文档内容
2026年中考数学常考考点专题之无理数与实数
一．选择题（共12小题）
1．（2025•重庆模拟）设m=√63-√7，则实数m的值应在（ ）
A．7和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间
√1
2．（2025•合肥校级四模）在实数-1，- ，√2，(-2) 0中，最接近0的数是（ ）
2
√1
A．﹣1 B．- C．√2 D．（﹣2）0
2
3．（2025•五华区校级模拟）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式
信号代码，其单项式依次为：2a，4√2a2，6√3a3，8√4a4，10√5a⋯则第n个单项式是（ ）
A．2n√nan B．2n√n+1an
C．2(n+1)√nan D．2(n-1)√nan-1
4．（2025•密云区一模）如图，实数√7在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．（2025•静安区二模）如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数﹣2、﹣1、0、1、2，那么表示
数√3-2的点应落在（ ）
A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上
6．（2025•浙江模拟）已知实数a，b满足a+b＜0，若数a在数轴上对应点的位置如图所示，则数b所对
应的点可以在（ ）
A．线段BC上 B．线段AB上 C．线段CD上 D．线段DE上
7．（2025•武威三模）若4-√5的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+√5a-b的值为（ ）
A．√5 B．1 C．√5+1 D．2√5-1
8．（2025•二道区二模）已知a、b、c三个实数表示的点在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是
（ ）
第1页（共22页）A．a+b＜b+c B．ab＜bc C．a﹣c＜b﹣c D．ab＜ac
9．（2025•桑植县三模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a＞b C．ab＞0 D．a+b＞0
10．（2025•昌平区二模）实数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示，若其中一个数是-√2，则这
个数可能是（ ）
A．a B．b C．c D．d
11．（2025•磁县校级三模）如图，顺顺借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点 A对应的实数为（
）
A．﹣3 B．﹣4.5 C．﹣5 D．3
12．（2025•竞秀区一模）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．﹣22 B．|﹣2| C．﹣（﹣2） D．√4
二．填空题（共8小题）
√ab+a+b
13．（2025•宁波模拟）已知 a，b 满足a*b= ，已知 3*x＝4，x 为正数，则 x＝
3
．
14．（2025•重庆二模）计算：√4+2sin45°-(π-3) 0= ．
1
15．（2025•东莞市校级模拟）小明编写了一个程序，如图．若输出 ，则x的值为 ．
2
16．（2025•朝阳区校级二模）已知m为整数，且√7＜m＜√11，则m值为 ．
17．（2025•长丰县二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设
23
计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算√5的一个更为精确的近似分数为 ．请比
10
第2页（共22页）23
较大小：√5 ．（填“＞”或“＜”）
10
√5-1 1
18．（2025•西安校级模拟）通过估算，比较大小： - 0．
2 2
19．（2025•乾县校级一模）无理数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 a 的值可以是
．（写出一个即可）
20．（2025•朝阳区校级三模）如图，由内到外依次为正方形A，B，C，若A的面积为2，C的面积为5，
则B的边长可以是整数 ．
三．解答题（共5小题）
1
21．（2025•长沙模拟）计算：( )
-1+|-√3|-2cos30°-(π-6.8) 0
．
4
22．（2025•市南区校级模拟）已知3a﹣7和a+3是某正数m的两个平方根，b+4的立方根为2，c是√11
的整数部分．
（1）求m的值；
（2）求a+3b+c的平方根．
1 -1
23．（2025•昆明模拟）计算：(-1) 2025+(3.14-π) 0+( ) +|-√4|-2cos30°．
2
24．（2025•江夏区校级三模）计算：(2-π) 0-|√2-1|+√3 -27+(-1) 2025+2sin45°．
1 -1
25．（2025•昭阳区一模）计算：(- ) -2tan60°-|-√12|-(π-6.18) 0+√327．
2
第3页（共22页）2026年中考数学常考考点专题之无理数与实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A C B B D D A B A
题号 12
答案 A
一．选择题（共12小题）
1．（2025•重庆模拟）设m=√63-√7，则实数m的值应在（ ）
A．7和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间
【考点】估算无理数的大小；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法．
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【专题】实数；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质化简，再计算，最后由无理数的估算的计算方法即可求解．
【解答】解：m=√63-√7化简得，m=√63-√7=3√7-√7=2√7=√28，
∵√25＜√28＜√36，
∴5＜√28＜6，
∴5＜2√7＜6，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的加减运
算是解题的关键．
√1
2．（2025•合肥校级四模）在实数-1，- ，√2，(-2) 0中，最接近0的数是（ ）
2
√1
A．﹣1 B．- C．√2 D．（﹣2）0
2
【考点】估算无理数的大小；零指数幂．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】B
√1
【分析】先把二次根式和含有0指数幂的数化简，然后估算√2的大小，进而估算- 的大小，再分别
