文档内容
方法精讲-资料 4
（笔记）
主讲教师：陶昶安
授课时间：2024.04.02
粉笔公考·官方微信方法精讲-资料 4（笔记）
资料分析 方法精讲4
学习任务：
1.课程内容：倍数、特殊增长率
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第200～212页
4.重点内容：
（1）倍数与增长率的相互转化
（2）间隔增长率的对应公式
（3）年均增长率的比较技巧
（4）混合增长率的两个结论
【注意】课前答疑：
1.一开始做题时间达不到很正常，练习多了之后就行了。
2.看单位，增长+具体单位（元、吨）→增长量；增长+%→增长率。
3.读材料结构：时间、主体、“其中”。
4.后续在补充课包中会添加学霸养成课，里面就有结构阅读相关课程。
5.只有一个过去的时间→基期；如果有两个时间→两期。
6.平均数的增长量→没有技巧，只有截位估算。
7.听懂了只是知道了，做新题就是要运用熟练，这需要一个过程。
8.回顾：
（1）比重（占、占比、比重），平均数（均、每、单位）。
（2）现期（A/B）：比重→“占”前是部分 A，“占”后是总体 B。平均数→
后A/前B。
（3）基期：A/B*[（1+b）/（1+a）]。
（4）两期：
①升降判断，比较a和b的大小。
②比重：A/B*[（a-b）/（1+a）]。
1③平均数：量→A/B*[（a-b）/（1+a）]；率→r=（a-b）/（1+b）。
第七节 倍数
基本术语：
倍数用来表示两个量的相对关系。
A是B的n倍：n=A/B。
A比B增长（多）r倍：r=A/B-1。
倍数的学习重点
现期倍数→基期倍数
【注意】倍数的学习重点：只考现期倍数和基期倍数，没有两期。
一、现期倍数
重点一：现期倍数
识别：现期时间+倍，是几倍、多几倍
问法：A是B的几倍→A/B
A比B多/增长几倍→A/B-1
A超过B的n倍→A＞n*B
练习：800是100的 倍
800比100多 倍
操作：注意“是几倍”还是“多/增长几倍”；看清主体
【注意】现期倍数：
1.识别：现期时间+倍，是几倍、多几倍。
2.问法：
（1）A是B的几倍：A/B。我是你的几倍→直接相除即可。
（2）A比B多/增长/高几倍：（A-B）/B=A/B-1=是几倍-1。
（3）A超过B的n倍：A＞n*B。“超过”就是“＞”。
3.练习：
（1）800是100的800/100=8倍。
2（2）800比100多8-1=7倍。
4.操作：注意“是几倍”还是“多/增长几倍”；看清主体。
据对全国 6.4 万家规模以上文化及相关产业企业调查，2021 年前三季度，
上述企业分行业类别营业收入情况：新闻信息服务9847亿元，同比增长22.1%；
内容创作生产17693亿元，同比增长18.6%；创意设计服务13787亿元，同比增
长24.0%；文化传播渠道9309亿元，同比增长30.1%；文化投资运营359亿元，
同比增长 13.8%；文化娱乐休闲服务 916亿元，同比增长 35.3%；文化辅助生产
和中介服务 11441 亿元，同比增长 18.3%；文化装备生产 4880 亿元，同比增长
17.8%；文化消费终端生产15974亿元，同比增长22.0%。
【例1】（2023辽宁）2021年前三季度，分行业类别中，同比增速最高行业
营业收入是同比增速最低行业营业收入的：
A.2 倍多 B.3倍多
C.20多倍 D.30多倍
【解析】1.问题时间与材料时间一致，问谁是谁的多少倍，现期倍数问题，
A/B，对应材料，同比增速最高的（35.3%）行业是文化娱乐休闲服务，同比增速
最低的（13.8%）行业是文化投资运营，看营业收入的倍数，所求=916/359，首
位商2，对应A项。【选A】
2023年一季度，全国社会消费品零售总额 114922亿元，同比增长5.8%，上
年四季度为下降 2.7%。按经营单位所在地分，城镇消费品零售额 99664 亿元，
增长5.7%；乡村消费品零售额 15258 亿元，增长 6.2%。按消费类型分，商品零
售102786 亿元，增长4.9%；餐饮收入 12136 亿元，增长13.9%。基本生活类商
品销售良好，限额以上单位服装鞋帽针纺织品类、粮油食品类商品零售额分别增
长 9.0%、7.5%。升级类商品销售大幅增长，限额以上单位金银珠宝类、书报杂
志类商品零售额分别增长13.6%、13.4%，全国网上零售额32863亿元，增长8.6%，
其中，实物商品网上零售额 27835 亿元，增长 7.3%，占社会消费品零售总额的
比重为 24.2%。
