆周角是直角），
∵CD是∠ACB的平分线，
1
∴∠ACD= ∠ACB=45°，
2
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，掌握角平分线的定义是解题的关键．
15．（2025•沭阳县校级模拟）如图，在 O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝
19°，则∠BAC＝ 26 ° ． ⊙
【考点】圆周角定理；三角形内角和定理．
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【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】26°．
【分析】在优弧^AB上任取一点D，连接AD，BD，由圆周角定理以及圆内接四边形对角互补可得，
∠ACB＝135°，由三角形内角和定理即可得到∠BAC的度数．
【解答】解：如图所示，在优弧^AB上任取一点D，连接AD，BD，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
1
∴∠D= ∠AOB=45°，
2
∵四边形ACBED是圆内接四边形，
第23页（共47页）∴∠ACB＝180°﹣∠D＝135°，
∵∠ABC＝19°，
∴∠BAC＝180°﹣19°﹣135°＝26°，
故答案为：26°．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的
关键．
16．（2025•凉州区一模）如图，AB是 O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则
线段CE的长为 2√13 ． ⊙
【考点】垂径定理；勾股定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BE，先根据垂径定理求出AC的长，设 O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求
出r的值，易得AE＝2r，连接BE，根据圆周角定理得⊙到∠ABE＝90°，由三角形中位线定理得到BE＝
2OC＝6，然后在Rt△CBE中由勾股定理可求出CE．
【解答】解：连接BE，如图所示：
∵OD⊥AB，AB＝8，
1
∴AC= AB＝4，
2
设 O的半径OA＝r，
∴O⊙C＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
第24页（共47页）∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE=√CB2+BE2=√42+62=2√13，
故答案为：2√13．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅
助线是解答此题的关键．
17．（2025•九龙坡区校级模拟）如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2√5，点C是半圆弧上的任意
点，点F是^AC的中点，连结BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝ 135 度；
6
当DB＝DF时，BC的长为 √5 ．
5
【考点】圆的综合题．
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【专题】圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；推理能力．
6
【答案】135； √5．
5
【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”得出∠ACB＝90°，从而得到∠ABC+∠CBA＝90°，再由
1 1
“点 F 是^AC的中点”、“AD 平分∠CAB”分别得出∠ABF= ∠ABC、∠BAD= ∠CAB，从而有
2 2
∠ABF+∠BAD＝45°，再由“三角形内角和定理”得出∠ADB的度数；连接AF、OF，OF交AC于点
M，由圆的有关性质得到∠AFB＝90°、OF⊥AC，从而得出AF＝DF，再由“DB＝DF”得BF＝2AF，从
而由勾股定理求出AF的长、OM的长，然后解直角三角形求解即可．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，AB＝2√5，
1
∴∠ACB＝90°，OA＝OB= AB=√5，
2
第25页（共47页）∴∠ABC+∠CBA＝90°，
∵点F是^AC的中点，
∴^AF=C^F，
1
∴∠ABF＝∠CBF= ABC，
2
∵AD平分∠CAB，
1
∴∠BAD= ∠CAB，
2
1
∴∠ABF+∠BAD= （∠ABC+∠CAB）＝45°，
2
∴∠ADB＝180°﹣（∠ABF+∠BAD）＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ADB＝45°，
连接AF、OF，OF交AC于点M，如图，
则OF＝OA=√5，∠AFB＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝45°＝∠ADF，
∴AF＝DF，
当DB＝DF时，BF＝2DF＝2AF，
在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，
即AF2+（2AF）2=(2√5) 2 ，
∴AF2＝4，
∵AF＞0，
∴AF＝2，
∵点F是^AC的中点，
∴OF⊥AC，
∴∠AMO＝∠AMF＝90°，
设OM＝x，则FM＝OF﹣OM=√5-x，
在Rt△AOM中，AM2＝OA2﹣OM2=(√5) 2-x2，
第26页（共47页）在Rt△AFM中，AM2＝AF2﹣FM2＝22-(√5-x) 2 ，
∴(√5)
2-x2＝22-(√5-x) 2，
3
∴x= √5，
5
3
∴OM= √5，
5
BC OM
∵sin∠BAC= = ，
AB OA
3
2√5× √5
∴BC AB⋅OM 5 6 ，
= = = √5
OA √5 5
6
故答案为：135； √5．
5
【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、角平分线定义、三角形外角性质、勾股定理、解直
角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理、三角形外角性质、勾股定理、解直角三角形等知识并作出合
理的辅助线是解题的关键．
18．（2025•惠山区一模）如图，BD是 O的直径，点A、C在同一半圆上，∠CBD＝27°，则∠A的度数
为 117 ° ． ⊙
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．
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【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出∠D，再利用圆内接四边形的对角互补求解．
【解答】解：∵BD的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝27°，
∴∠D＝90°﹣27°＝63°，
∵∠A+∠D＝180°，
第27页（共47页）∴∠A＝180°﹣63°＝117°．
故答案为：117°．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19．（2025•大庆）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，
