文档内容
宜宾市 2024 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面
座位号对应标号涂黑．
2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效．
一、选择题：本大题共 12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求．
1. 2的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的意义即可求解．
【详解】解：2的绝对值是是2，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的计算，掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的
相反数，是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项．根据同底数幂的运算法则以及合并同类项的
法则，逐个进行计算，即可解答．
【详解】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
1C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取 10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：
分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ）
A. 方差为0 B. 众数为75 C. 中位数为77.5 D. 平均数为75
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查方差，众数，中位数和平均数，分别根据相关定义求解即可．
【详解】解：这组数据的平均数为： ，故选项D错误，
不符合题意；
方差为
，故选项A错误，不符合题意；
这组数据中，75出现次数最多，共出现3次，故众数是75，故选项B正确，符合题意；
这组数据按大小顺序排列为：65，65，67，75， 75，75，78，80，80，88．
最中间的两个数是75，75，
故中位数为 ，故项C错误，不符合题意，
故选：B．
4. 如图， 是 的直径，若 ，则 的度数等于（ ）
2A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为
直角得到 ，同弧或等弧所对的圆周角相等得到 ，进一步计算即可解答．
【详解】解： 是 的直径，
，
，
，
，
故选：A．
5. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，
驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先
行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建
立方程，解出即可．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意： ，
解得： ．
答：快马20天可以追上慢马．
故选：D．
6. 如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的
3真因数是1、2、3，且 ，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A. 8 B. 18 C. 28 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解∶∵ ， ，
∴8不是完美数，故选项A不符合题意；
∵ ， ，
∴18不是完美数，故选项B不符合题意；
∵ ， ，
∴28是完美数，故选项C符合题意；
∵ ， ，
∴32不是完美数，故选项D不符合题意；
故选：C
7. 如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A. B点 B. C点 C. D点 D. E点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解．
【详解】解：把图形围成立方体如图所示：
4所以与顶点A距离最远的顶点是C，
故选：B．
8. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装 4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该
果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用 个大箱， 个小箱，利用每个大箱装4千克
荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．
【详解】解：设用 个大箱， 个小箱，
∴ ，
∴ ，
∴方程的正整数解为：
或 ，
∴所装的箱数最多为 箱；
故选C．
9. 如图， 内接于 ， 为 的直径， 平分 交 于 ．则 的值为（
）
5A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅
助线为解题的关键．
作辅助线如图，先证明 ， ，从而可以得到旋转后的图形，再证明
是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果．
【详解】解：如图，连接 、 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
∴ ，
∴ 绕 点逆时针旋转 ，如图所示
6∴ ，
∵由旋转可知 ，
∴ ，
∴ 在等腰直角三角形 中， ，
∴ ．
故选：A
10. 如图，等腰三角形 中， ，反比例函数 的图象经过点A、B及 的中点
M， 轴， 与y轴交于点N．则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之
7间的关系是解题的关键．
作辅助线如图，利用函数表达式设出 、 两点的坐标，利用 ， 是中点，找到坐标之间的关系，利
用平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【详解】解：作过 作 的垂线垂足为 ， 与 轴交于 点，如图，
在等腰三角形ABC中， ， 是 中点，
设 ， ，
由 中点为 ， ，故等腰三角形 中，
，
∴
，
∴
AC的中点为M，
∵
，即 ，
∴
由 在反比例函数上得 ，
8，
∴
解得： ，
由题可知， ，
．
∴
故选：B．
11. 如图，在 中， ，以 为边作 ， ，点D与点A在
的两侧，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 5 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，求解 ，结合
，（ 三点共线时取等号），从而可得答案．
【详解】解：如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
9∴ ，
∵ ，（ 三点共线时取等号），
∴ 的最大值为 ，
故选D
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合
适的辅助线是解本题的关键．
12. 如图，抛物线 的图象交x轴于点 、 ，交y轴于点C．以下结
论：① ；② ；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时， ；
④当 时，在 内有一动点P，若 ，则 的最小值为 ．其中正确结论有（
）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线图象经过点 ，可得当 时， ，据此可判断①；根据对称
轴计算公式求出 ，进而推出 ，则 ，再根据抛物线开口向下，
即可判断②；对称轴为直线 ，则 ，求出 ， ，再分当 时，
当 时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当 时， ，则 ，取点
10，连接 ，则 ，可证明 ，由相似三角形的性质可得 ，
则 ，故当点P在线段 上时， 的值最小，即此时 的值最
小，最小值为线段 的长，利用勾股定理求出 即可判断④．
【详解】解：∵抛物线 的图象经过点 ，
∴当 时， ，故①正确；
∵抛物线 的图象交x轴于点 、 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
∵对称轴为直线 ，
∴ ；
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ；
在 中，当 时， ，
11∴ ，
∴ ，
当 时，则由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去）；