【例2】（2023事业单位）按经营单位所在地分，2023年一季度，城镇消费
3品零售额约比乡村消费品零售额多多少倍？
A.4.5 B.5.5
C.6.5 D.7.5
【解析】2.问题时间2023年一季度，为现期时间；问多几倍，A/B-1；对应
材料，所求=99664/15258-1=6+-1=5+，对应B项。【选B】
二、基期倍数
重点二：基期倍数
识别：过去时间+倍
公式：基期倍数=A/B*[（1+b）/（1+a）]
A分子的现期量，B分母的现期量，a分子的增长率，b分母的增长率
速算：
选项差距大：截位直除，约分计算
选项差距小：计算A/B 且结合（1+b）/（1+a）与 1的大小分析；等比例放
缩
注：推导原理与基期比重、平均数一样，速算方法也一样
【注意】基期倍数：
1.识别：过去时间+倍。
2.公式：基期倍数=A/B*[（1+b）/（1+a）]。与基期比重、基期平均数的公
式相同。A/（1+a）÷B/（1+b）=A/B*[（1+b）/（1+a）]。
3.速算：与基期比重、基期平均数的速算方法相同。
（1）选项差距大：截位直除，约分计算（微调）。
（2）选项差距小：先计算A/B且结合（1+b）/（1+a）与1的大小分析；等
比例放缩。
4.注：推导原理与基期比重、基期平均数一样，速算方法也一样。
2023年第14周，H市哨点医院共报告流感样病例总数为5187例，比上周增
加 4.49%，比去年同期减少 56.16%，其中国家级哨点医院 455 例，比上周减少
6.57%，比去年同期减少 55.04%。城区哨点医院 1899例，比上周减少 19.40%，
4比去年同期减少55.46%；郊区、县（市）哨点医院3288例，比上周增加26.07%，
比去年同期减少56.55%。本周全市哨点医院 ILI%为5.98%，比上周低0.07个百
分点，其中国家级哨点医院 ILI%为2.12%，比上周高 0.23个百分点。城区哨点
医院ILI%为4.45%，比上周低0.56个百分点；郊区、县（市）哨点医院ILI%为
7.46%，比上周高0.01个百分点。
【例 1】（2024浙江网友回忆版）2023年第13周，H市郊区、县（市）哨点
医院报告流感样病例约是城区的多少倍？
A.1.7 B.1.5
C.1.3 D.1.1
【解析】1.材料时间2023年第14周，问题时间2023年第13周，为基期时
间；问是几倍，基期倍数问题。公式：A/B*[（1+b）/（1+a）]，郊区、县（市）
哨点医院报告流感样病例为A、a，城区对应B、b，对应材料，注意找环比增速，
列式：3288/1899*[（1-19.4%）/（1+26.07%）]，A、B项首位相同，次位差7-5=2
＞首位1，选项差距大，截两位，原式转化为33/19*（81/13）=2673/247，结果
为10开头，对应D项。【选D】
2020年全国人口共141178万人，比2010年增长了约5.38%。从地区分布上
看，2020年东部地区人口占39.93%，中部地区占25.83%，西部地区占27.12%，
东北地区占6.98%。与2010年相比，东部地区人口所占比重上升2.15个百分点，
中部地区下降0.79个百分点，西部地区上升0.22个百分点，东北地区下降1.20
个百分点。
【例2】（2022联考）2010年，东部地区人口是东北地区人口的：
A.约4.6倍 B.约5.7倍
C.约6.5倍 D.约7.3倍
【解析】2.给2020年，问2010年，问谁是谁的多少倍，基期倍数问题。对
应材料，高减低加，2010 年东部地区占比=39.93%-2.15%=37.78%，2010 年东北
地区占比=6.98%+1.2%=8.18%，所求=（2010 年全国人口*东部占比）/（2010 年
全国人口*东北占比）=37.78%/8.18%，首位商4，对应A项。【选A】
5【注意】总量相同，部分量之比=比重之比。
【注意】倍数问题理论小结（笔记）：
1.现期倍数：
（1）识别：现期时间+倍，是几倍、多几倍。
（2）考点：
①是几倍：A是B的几倍→A/B。
②多/增长/高几倍：A比B多几倍→A/B-1=r。
③超过（＞）几倍：A超过B的n倍→A＞n*B。
④不低于几倍：≥几倍。
2.基期倍数：
（1）识别：过去时间+倍。
（2）公式：基期倍数=A/B*[（1+b）/（1+a）]。
（3）速算：
①选项差距大，截位直除，约分计算。
②选项差距小，先计算A/B，再看（1+b）/（1+a）与1的大小。
6③等比例放缩。
【检测】（2018江苏）为了解市民家庭存书（不含教材教辅）阅读和共享意