以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE
为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半
径顺时针作弧 FG交DC的延长线于点 G，得到扇形 FCG，依此类推进行操作，其中^DE，^EF，
^FG，G^H，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经
15
过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留 ）
2
π π
【考点】扇形面积的计算；正方形的性质；弧长的计算．
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【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力．
15
【答案】 ．
2
π
【分析】先根据正方形的性质以及操作过程确定每次操作所得扇形的半径和圆心角，再根据扇形面积
公式分别计算出四个扇形的面积，最后将它们相加得到面积和．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，
∴第一次操作（扇形DAE），
以点A为圆心，以AD为半径，
∵AD＝1，圆心角n＝90°，
90π×12 1
∴S = = ，
1
360 4
π
第二次操作（扇形EBF），
以点B为圆心，以BE为半径，
∵BE＝2，圆心角n＝90°，
90π×22
∴S = = ，
2
360
π
第28页（共47页）第三次操作（扇形FCG），
点C为圆心，以CF为半径，
∵CF＝3，圆心角n＝90°，
90π×32 9
∴S = = π，
3
360 4
第四次操作（扇形GDH），
点D为圆心，以DG为半径，
∵DG＝4，圆心角n＝90°，
90π×42
∴S = =4 ，
4
360
π
1 9 15
∴S +S +S +S = + + +4 = ．
1 2 3 4 4 4 2
π π π π π
15
故答案为： ．
2
π
【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，求得每次操作时的圆心角以及半径是解题的关键．
20．（2025•金凤区校级模拟）如图是一个圆形拱桥的截面，已知直径为 52，若水面宽AB＝48，则水的
最大深度是 1 6 ．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】16．
1
【分析】过点 O 作 OC⊥AB 交 AB 于点 D，交 O 于点 C，连接 OA，可得AD= AB=24，即得
2
⊙
OD=√OA2-AD2=10，进而求出CD即可求解．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB交AB于点D，交 O于点C，连接OA，
⊙
第29页（共47页）∵OC⊥AB，AB＝48，
1 1
∴AD= AB= ×48＝24，
2 2
∵直径为52，
1
∴OA＝OC= ×52＝26，
2
∴OD=√OA2-AD2=√262-242=10，
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16，
即水的最大深度是16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•遵义模拟）如图， O是△ABC的外接圆，A是优弧BC上一点，设∠OCB＝ ，∠A＝ ．
（1）当 ＝42°时， ＝ 48⊙ ° ； α β
（2）猜想β 与 之间α的关系，并给予证明；
（3）若点
α
A平分
β 优弧BC，且OC2= 1 BC2
，猜想△ABC的形状，并说明理由．
3
【考点】圆的综合题．
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第30页（共47页）【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）48°；
（2） + ＝90°；
（3）α△AβBC是等边三角形．
【分析】（1）连接BO，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半和等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据（1）的方法解答即可；
CD √3
（3）过O作OD⊥BC于D，证明 = ，根据余弦定义并结合特殊角的三角函数值求出 ＝30°，
OC 2
α
结合（2）中 + ＝90°，求出 ＝60°，可证△ABC为等边三角形，得到答案．
【解答】解：α（β1）连接BO，β
∴∠BOC＝2∠A＝2×42°＝84°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠OBC＝ ，
180°-84°
α
∴α= =48°，
2
故答案为：48°；
（2） + ＝90°，理由如下：
∴∠BOαC＝β2∠A＝2 ，
∵OB＝OC， β
∴∠BCO＝∠OBC＝ ，
∴ + +2 ＝180°， α
∴α+α＝9β0°；
（α3）β△ABC是等边三角形，理由如下，
过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
第31页（共47页）∴BC＝2CD，
1
∵OC2= BC2
，
3
1
∴OC2= ×(2CD) 2 ，
3
CD √3
∴ = ，
OC 2
√3
由三角函数可知，cos∠OCB= ，
2
∴∠OCB＝ ＝30°，
∵ + ＝90°α，
∴α＝β90°﹣30°＝60°，
∵β点A平分优弧BC，
∴AB＝AC，
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题是圆的综合题，考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定、
锐角三角函数等知识，正确作出辅助线构造直角三角形进行解答是解题的关键．
22．（2025•苍梧县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AB是 O的直径， O交BC于
点D，DE⊥AC于点E，BE交 O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点⊙P． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线⊙；
⊙ 1
（2）若OA＝2，tan∠ABE= ，求线段AP的长．
2
第32页（共47页）【考点】圆的综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AB是 O的直径，连接AD，OD，
⊙
∴∠ADB＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴DC＝DB，
∵OA＝OB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为圆的半径，
∴DE为 O的切线；
（2）√5⊙．
【分析】（1）连接AD，OD，根据圆周角定理得∠ADB＝90°，由AB＝AC，根据等腰三角形的直线得
DC＝DB，所以OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，再根据切线的判
定定理即可得到结论；
第33页（共47页）（2）由 AB 是 O 的直径得∠AFB＝90°，再根据等角的余角相等得∠EAP＝∠ABE，则