同理当 时，可得 ；
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时， 或 ，故③错误；
当 时， ，则 ，
如图所示，取点 ，连接 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
12∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点P在线段 上时， 的值最小，即此时 的值最小，最小值为线段 的长，
在 中，由勾股定理得 ，故④正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，
熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13. 分解因式： =_________________________．
【答案】
【解析】
【详解】解： = = ．
故答案为 ．
14. 分式方程 的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先去分母，化为整式方程，再解
方程并检验即可．
13【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
∴方程的根为 ，
故答案为： ．
15. 如图，正五边形 的边长为4，则这个正五边形的对角线 的长是___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．根据正五边形以及等腰
三角形的性质得出 ，再证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，最后由线
段和差即可求出 的长．
【详解】解：如图，连接 交 于点 ，
∵五边形 是正五边形，
14∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
故答案为： ．
16. 如图，在平行四边形 中， ，E、F 分别是边 上的动点，且
．当 的值最小时，则 _____________．
15【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长
，截取 ，连接 ， ，证明 ，得出 ，说明当 最小
时， 最小，根据两点之间线段最短，得出当 A、E、G 三点共线时， 最小，即
最小，再证明 ，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长 ，截取 ，连接 ， ，如图所示：
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时， 最小，即 最小，且最小值为 的长，
16∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为： ．
17. 如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质
地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如
下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下
一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操
作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一
次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是___________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”
中选填）．
【答案】乙槽
【解析】
【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得
，当 时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第
二次操作最小的是乙槽．
本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键．
【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得
，当 时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第
17二次操作计分最低的是乙槽．
故答案为：乙槽．
18. 如图，正方形 的边长为1，M、N是边 、 上的动点．若 ，则 的最小
值为___________．
【答案】 ##
【解析】
【 分 析 】 将 顺 时 针 旋 转 得 到 ， 再 证 明 ， 从 而 得 到
，再设设 ， ，得到 ，利用勾股定理
得到 ，即 ，整理得到 ，从而利用完全平方公
式得到 ，从而得解．
【详解】解：∵正方形 的边长为1，
∴ ， ，
将 顺时针旋转 得到 ，则 ，
∴ ， ， ， ，
18∴点P、B、M、C共线，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
∴
，
当且仅当 ，即 ，也即 时， 取最小值 ，
19故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式
等知识，证明 和得到 是解题的关键．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）计算： ；
（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）1．
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的化简，熟记零指数幂，特殊角的三角函数值，分式化简的步
骤是解题的关键．
（1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的意义计算；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最
简结果．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
2020. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：
B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行
调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画
树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）40；图见解析
（2）72 （3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握
知识点是解题的关键．
（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360度乘以C组人数所占比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有6种，再由概率公
式求解即可．
【小问1详解】
解：本次调查总人数为 （名），
C组人数为 （名），
补全图形如下：
21；
故答案为：40；
【
小问2详解】
解： ，
故答案为：72；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为 ．
21. 如图，点D、E分别是等边三角形 边 、 上的点，且 ， 与 交于点F．求
证： ．
【答案】见解析
22【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出
， ，然后根据 证明 ，根据全等三角形的性质即可得
证．
【详解】证明∶∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
22. 宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实
践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点 C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点
A、B、C、D在同一水平面，且 ）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西 方向上，
测得点D在北偏东 方向上；在B处测得点C在北偏西 方向上，测得点D在北偏东
方向上，测得 米．求长江口的宽度 的值（结果精确到 1 米）．（参考数据：
， ， ， ， ，
）
23【答案】长江口的宽度 为 米.