2
求出各数的绝对值，进行判断即可．
第4页（共22页）√1 √2
【解答】解：- =- ，(-2) 0=1，
2 2
∵√2≈1.414，
√1
∴- ≈-0.707，
2
√1
∵|﹣1|＝1，|- |≈0.707，|√2|≈1.414，|(-2) 0|=1，
2
√1
∴最接近0的数是- ，
2
∴A，C，D选项均不符合题意，B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
3．（2025•五华区校级模拟）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式
信号代码，其单项式依次为：2a，4√2a2，6√3a3，8√4a4，10√5a⋯则第n个单项式是（ ）
A．2n√nan B．2n√n+1an
C．2(n+1)√nan D．2(n-1)√nan-1
【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类；单项式．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题干所给单项式得出规律即可．
【解答】解：由题意可得：2a=(2×1)×√1×a1，
4√2a2=(2×2)×√2×a2，
6√3a3=(2×3)×√3×a3，
8√4a4=(2×4)×√4×a4，
10√5a5=(2×5)×√5×a5，…，
∴根据规律可知，第n 个单项式是2n√nan．
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，单项式，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键．
4．（2025•密云区一模）如图，实数√7在数轴上对应的点可能是（ ）
第5页（共22页）A．点A B．点B C．点C D．点D
【考点】实数与数轴．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】先判断出√7的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜√7＜3，
∴C点符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是实数与数轴，掌握无理数的大小估算是解题的关键．
5．（2025•静安区二模）如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数﹣2、﹣1、0、1、2，那么表示
数√3-2的点应落在（ ）
A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上
【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B
【分析】先估算√3的大小，从而估算√3-2的大小，然后判断即可．
【解答】解：∵1＜√3＜2，
∴-1＜√3-2＜0，
∴数√3-2的点应落在线段BO上，
∴A，C，D选项不符合题意，B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握如何估算无理数．
6．（2025•浙江模拟）已知实数a，b满足a+b＜0，若数a在数轴上对应点的位置如图所示，则数b所对
应的点可以在（ ）
A．线段BC上 B．线段AB上 C．线段CD上 D．线段DE上
第6页（共22页）【考点】实数与数轴．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B
【分析】察数轴可知：1＜a＜2，A表示的数是﹣3，B表示的数是﹣2，C表示的数是﹣1，D表示的数
是0，E表示的数是1，再根据已知条件进行判断即可．
【解答】解：观察数轴可知：1＜a＜2，A表示的数是﹣3，B表示的数是﹣2，C表示的数是﹣1，D表
示的数是0，E表示的数是1，
∵a+b＜0，
∴b≤﹣2，
∴数b所对应的点可以在线段AB上，
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．
7．（2025•武威三模）若4-√5的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+√5a-b的值为（ ）
A．√5 B．1 C．√5+1 D．2√5-1
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】利用夹逼法估算4-√5的大小后即可求得a，b的值，然后代入2+√5a﹣b中计算即可．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴1＜4-√5＜2，
则a＝1，b＝4-√5-1＝3-√5，
那么2+√5a﹣b＝2+√5-（3-√5）＝2+√5-3+√5=2√5-1，
故选：D．
【点评】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
8．（2025•二道区二模）已知a、b、c三个实数表示的点在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是
（ ）
A．a+b＜b+c B．ab＜bc C．a﹣c＜b﹣c D．ab＜ac
【考点】实数与数轴．
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【专题】实数；运算能力．
第7页（共22页）【答案】D
【分析】观察数轴可知：a＜0＜b＜c，然后分别根据不等式的基本性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：观察数轴可知：a＜0＜b＜c，
A．∵a＜c，∴a+b＜b+c，∴此选项的结论成立，故此选项不符合题意；
B．∵a＜c，∴ab＜bc，∴此选项的结论成立，故此选项不符合题意；
C．∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，∴此选项的结论成立，故此选项不符合题意；
D．∵b＜c，∴ab＞bc，∴此选项的结论不成立，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质．
9．（2025•桑植县三模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a＞b C．ab＞0 D．a+b＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
【解答】解：A．由数轴可知|a|＞|b|，故符合题意；
B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意；
C．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故不符合题意；