愿情况，某市统计局成功访问了 18岁以上的常住市民 2007人。调查显示，关于
家庭存书共享意愿的问题，选择“无条件愿意”“有条件愿意”“不愿意”“不知
道/不清楚”的受访市民所占比重分别是60.8%、15.1%、20.6%、3.5%。
选择“无条件愿意”共享家庭存书的受访市民比选择“有条件愿意”的多：
A.5倍 B.4倍
C.3倍 D.2倍
【解析】拓展.问谁比谁多几倍，A/B-1；对应材料，所求=60.8%/15.1%-1
≈4-1=3，对应C项。【选C】
第八节 特殊增长率
一、间隔增长率
二、年均增长率
三、混合增长率
四、混合比例专项
【注意】特殊增长率：前面学习了一般增长率，r=增长量/基期量。现在重
点学习间隔增长率、年均增长率、混合增长率。
一、间隔增长率
间隔增长率的学习重点
间隔增长率→间隔拓展题型
重点一：间隔增长率识别、公式与计算
识别：隔一年/一期+求增长率
例：已知2022年的同比增长率为r，2021年的同比增长率为r，问与2020
1 2
年相比，2022年的增长率
7【注意】间隔增长率识别、公式与计算：
1.识别：隔一年/一期+求增长率。比如问2022年比2020年的增长率。
2.例：已知2022年的同比增长率为r，2021年的同比增长率为r，问2022
1 2
年比 2020 年的增长率，中间隔了 2021 年，间隔增长率。如图所示，假设 2020
年为 A，则 2021 年=A*（1+r ），2022 年=A*（1+r ）*（1+r ），所求=现期/基期
2 2 1
-1=[A*（1+r ）*（1+r）]/A-1=1+r+r+r*r-1=r+r+r*r，这就是间隔增长率
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
公式。
3.公式：r=r+r+r*r，记忆：和+积。
1 2 1 2
4.注意事项：
（1）r 和r 没有顺序，是相同的地位。
1 2
（2）间隔增长率不是必须隔一年，只要两段时间相连即可。比如2020年比
2017 年的增长率为 r ，2022 年比 2020 年增长率为 r ，可以求 2022 年比 2017
1 2
年的增长率。
给r、r 的形式？
1 2
形式1：直接给
2023年A公司收入的同比增速为10%，2022年同比增速为3%。
形式2：给百分点关系
82023年B公司收入的同比增速为12%，增速比上年上升3个百分点。
2023年C公司成本的同比增速为-2%，降幅比上年收窄1个百分点。
【注意】给r、r 的形式：
1 2
1.形式1：直接给。
例：2023年A公司收入的同比增速为10%，2022年同比增速为3%。
答：r=10%，r=3%。
1 2
2.形式2：给百分点关系。
（1）2023年B公司收入的同比增速为12%，增速比上年上升3个百分点。
答：r=12%，根据高减低加，r=12%-3%=9%。
1 2
（2）2023年C公司成本的同比增速为-2%，降幅比上年收窄1个百分点。
答：r=-2%，“降幅比上年收窄 1 个百分点”，高减低加，降幅=2%+1%=3%，
1
则r=-3%。
2
速算：
第一步，先算加和（分析选项是否是唯一值）
15%+18%+15%*18%=
A.35.7% B.30.9%
C.28.9% D.21.6%
第二步，再算乘积
若r、r 绝对值均小于10%，|r*r|＜1%，一般可以忽略
1 2 1 2
5%+8%+5%*8%≈
不能忽略时，一个不变，另一个百化分或小数计算
28%+25%+28%*25%=
练习1：18%+16%+18%*16%≈
练习2：（-28%）+5.1%+（-28%）*5.1%≈
练习3：（-18%）+（-11%）+（-18%）*（-11%）≈
【注意】速算：
1.第一步，先算加和（分析选项是否是唯一值）。
例：15%+18%+15%*18%=。
9A.35.7% B.30.9%
C.28.9% D.21.6%
答：先算和，15%+18%=33%，乘积 15%*18%＞0，结果大于33%，只有 A项满
足。
2.第二步，再算乘积。
（1）若r、r 绝对值均小于10%，|r*r|＜1%，一般可以忽略。
1 2 1 2
例：5%+8%+5%*8%，乘积比1%，可以忽略，结果≈13%。
（2）不能忽略时，一个不变，另一个百化分或小数计算。
①例：28%+25%+28%*25%。
答：先加和，28%+25%=53%，乘积不能忽略，一个不动，一个百化分，25%=1/4，
原式=53%+28%*（1/4）=53%+7%=60%。
②不百化分，也可以化为小数，比如60%*36%=0.6*36%。