⊙
EP 1
tan∠EAP= = ，EP＝1，然后利用勾股定理可计算出AP．
AE 2
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AB是 O的直径，连接AD，OD，
⊙
∴∠ADB＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴DC＝DB，
∵OA＝OB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为圆的半径，
∴DE为 O的切线；
（2）解⊙：由（1）可知：四边形AODE是矩形，OA＝OD，
∴四边形AODE也是正方形，
∴OA＝AE，
∵AB是的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝90°，
∵∠EAP+∠BAF＝90°，
∴∠EAP＝∠ABE，
1
∵tan∠ABE= ，
2
第34页（共47页）在Rt△EAP中，AE＝2，
EP 1
∴tan∠EAP= = ，
AE 2
∴EP＝1，
在直角三角形AEP中，由勾股定理得：AP=√AE2+EP2=√22+12=√5．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，解直角三角形，圆的切线的判定：过半径的
外端点与半径垂直的直线为圆的切线，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理．
23．（2025•嘉峪关校级二模）如图所示，AB是 O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交 O于点D，点E
在 O上． ⊙ ⊙
（⊙1）若∠AOD＝64°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
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【专题】与圆有关的计算；几何直观．
【答案】（1）32°；
（2）16．
【分析】（1）由垂径定理得^AD=^BD，由圆周角定理推论可求∠DEB；
（2）由垂径定理得AC＝BC，应用勾股定理即可计算．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，
∴^AD=^BD，
1 1
∴∠DEB= ∠AOD= ×64°＝32°；
2 2
（2）∵OD⊥AB，
∴AC＝BC，
∵AC2＝OA2﹣OC2，
∴AC2＝102﹣62，
∴AC＝8，
第35页（共47页）∴AB＝2AC＝16．
【点评】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理和勾股定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
24．（2025•浑南区二模）已知：如图，△ABC内接于 O，点E为 O上一点，连接EB，EA，其中EA
经过圆心O，EA的延长线交射线CD于点D，若∠A⊙CD＝∠ABC．⊙
（1）求证：CD是 O切线；
（2）若AC＝5，∠⊙ACD＝30°，求^EC的长．
【考点】切线的判定与性质；弧长的计算；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
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【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
10π
（2） ．
3
【分析】（1）过C作圆的直径CM，连接AM，由圆周角定理得到∠MAC＝90°，∠ABC＝∠M，推出
∠ACD+∠ACM＝90°，即可证明CD是 O切线；
（2）由圆周角定理得到∠AOC＝2∠M⊙＝60°，求出∠COE＝120°，判定△OAC是等边三角形，得到
OA＝AC＝5，由弧长公式即可求出^EC的长．
【解答】（1）证明：过C作圆的直径CM，连接AM，
∴∠MAC＝90°，
∴∠M+∠ACM＝90°，
∵∠ACD＝∠ABC，∠ABC＝∠M，
∴∠ACD＝∠M，
∴∠ACD+∠ACM＝90°，
∴直径CM⊥DC，
∴CD是 O切线；
（2）由⊙（1）知∠M＝∠ACD＝30°，
∴∠AOC＝2∠M＝60°，
∴∠COE＝180°﹣60°＝120°，
∵OA＝OC，
第36页（共47页）∴△OAC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5，
120π×5 10π
∴^EC的长= = ．
180 3
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长的计算，关键是掌握切线的判定方法，弧长公式．
25．（2025•费县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点F在AB上，以AF为直径的 O与边BC
相切于点D，与边AC相交于点E，且^AE=^DE，连接EO并延长交 O于点G，连接BG．⊙
（1）求证：BG是 O的切线． ⊙
⊙8
（2）若^DE的长为 π，求图形中阴影部分的面积．
3
【考点】圆的综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）如图，连接OD，
∵ O与BC相切于点D，
∴∠⊙ODB＝90°，
第37页（共47页）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴AC∥OD，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵^AE=^DE，
∴∠EOD＝∠AOE，
∴∠AOE＝∠AEO，
∴AO＝AE，
又∵AO＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AEO＝∠AOE＝∠A＝60°，
∴∠BOG＝∠AOE＝60°，
∴∠DOB＝180°﹣∠DOE﹣∠AOE＝60°，
∴∠DOB＝∠GOB，
在△ODB和△OGB中，
{
OD=OG
∠DOB=∠GOB，
OB=OB
∴△ODB≌△OGB（SAS），
∴∠OGB＝∠ODB＝90°，
∴OG⊥BG，
∵OG为圆的半径，
∴BG是 O的切线；
⊙ 32
（2）阴影部分的面积为32√3- π．
3
【分析】（1）连接OD，由^AE=^DE推出△AOE是等边三角形，再利用全等三角形SAS判定定理证明
△ODB≌△OGB，得到∠OGB＝∠ODB＝90°，再根据切线的判定定理即可证明；
（2）由^DE的长计算出 O半径，再根据含30°的直角三角形的性质求出Rt△BOG的边长，利用阴影
部分面积＝Rt△BOG的面⊙积﹣扇形FOG的面积，计算即可得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
第38页（共47页）∵ O与BC相切于点D，
∴∠⊙ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴AC∥OD，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵^AE=^DE，
∴∠EOD＝∠AOE，
∴∠AOE＝∠AEO，
∴AO＝AE，
又∵AO＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AEO＝∠AOE＝∠A＝60°，
∴∠BOG＝∠AOE＝60°，
∴∠DOB＝180°﹣∠DOE﹣∠AOE＝60°，
∴∠DOB＝∠GOB，
在△ODB和△OGB中，