【解析】
【分析】如图，过 作 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，
可得四边形 ， 都是矩形，由题意可得： ，
，证明 ，可得 ，设 ， ，再利用三
角函数建立方程组求解即可.
【详解】解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，而
，
∴四边形 ， 都是矩形，
24∴ ， ， ， ，
∵由题意可得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，即 ，
，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴长江口的宽度 为 米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定于性质，全等三角形的判定与性质，作出合
适的辅助线是解本题的关键.
23. 如 图 ， 一 次 函 数 ． 的 图 象 与 反 比 例 函 数 的 图 象 交 于 点
．
25的
（1）求反比例函数和一次函数 表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式 的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
求点C的坐标．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3） 或 或
【解析】
【分析】（1）把A 坐标代入 ，可求出k，把 代入所求反比例函数解析式，可求
的
n，然后把A、B的坐标代入 求解即可；
（2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围
即可；
（3）设点C的坐标为 ， ，分 、 为对角线， 、 为对角线， 、 为
对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解．
【小问1详解】
解∶∵ 经过 ，
26∴ ，解得 ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：察图像得：当 或 时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，
∴不等式 的解集为 或 ；
【小问3详解】
解：设点C的坐标为 ， ，
①以 、 为对角线，
则 ，
27解得 ，
∴ ，
∴ ；
②以 、 为对角线，
则 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
③以 、 为对角线
则 ，
解得 ，
∴ ，
28∴ ；
综上，当C的坐标为 或 或 时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，平行
四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
24. 如图， 内接于 ， ，过点A作 ，交 的直径 的延长线于点
E，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 和 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ， ．
【解析】
【分析】（1）延长 交 于点F，连接 ，根据等边对等角可得 ，
， ， ，继而可得 是 的角平分线，根据
等边三角形“三线合一”的性质可得 ，由平行线的性质可得 ，继而根据切线判定定
理即可求证结论；
（2）连接 ，先求得 ，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定
29理得到 ，代入数据计算求得 ，利用勾股定理可求得 的长，
证明 ，利用相似三角形的性质计算即可求得 ．
【小问1详解】
证明：延长 交 于点F，连接 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，且 平分线段 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：连接 ，
30∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ， ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
31设 ，则 ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾
股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
25. 如图，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ，其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得 的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明
理由；
32（3）若点E在以点 为圆心，1为半径的 上，连接 ，以 为边在 的下方作等边三角
形 ，连接 ．求 的取值范围．
【答案】（1）抛物线的表达式为 ，顶点D的坐标为 ；
（2）点M的坐标为 ；
（3） 的取值范围为 ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作点B关于原点的对称点 ，连接 交 轴于点M，此时 的周长最小，利用待定系数法
求得直线 的解析式，据此求解即可；
（3）以 为边在 的下方作等边三角形 ，得到点 在以 为圆心，1为半径的 上，
据此求解即可．
【小问1详解】
解：由于抛物线 经过点 和点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ，
∴顶点D的坐标为 ；
【小问2详解】
解：∵点 ，对称轴为直线 ，
33∴点 ，
∵ ， ，
∴ 长为定值，
作点B关于原点的对称点 ，则 ，连接 交 轴于点M，
则 ，
∴ ，此时 的周长最小，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ， ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点M的坐标为 ；
【小问3详解】
解：以 为边在 的下方作等边三角形 ，作 轴于点 ，连接 ， ，
34∵等边三角形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心，1为半径的 上，
，
当点 在线段 上时， 有最小值为 ；
当点 在射线 上时， 有最大值为 ；
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，
一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出
相应线段的长度是解题的关键．
35