3.练习：
（1）练习1：18%+16%+18%*16%≈。
答：18%+16%=34%，r、r 均大于 10%，不能忽略，一个不变，另一个百化分，
1 2
原式≈34%+18%*（1/6）=34%+3%=37%。
（2）练习2：（-28%）+5.1%+（-28%）*5.1%≈。
答：（-28%）+5.1%=-22.9%，一个不变，另一个百化分，原式≈-22.9%-28%*
（1/20）=-22.9%-1.4%=-24.3%。
（3）练习3：（-18%）+（-11%）+（-18%）*（-11%）≈。
答：（-18%）+（-11%）=-29%，后面乘积结果是正的，一个不变，另一个百
化分，原式≈-29%+18%*（1/9）=-29%+2%=-27%。
10【例1】（2019山东）虽然2014～2016年间全国医疗卫生机构床位数增长速
度持续下滑，但2016年床位数仍然比2014年增加了：
A.12.26% B.10.87%
C.13.21% D.9.69%
【解析】1.增加+%，求增长率。时间 2016 年和2014 年中间隔了 2015年，
间隔增长率问题。
方法一：给了现期和基期，直接算增长率，r=（741-660）/660=81/660=12
开头，对应A项。
方法二：对应材料，r 为2016年对2015年的增长率（r=5.6%），r 为2015
1 1 2
年对2014年的增长率（r=6.3%），所求=5.6%+6.3%+5.6%*6.3%=11.9%+1-%=12.9-%，
2
对应A项。【选A】
2022 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业超 3.5 万家，累计完成
软件业务收入 108126 亿元，同比增长 11.2%，增速较上年同期回落 6.5 个百分
点。
【例2】（2024四川）2022年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业累
计完成软件业务收入约比2020年增长了：
A.16% B.23%
C.29% D.31%
11【解析】2.增长+%，求增长率，2022年与2020年中间隔了一年，求间隔增
长 率 ， 对 应 材 料 ， r=11.2% ， r=11.2%+6.5%=17.7% ； r
1 2 间 隔
=11.2%+17.7%+11.2%*17.7%≈28.9%+（1/9）*18%≈28.9%+2%=30.9%，对应D项。
【选D】
重点二：间隔增长拓展
1.间隔倍数
2.间隔基期
重点二：间隔增长拓展
1.间隔倍数=1+r →2022年是2020年的几倍？
间
识别：隔一年，问“是几倍”、“多几倍”
方法：
第一步，求间隔增长率
第二步，看问法：是几倍=1+r 、多/增长几倍=r
间 间
【注意】间隔增长拓展：
1.间隔倍数=1+r 。
间
2.例：2022年是2020年的几倍？
答：基期=A，现期=A*（1+r ），问是几倍，直接除，现期/基期=A*（1+r ）
间 间
/A=1+r 。
间
3.识别：隔一年，问“是几倍”、“多几倍”。
4.方法：
（1）第一步，求间隔增长率。
（2）第二步，看问法：是几倍=1+r 、多/增长几倍=r 。
间 间
重点二：间隔增长拓展
2.间隔基期=现期/（1+r ）→已知：2022年，求2020年。
间
识别：隔一年，求基期
方法：
12第一步，求间隔增长率
第二步，间隔基期=现期/（1+r ）
间
【注意】间隔增长拓展：
1.间隔基期=现期/（1+r ）。
间
2.例：已知2022年，求2020 年。
答：2020年为基期，2022年是现期，已知 r ，则基期=现期/（1+r ）。
间 间
3.识别：隔一年，求基期。
4.方法：
（1）第一步，求间隔增长率。
（2）第二步，间隔基期=现期/（1+r ）。
间
5.如果有r、r、r，就两两先算出一个r ，再和r 一起算一次r 。
1 2 3 间1 3 间2
2018年全年H市保费收入65.4 亿元，同比增长0.7%。其中，寿险业务保费
收入39.5亿元，下降5.1%；健康和意外险业务保费收入9.1亿元，增长21.6%，
增速同比增加5个百分点；财产险业务保费收入3.4亿元，增长25.2%；车险业
务保费收入 13.3 亿元，增长 1.8%。全年支付各类赔款及给付 21.2 亿元，增长
5.3%。其中，寿险业务保费赔付11.0亿元，增长1.4%；健康和意外险业务保费
赔付3.0亿元，增长68.7%；财产险业务保费赔付0.9亿元，增长5.7%；车险业