D．∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断
a，b的正负，以及绝对值的大小．
10．（2025•昌平区二模）实数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示，若其中一个数是-√2，则这
个数可能是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【考点】实数与数轴；算术平方根．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B
第8页（共22页）【分析】观察数轴可知：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，1＜d＜2，然后估算√2的大小，从而
估算-√2的大小，然后判断即可．
【解答】解：观察数轴可知：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，1＜d＜2，
∵1＜√2＜2，
∴-2＜-√2＜-1，
∴这个数可能是b，
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握如何估算无理数．
11．（2025•磁县校级三模）如图，顺顺借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点 A对应的实数为（
）
A．﹣3 B．﹣4.5 C．﹣5 D．3
【考点】实数与数轴．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】观察数轴可知：数轴上的一个单位长度在刻度尺上表示1.5cm，然后在刻度尺上观察点A到
表示0的点的距离，再列出算式计算数轴上点A距离0表示的数的点是几个单位长度，从而求出答案．
【解答】解：观察数轴可知：数轴上一个单位表示1.5cm，
∴4.5cm表示3个单位，
∴点A表示的数是﹣3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上的点与实数的对应关系．
12．（2025•竞秀区一模）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．﹣22 B．|﹣2| C．﹣（﹣2） D．√4
【考点】实数．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据乘方、绝对值、相反数、算术平方根对各数进行化简，再由正数和负数的定义判断即
可．
【解答】解：A、﹣22＝﹣4，运算结果为负数，符合题意；
第9页（共22页）B、|﹣2|＝2，运算结果为正数，不符合题意；
C、﹣（﹣2）＝2，运算结果为正数，不符合题意；
D、√4=2，运算结果为正数，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了实数，掌握有理数的化简是关键．
二．填空题（共8小题）
√ab+a+b 21-3√13
13．（2025•宁波模拟）已知a，b满足a*b= ，已知3*x＝4，x为正数，则x＝
3 2
．
【考点】实数的运算；解一元一次方程．
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【专题】实数；运算能力．
21-3√13
【答案】 ．
2
【分析】根据题意得到方程，再将方程转换为一元二次方程即可解答．
√3x+3+x
【解答】解： =4，整理得√3x=9-x，
3
3x＝（9﹣x）2，
x2﹣21x+81＝0，
21+3√13 21-3√13
解得：x = ，x = ，
1 2 2 2
21+3√13
当x = 时，9﹣x＜0，故舍去，
1 2
21-3√13
∴x= ．
2
21-3√13
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，掌握实数的运算法则是关键．
14．（2025•重庆二模）计算：√4+2sin45°-(π-3) 0= 1+√2 ．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，
求出算式的值即可．
第10页（共22页）【解答】解：√4+2sin45°-(π-3) 0
√2
＝2+2× -1
2
＝2+√2-1
＝1+√2．
故答案为：1+√2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算
一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，
同级运算要按照从左到右的顺序进行．
1
15．（2025•东莞市校级模拟）小明编写了一个程序，如图．若输出 ，则x的值为 ± 8 ．
2
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】±8．
【分析】根据流程图和实数运算法则求解即可．
1 1 1
【解答】解：根据流程图， 是 的算术平方根， 的倒数是4，4的立方是64，64的平方根是±8，
2 4 4
故x的值为：±8．
故答案为：±8．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
16．（2025•朝阳区校级二模）已知m为整数，且√7＜m＜√11，则m值为 3 ．
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；数感．
【答案】3．
【分析】利用夹逼法估算√7，√11的大小后即可求得答案．
【解答】解：∵4＜7＜9＜11＜16，
∴2＜√7＜3＜√11＜4，
则m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
第11页（共22页）17．（2025•长丰县二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设
23
计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算√5的一个更为精确的近似分数为 ．请比
10
23
较大小：√5 ＜ ．（填“＞”或“＜”）
10
【考点】实数大小比较；算术平方根．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】＜．
【分析】先求出这两个数的平方，然后比较平方后数的大小，进而比较这两个数的大小即可．
23 529
【解答】解：(√5) 2=5，( ) 2= =5.29，
10 100
∵5＜5.29，
23
∴√5＜ ，
10
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较数的大小的方法．
√5-1 1
18．（2025•西安校级模拟）通过估算，比较大小： - ＞ 0．