{
OD=OG
∠DOB=∠GOB，
OB=OB
∴△ODB≌△OGB（SAS），
∴∠OGB＝∠ODB＝90°，
∴OG⊥BG，
∵OG为圆的半径，
∴BG是 O的切线；
⊙ 8
（2）解：∵^DE的长为 π，∠DOE＝60°，
3
第39页（共47页）60°×π×OD 8
∴ = π，
180° 3
∴OD＝8，
∴OG＝8，
∵∠BOG＝∠AOE＝∠DOE＝60°，
∴BG=√3OG=8√3，
1 1 60°×π×82 32
∴S = OG×BG= ×8×8√3=32√3，S = = π，
△OBG 2 2 扇形GOF 360° 3
32
∴阴影部分的面积为：S -S =32√3- π．
△OGB 扇形GOF 3
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性
质、含30°角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积
公式是解题的关键
第40页（共47页）考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它
合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表
示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
3．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
1
则∠AOC＝∠BOC= ∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
2
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
第41页（共47页）证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助
平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方
法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
6．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
7．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
8．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分
线是对称轴．
第42页（共47页）9．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的
性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的
直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
10．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2-b2，b=√c2-a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
11．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
1
②菱形面积= ab．（a、b是两条对角线的长度）
2
12．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
第43页（共47页）③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对
称轴．
13．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
14．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌
握．
15．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优
弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知
一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得
图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
16．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
第44页（共47页）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
17．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
18．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心
在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，
而一个圆的内接三角形却有无数个．
19．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
第45页（共47页）20．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫
做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
21．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边
形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
22．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
nπRπ
（2）弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
180
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π ，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
23．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
n 1
S扇形 =
360
R2或S扇形 =
2
lR（其中l为扇形的弧长）
π
（4）求阴影面积常用的方法：
第46页（共47页）①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
24．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的
高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
1
（3）圆锥的侧面积：S侧 =
2
•2 r•l＝ rl．
π π
（4）圆锥的全面积：S全 ＝S底+S侧 ＝ r2+ rl
1 π π
（5）圆锥的体积= ×底面积×高
3
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
25．圆的综合题
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边
形一起，难度比较大．
第47页（共47页）