务保费赔付6.4亿元，下降5.0%。
【例3】（2021新疆兵团）2016年全年H市健康和意外险业务保费收入约为
多少亿元？
13A.7.5 B.6.9
C.6.4 D.6.1
【解析】3.问2016年，给2018年，中间隔了2017年，求间隔基期，公式：
间隔基期=现期/（1+r ），对应材料，r=21.6%，r=21.6%-5%=16.6%，则 r
间隔 1 2 间隔
=21.6%+16.6%+21.6%*16.6%≈38.2%+21.6%*（1/6）≈38.2%+3.6%=41.8%；间隔
基期=9.1/（1+41.8%）=9.1/1.418，转化为91/142，首位商6，次位商4，对应
C项。【选C】
【注意】看到142可以想到143，14.3%≈1/7，则结果≈9.1*7=63开头。
【注意】间隔增长率理论小结（笔记）：
1.间隔增长率：
（1）识别：隔一年/一期+求增长率。
（2）公式：r =r+r+r*r。
间 1 2 1 2
（3）速算：先算和；再看乘积。
①当r、r 绝对值均＜10%时，可忽略（或者写成1-%）。
1 2
②不能忽略时，一个不动一个百化分或小数，估算。
2.拓展题型：
（1）间隔倍数：
①第一步：求r 。
间
14②第二步：是几倍=1+r 、多/增长几倍=r 。
间 间
（2）间隔基期：
①第一步：求r 。
间
②第二步：间隔基期=现期/（1+r ）。
间
2018年，我国全社会用电量 68449 亿千瓦时，同比增长 8.5%，增幅同比提
高 1.9 个百分点。具体来看，第一产业用电量 728 亿千瓦时，同比增长 9.8%；
第二产业用电量 47235 亿千瓦时，同比增长 7.2%；第三产业用电量 10801 亿千
瓦时，同比增长12.7%；城乡居民生活用电量 9685亿千瓦时，同比增长10.4%。
【PK题目】（2019广东）2018 年，我国全社会用电量较2016年增加了约：
A.13.7% B.15.7%
C.17.9% D.19.9%
【解析】拓展.增加+%，求增长率，2018年和2016年中间隔了2017年，求
间隔增长率，对应材料，r=8.5%，高减低加，r=8.5%-1.9%=6.6%，则 r
1 2 间
=8.5%+6.6%+8.5%*6.6%=15.1%+1-%，结果比15.1%大一点点，对应B项。【选B】
二、年均增长率
年均增长率的学习重点
年均增长率比较→增速不变算将来
年均增长率
识别：年均+增长+%
公式：现期量/基期量=（1+r）n（年均增长率基期的确定，与年均增长量相
同）
例：基期为2018年，收入为 100亿元，现期为2023年，收入为200亿元，
年均增长率为多少？
【注意】年均增长率：
1.识别：年均+增长+%。
2.例：假设每年的增长率都是r，已知2018年=100，则2019年=100*（1+r），
152020 年=100*（1+r）²，2021 年=100*（1+r）³，2022 年=100*（1+r）4，2023
年=100*（1+r）5=200；则200/100=（1+r）5→现期/基期=（1+r）n。
3.公式：现期量/基期量=（1+r）n。年均增长率基期的确定，与年均增长量
相同，江苏基期要前推。
重点一：年均增长率比较
比较：年均增长最快、年均增速排序
方法：n相同，直接比较“现期量/基期量”
原理：“现期量/基期量”大，“整体增长率”大，年均增长率就大
【注意】年均增长率比较：
1.比较：年均增长最快、年均增速排序。
2.方法：n相同，直接比较“现期量/基期量”。
3.原理：“现期量/基期量”大，“整体增长率”大，年均增长率就大。比如
2018年是基期，2023年是现期，如果总的增长率大，则平均到每一年的增长率
就大。
4.例：问哪个年均增长率最大，n相同，年份差=2020-2016=4，直接比较“现
期/基期”，B、C 产量比较：B 产量的分子大、分母小，排除 C 产量。A、B 产量
比较：同大同小，横着看倍数，分子为 10+倍，分母为 1+倍，分子大的分数大，
所以B产量最大。
16【例1】（2020江苏）2013～2018年江苏9个民航机场中旅客吞吐量年均增
速最快的机场是：
A.南京禄口 B.南通兴东
C.扬州泰州 D.盐城南洋
【解析】1.问题时间2013～2018年，问年均增速最快的，2018年是现期，
基期往前推一年为2012年，n相同，直接比较“现期/基期”，对应材料，A项：
2858/1400=2+，B项：277/39=7+，C项：238/25=9+，D项：182/32=5+，对应C项。
【选C】