2 2
【考点】实数大小比较．
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【专题】转化思想；实数；运算能力．
【答案】＞．
√5-1 1
【分析】由4＜5＜9，得2＜√5＜3，根据不等式的性质得1＜√5-1＜2，那么 ＞ ，可得
2 2
结论．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴√4＜√5＜√9，即2＜√5＜3．
∴2﹣1＜√5-1＜3﹣1，即1＜√5-1＜2．
√5-1 1 √5-1 1
∴ ＞ ，即 - ＞0．
2 2 2 2
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查算术平方根的性质以及不等式的性质，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式
性质是解题关键．
19．（2025•乾县校级一模）无理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则 a的值可以是 √5（答案
第12页（共22页）不唯一） ．（写出一个即可）
【考点】实数与数轴；无理数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】√5（答案不唯一）．
【分析】观察数轴可知：a的值大于2且小于3，根据a是无理数，写出符合要求的数即可．
【解答】解：观察数轴可知：a的值大于2且小于3，
∵a是无理数，
∴a的值可以是：√5，
故答案为：√5（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
20．（2025•朝阳区校级三模）如图，由内到外依次为正方形A，B，C，若A的面积为2，C的面积为5，
则B的边长可以是整数 2 ．
【考点】算术平方根．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据算术平方根的定义易得√2＜B的边长＜√5，据此即可求得答案．
【解答】解：∵A的面积为2，C的面积为5，
∴A的边长为√2，C的边长为√5，
∴√2＜B的边长＜√5，
∴B的边长可以是整数2，
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，结合已知条件得到√2＜B的边长＜√5是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
1
21．（2025•长沙模拟）计算：( )
-1+|-√3|-2cos30°-(π-6.8) 0
．
4
第13页（共22页）【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．
1
【解答】解：( )
-1+|-√3|-2cos30°-(π-6.8) 0
4
=4+√3-√3-1
＝3．
【点评】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值，掌握相应的运算法
则是关键．
22．（2025•市南区校级模拟）已知3a﹣7和a+3是某正数m的两个平方根，b+4的立方根为2，c是√11
的整数部分．
（1）求m的值；
（2）求a+3b+c的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据平方根的定义列出关于a的方程，解方程求出a，再求出这个数的算术平方根，
从而求出m即可；
（2）根据立方根的定义列出关于b的方程，解方程求出b，再估算√11的大小，求出其整数部分c，最
后把a，b，c代入a+3b+c进行计算，求出其平方根即可．
【解答】解：（1）∵3a﹣7和a+3是某正数m的两个平方根，
∴3a﹣7+a+3＝0，
4a﹣4＝0，
4a＝4，
a＝1，
∴a+3＝1+3＝4，
∴m＝16；
（2）∵b+4的立方根为2，
∴b+4＝8，
解得：b＝4，
∵3＜√11＜4，
第14页（共22页）∴√11的整数部分c＝3，
∴a+3b+c
＝1+3×4+3
＝1+12+3
＝16，
∴a+3b+c的平方根是±4．
【点评】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根，解题关键是熟练掌握平方根与立方根的定
义．
1 -1
23．（2025•昆明模拟）计算：(-1) 2025+(3.14-π) 0+( ) +|-√4|-2cos30°．
2
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】4-√3．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，
求出算式的值即可．
√3
【解答】解：原式＝﹣1+1+2+2﹣2×
2
＝﹣1+1+2+2-√3
＝4-√3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此类问题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数
运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面
的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
24．（2025•江夏区校级三模）计算：(2-π) 0-|√2-1|+√3 -27+(-1) 2025+2sin45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据零指数幂，化简绝对值，立方根，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值进行计算即可
求解．
√2
【解答】解：原式=1-(√2-1)-3-1+2×
2
=1-√2+1-3-1+√2
=(1+1-3-1)+(-√2+√2)
第15页（共22页）＝﹣2+0
＝﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
1 -1
25．（2025•昭阳区一模）计算：(- ) -2tan60°-|-√12|-(π-6.18) 0+√327．
2
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】-4√3．
【分析】利用负整数指数幂、特殊角三角函数、二次根式的性质、零指数幂、立方根进行计算即可．
【解答】解：原式=-2-2√3-2√3-1+3=-4√3．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
