文档内容
2023~2024 学年度第一学期期末考试
高三数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号：答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出
答题区域或写在本试卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 满足 ，则 （ ）
A.-12 B.-20 C.12 D.20
4.《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，它标志着中国古代数学体系的形成.其中记载了这样一个
数学问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰“我羊食半马.”马主曰“我马食半牛.”今欲衰偿之，
问牛主出几何.意思是：牛､马､羊吃了别人的禾苗，苗主人要求三牲畜的主人共赔偿他五斗粟，羊的主人说：
“我的羊吃了马一半的量.”马的主人说：“我的马吃了牛一半的量.”现在若依据三牲畜吃苗的量按比例赔偿苗
主，牛主应偿还（ ）粟？（1斗=10升）
A.1斗 升 B.1斗 升 C.2斗 升 D.2斗 升
5.若随机变量 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 的密度曲线与 轴只有一个交点
B. 的密度曲线关于 对称
C.
学科网（北京）股份有限公司D.若 ，则
6.若 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知 是抛物线 的焦点，过 的直线与 交于 两点，过 作准线 的垂线，垂足为 .若
线段 的垂直平分线与准线 交于点 ，点 到直线 的距离为 ，则当 时，直线 的方程
为（ ）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
8.已知函数 的定义域为 ，且 ，当 时，
，则 （ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.以长为 ，宽为 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司10.关于函数 有下列命题，其中正确的是（ ）
A. 的图像关于点 对称
B. 在区间 上是单调递减函数
C.若 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围为
D. 的图像关于直线 对称
11.如图，棱长为2的正方体 中， 为 的中点，动点 在平面 内的轨迹为曲
线 .下列结论正确的有（ ）
A.当 时， 是一个点
B.当动点 到直线 的距离之和为 时， 是椭圆
C.当直线 与平面 所成的角为 时， 是抛物线
D.当直线 与平面 所成的角为 时， 是双曲线
12.已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的解 且
，则 的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知事件 与事件 互斥，如果 ，那么 __________.
14.曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 __________.
15.双曲线 的焦距为 ，已知点 ，点 到直线 的距
离为 ，点 到直线 的距离为 ，且 ，则双曲线离心率的取值范围为__________.
16.已知矩形 垂直 于点 垂直 于点 ，将矩形 沿对
角线 折起，使异面直线 成 角，若 四点都在球 的表面上，则球 的半径为
__________，此时 两点间距离为__________.（第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 为 中点，且
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
18.（本题满分12分）
已知 为数列 的前 项和， ，且__________.
从① 成等差数列；② 成等比数列；③ 这三个条件中任选一个补充在上面的横线
学科网（北京）股份有限公司上，并解答下列问题.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 求数列 的前 项的和 .
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19.（本题满分12分）
在 中，内角 所对的边分别为 ，其外接圆半径为 ， .
（1）求 ；
（2）求 的面积.
20.（本题满分12分）
为不断提升社区服务质量，某物业公司监察部门对其服务的甲､乙两个社区开展“服务满意度大调查”，随机
对两社区多名业主发放调查问卷，对物业公司服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中 为非常
不满意， 为不满意， 为一般， 为基本满意， 为满意， 为非常满意.
（1）求乙社区调查结果图中的 值并估计乙社区调查结果的 分位数（精确到0.01）；
（2）已知调查问卷中有 来自甲社区业主.
①若在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取一份，请估计这份问卷恰好来自甲社区业主的概率；
②为了解业主对物业公司服务的具体意见，在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取70份进行细致分析，
求这70份问卷中来自甲社区业主的问卷份数 的期望 .
21.（本题满分12分）
学科网（北京）股份有限公司已知椭圆 的短轴长为4，离心率为 .直线 与椭圆交于 两点，
点 不在直线 上，直线 与 交于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求直线 的斜率.
22.（本题满分12分）
已知函数 的最小值为0，其中 .
（1）求 的值；
（2）若对任意的 ，有 成立，求实数 的最小值；
（3）证明： .
2023~2024 学年度第一学期期末考试
高三数学（参考答案及评分标准）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1-8CDAC BDAB
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.CD 10.ABC 11.AD 12.ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 16.5， 或 （第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：连接 ，交 于点 ，连接 ，因为 为 中点， 为 中点，
所以
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：如图，以 为坐标原点，分别以 ，
的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 .
设直线 与平面 所成角为 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
18.（本题满分12分）
解：（1）由 ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
所以数列 为等比数列，公比为 .
选①，由 成等差数列，
可得 ，即 ，解得 ，
所以
选②由 成等比数列，得 ，
即 ，解得 ，
所以
选③，由 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以
（2）当 为奇数时，
记前 项的和 中的奇数项之和为 ，
当 为偶数时， ，
记前 项和 中的偶数项之和为 ，
故
19.（本题满分12分）
解：（1）因为 且外接圆半径为1，根据正弦定理得 ，
即 ，
代入 ，即 ，
由于 ，则 ，所以 ，
则 ，解得 .
（2）因为 ，根据正弦定理得 ，
即
学科网（北京）股份有限公司由（1）知 ，所以 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
解得 .
所以
20.（本题满分12分）
解：（1）由频率之和为1得： ，
解得：
这组的频率为： 这组的频率为： ，
，
故 分位数在 组，设 分位数为 ，
则 ，解得
故 分位数为89.09
（2）①任抽一份问卷，是来自甲社区业主的问卷记作事件A，
问卷评分不足60分记作事件 .
根据题意可知：
所以
，
所以， ，
所以，从不足60分的问卷中抽取一份，该份问卷是来自甲社区业主问卷的概率为
学科网（北京）股份有限公司②70份评分不足60分的调查问卷中来自甲社区业主的问卷份数 ，
所以
21.（本题满分12分）
解：（1）因为椭圆的短轴长为4，所以 ，
因为离心率为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程
（2）设 ，联立 ，可得 ，
，
，
因为 不在直线 上，所以 ，即 ，
则直线 方程为： ，令 ，则 ，
因为直线 与 交于点 ，所以 ，
所以 ，
将 代入，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以直线 的斜率为2.
22.（本题满分12分）
解：（1）
由 得 ，
所以 时 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，
所以 ，所以
（2）
设 ，所以 对任意 恒成立
① 时 ，不符合题意
②当 时，在 上 单调递减；
在 上 单调递增，
所以 时 ，不符合题意
③当 时， 在 恒成立，所以 在 上单调递增，
，符合题意，
综上，
学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值为 .
（3）由（2）知：令 得： ，
令 得： ，
当 时， （1）
当 时， ，
所以 ，（2）
，（3）
.....
，（n）
将（1）（2）（3），.....，（n）式相加得：
不等式左边：
不等式右边：
；
所以 .
学科网（北京）股份有限公司