17【例2】（2023事业单位）分别以 V、V、V 表示2014～2022年城镇基本医
1 2 3
疗保险年末参保人数、城镇职工基本医疗保险年末参保人数、城镇居民基本医疗
保险年末参保人数的年均增长率，则V、V、V 的大小关系是（ ）。
1 2 3
A.V ＞V＞V B.V＞V＞V
1 2 3 3 2 1
C.V ＞V＞V D.V＞V＞V
2 1 3 3 1 2
【解析】2.比较年均增速，问题时间 2014～2022年，假设是江苏的题，基
期前推，基期为 2013 年，现期为 2022 年，对应材料，V =134570/57072.6=2+，
1
V=36242/27443.1=1+，V=98328/29629.5=3+，V 是最小值，V 是最大值，对应D
2 3 2 3
项。【选D】
重点二：增速不变，算将来（江苏特色）
例：2010年产值为A，2015年产值为B，若2016年～2020年的年均增速与
2011年～2015年保持一致，则2020年产值C将达到多少？
增速不变，算将来。
公式：C=B²/A。其中：A（基期），B（正中间时期），C（将来现期）。
速算：估算或截位。
例：2016年，某公司营业收入为2100万元，2020年为6500万元，如果2021～
2024 年保持 2017～2020 年的增长率，2024 年该公司营业收入预计约为多少亿
元？
A.1.46 B.1.66
C.1.95 D.2.01
【注意】增速不变，算将来（江苏特色）：
181.例：2011年～2015年是5 年，增长率为r；2016年～2020年也是5年，
增长率为r；求C，江苏的基期要前推，所以2011年～2015年的基期为2010年，
即 2010 年=A，2016 年～2020 年的基期为 2015 年，即 2015 年=B=A*（1+r）5→
B/A=（1+r）5，2020年=C=B*（1+r）5=B*（B/A）=B²/A。
2.增速不变，算将来。
3.公式：C=B²/A。其中：A（基期），B（正中间时期），C（将来现期），两两
之间的年份差相等。
4.速算：估算或截位。
5.例：已知2016年=2100，2020年=6500，问2024年，2016年→2020年的
n=4，2020年→2024年的n=4，则2024年=6500²/2100，估算，65*65/21=65*3+=195+。
【例3】（2019江苏）若从 2019 年起每年均按 2014～2018年的平均增速增
长，则2023年全国互联网业务收入将达到：
19A.21620亿元 B.27565亿元
C.30147亿元 D.31829亿元
【解析】3.基期要前推，相当于是 2013 年→2018 年→2023 年，A 是 2013
年（3317），B是2018年（9562），C是2023年，C=B²/A=（9562*9562）/3317，
9562/3317首位商不到3，结果为9562*3-=28-开头，对应B项。【选B】
拓展：年均增长率计算
公式：现期量/基期量=（1+r）n。
计算：结合选项居中代入，与现期/基期比较。
操作：选项较整，居中代入；选项不整，代入介于居中两个选项的分数；然
后与现期/基期比较。
（1+r）³=1.73，r≈（ ）？
A.10% B.20%
C.40% D.50%
（1+r）4=2.6，r≈（ ）？
A.22% B.27%
C.37% D.42%
【注意】拓展：年均增长率计算。
1.公式：现期量/基期量=（1+r）n。
2.计算：结合选项居中代入，与现期/基期比较。
3.操作：选项较整，居中代入；选项不整，代入介于居中两个选项的分数；
然后与现期/基期比较。
4.例：
（1）代入20%，1.2³=（6/5）³=216/125=1.728≈1.73，对应B项。
（2）代入B、C项中间的1/3：（1+1/3）4=44/34=256/81=3+＞2.6，说明1/3
偏大，排除C、D项。在 A、B项中间取1/4，（1+1/4）4=54/44=625/256=2.5-＜2.6，
说明1/4偏小，对应B项。
20【检测】（2022 四川）将①同城快递、②异地快递、③国际/港澳台快递按
2016～2019年业务量年均增速（以2016年为基期）从高到低排列，以下正确的
是：
A.①②③ B.①③②
C.③①② D.③②①
【解析】拓展.课堂正确率快 90%。年均增长率比较问题，问题时间 2016～
2019年，n相同，直接比较“现期/基期”，现期是2019年，明确说了基期是2016
年，对应材料，①同城快递：110.4/74.1=1+；②异地快递：510.5/232.5=2+；③