第16页（共22页）考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“√a”，负的平方根表示为“-√a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作√a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根
是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算
术平方根．记为√a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以
借助乘方运算来寻找．
4．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根
等．
第17页（共22页）（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
1
比如4＝4.0， =0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562．
3
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有
π
的数，如分数 是无理数，因为 是无理数．
2
π π
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如√2，√3，√35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有 的绝大部分数，如2 ．
注意：判断π一个数是否为无理数，π不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
5．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
{ {正有理数
有理数 0 {正实数
实数： 负有理数 或 实数： 0
{正无理数 负实数
无理数
负无理数
6．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点
表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是
在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原
点左侧，绝对值大的反而小．
7．实数大小比较
实数大小比较
第18页（共22页）（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个
负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在
原点左侧，绝对值大的反而小．
8．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
9．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
10．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知
识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数
量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，
设出其他未知数，然后列方程．
11．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同
的含义．
第19页（共22页）（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不
能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
12．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
13．负整数指数幂
1
负整数指数幂：a﹣p=
（a≠0，p为正整数）
ap
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）
的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
14．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①√ a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（√ a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
{ a (a＞0)
③√ a2=|a| = 0 (a=0) （算术平方根的意义）
-a (a＜0)
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
√a √a
√ab=√a•√b（a≥0，b≥0） = （a≥0，b＞0）
√b b
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能
开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指
数都小于根指数2．
第20页（共22页）【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
15．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行
合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系
数相加减，被开方数和根指数不变．
16．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，
灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括
号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使
方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，
方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
17．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
1 √3 √3
sin30°= ； cos30°= ；tan30°= ；
2 2 3
√2 √2
sin45°= ；cos45°= ；tan45°＝1；
2 2
第21页（共22页）√3 1
sin60°= ；cos60°= ； tan60°=√3；
2 2
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
第22页（共22页）