国际/港澳台快递：14.4/6.2=2+，①最小，结合选项，对应D项。【选D】
三、混合增长率
21三、混合增长率的学习重点
题型识别→口诀判断
【注意】混合增长率的学习重点：会把原理讲明白，大家努力听，听得透彻
最好，听得迷糊就记结论。
1.题型识别。
2.口诀判断、计算。
混合增长率的识别与方法
识别：部分+部分=总体，求增长率（量加和、率混合）
量加和：①主体：进口+出口=进出口；房产+地产=房地产；
邮政+电信=邮电；博士+硕士=研究生
②时间：1～11月+12月=全年；一季度+二季度=上半年
③逻辑：是+非=全部，男+女=全部
方法：先口诀、再线段
混合增长率口诀
1.混合后居中（部分增长率 ＜整体增长率＜部分增长率 ）
1 2
例：某地2023年上半年GDP同比增速为8%，下半年为12%。问：该地2023
年全年GDP同比增速范围是 %＜r＜ %。
【注意】混合增长率的识别与方法：
1.识别：部分+部分=总体（涉及三个主体），求增长率（量加和、率混合），
为混合增长率问题。
2.量加和：A+B=C。
（1）主体：进口+出口=进出口（三个主体、三个量，量加和的关系，研究
各自的增长率）；房产（盖房子的）+地产（整理土地的）=房地产；邮政+电信=
邮电；博士+硕士=研究生（容易出错，山东考过，研究生是学历，博士和硕士是
学位，考研一般指的是考硕士研究生，考博指的是考博士研究生）。
（2）时间：1～11 月+12月=全年；一季度+二季度=上半年。时间混合的基
期都是去年，间隔增长率基期不是去年。
（3）逻辑：是+非=全部；男+女（非男生）=全部；税收收入+非税收收入=
22总收入。
3.方法：先口诀、再线段。
4.混合增长率口诀：
（1）混合后居中（部分增长率 ＜整体增长率＜部分增长率 ），总体增长率
1 2
介于部分增长率之间，可理解为快的和慢的合在一起不快不慢。
（2）例：某地2023年上半年GDP同比增速为8%，下半年为12%。问：该地
2023年全年GDP同比增速范围是 %＜r＜ %。
答：上半年+下半年=全年，量存在加和关系，研究增长率，为混合增长率问
题。上半年长得慢（8%）、下半年长得快（12%），上半年“拖后腿”，则混合之后
一定小于12%，下半年会“拉一把”上半年，则混合之后一定大于8%，混合后范
围是8%＜r＜12%。如果做题时不好想，画线段分析，混合前写两边（8%写左边、
12%写右边），混合后居中（r），中间符号一致（要么都是“＞”、要么都是“＜”），
则8%＜r＜12%。
2021年，中国跨境电商交易规模达14.2万亿元，占我国货物进出口总额的
比例为36.3%。其中出口跨境电商交易规模11万亿元，同比增速13.4%；进口跨
境电商交易规模3.2万亿元，同比增速 14.3%。2017～2022年第一季度，中国跨
境电商领域共发生262次投资，投资总金额654.91亿元。
【例1】（2023山东）2021年，我国跨境电商交易规模同比增长：
A.12.8% B.13.4%
C.13.6% D.14.3%
【解析】1.增长+%，研究增长率，主体是“跨境电商交易规模”，结合材料，
有出口、进口，合在一起是总的交易规模，验证：11+3.2=14.2。进口+出口=总
交易规模，量之间存在加和关系，研究增长率，为混合增长率问题。混合前写两
边，混合后写中间，总体增长率居中，r （13.4%）＜r ＜r （14.3%），
出口 进出口交易 进口
对应C项。【选C】
23题型：混合增长率
方法：口诀法
计算：13.4%与14.3%间，选C
【例2】（2022四川下）2019年1～2月，我国包裹寄递量比去年同期：
A.下降了不到10% B.下降了10%以上
C.上升了不到10% D.上升了10%以上
【解析】2.上升/下降+%，求增长率；结合材料找“包裹寄递量”，材料给的
是一季度、3月，问2019年1～2月，1～2月+3月=一季度，量之间存在加和关
系，研究增长率，为混合增长率问题。混合前写两边，混合后居中，r （x%）
1～2月
＜r （-12.3%）＜r （-10.8%），故 r （x%）＜-12.3%，一定是下降，排
一季度 3月 1～2月
除 C、D 项；负得越多越小，比如-15%＜-12.3%，负得比 12.3%多，即下降 10%
24以上，对应B项。【选B】
【注意】
1.混合前写两边，混合后写中间，1～2 月+3月=一季度（总量），总的写中
间，部分写两边。
2.比去年同期的增长率就是同比增长率。
3.本题是时间型混合。
题型：混合增长率
方法：口诀法
计算：应＜-12.3%，选B
混合增长率口诀
2.偏向基期量较大的增长率（基期增速未知时，用现期近似代替基期）
假设r＜r＜r，偏向r，即 r＜r＜（r+r）/2（正中间）；偏向r，即（r+r）
1 2 1 1 1 2 2 1 2
/2（正中间）＜r＜r
2
例：某地2023年上半年GDP为800亿元，同比增速为8%，下半年GDP为1200
亿元，同比增速为12%。问：该地2023年全年GDP同比增速为？
A.7.2% B.8.7%
C.10.4% D.13.1%
【注意】混合增长率口诀——偏向基期量较大的增长率（基期增速未知时，
25用现期近似代替基期）。
1.解释：比如大陆和台湾，大陆增长率是 6%、台湾增长率是 4%，如果大陆
和台湾整体算增速，混合后居中，一定在4%～6%之间，即4%＜r＜6%，但台湾量
（基期量）太小，影响很小，“扯后腿”也扯不动，则r离6%更近（r更靠近6%）。
2.两种思路：
（1）假设r＜r＜r，在正中间画一条线，正中间是（r+r）/2；偏向r，
1 2 1 2 1
即r＜r＜（r+r）/2（正中间）；偏向r，即（r+r）/2（正中间）＜r＜r。
1 1 2 2 1 2 2
（2）可以代入选项，一看就知道离谁更近。
3.例：某地2023年上半年GDP为800亿元，同比增速为8%，下半年GDP为
1200亿元，同比增速为12%。问：该地 2023年全年GDP同比增速为？
A.7.2% B.8.7%
C.10.4% D.13.1%
答：混合后居中，8%＜r＜12%，排除A、D项。看偏向，看谁的基期量大，
下半年基期=1200/1.12=1000+，上半年基期=800/1.08=800-，下半年基期大，混
合后增长率离下半年增速 12%近，正中间为（8%+12%）/2=10%，混合后在 10%～
12%之间，即10%＜r＜12%，选择 C项；也可以直接代入选项，剩下B、C项，8.7%
明显离8%近、离12%远，10.4%离 12%更近、离8%远，选择C项。
2022 年，全国居民人均可支配收入 36883 元，比上年增长（以下如无特别
说明，均为同比名义增长）5.0%。分城乡看，城镇居民人均可支配收入 49283
元，增长3.9%；农村居民人均可支配收入20133元，增长6.3%。
2022年，全国居民人均消费支出 24538元，比上年增长 1.8%。分城乡看，
城镇居民人均消费支出30391元，增长0.3%；农村居民人均消费支出16632元，
增长4.5%。
【例 3】（2023 广东）2022 年，全国居民人均收支盈余比上一年：（注：收
26支盈余=收入–消费支出）
A.增加了约5% B.减少了约5%
C.增加了约12% D.减少了约12%
【解析】3.增加/减少+%，求增长率；材料给的数据有收入、支出，问盈余，
收支盈余=收入-消费支出→收支盈余+消费支出=收入，是A+B=C的形式，量之间
是加和关系，研究各自的增长率，为混合增长率问题。盈余和支出是部分，写两
边；收入是总体，写中间；混合后居中，r （x%）＞r （5%）＞r （1.8%），
收支盈余 收入 支出
即r （x%）＞5%，胆子大排除A、B、D项，直接选D项。
收支盈余
如果认为 5.2%也是约5%，严谨一点，看偏向，盈余的增长率未知，无法求
基期，因此用现期代替；总量是36883，分成两部分，一部分（消费支出）是24538、
一部分（收支盈余）是36883-24538=12345，消费支出（24538）＞收支盈余（12345），
消费支出的数据（量）大（类比大陆的量比台湾的量大得多），则5%离1.8%的距
离更近、离 x%远，近的距离=5%-1.8%=3.2 个百分点，则 5%距离 x%要大于 3.2
个百分点（离得远），即x%＞8.2%，远大于5%，对应C项。【选C】
题型：混合增长率
方法：口诀法
计算：应＞5%；5%偏向1.8%，则x%离5%远，选C。
2018年H市完成邮电业务总量108.2亿元。其中，邮政业务总量40.8亿元，
同比增长26.5%；电信业务总量 67.4亿元，同比增长56.7%。年末移动电话用户
达到 341 万户，其中，3G 移动电话用户达到 25.7 万户，4G 移动电话用户达到
241.4万户。全市互联网接入用户89.9万户，其中，新增互联网用户23.8万户。
【例4】（2021新疆兵团）2018年H市邮电业务总量同比增速在下列哪一个
27范围内？
A.23%～41% B.41%～57%
C.57%～71% D.高于71%
【解析】4.材料给2018年邮电业务总量，出现“其中”，分为邮政和电信，
邮电=邮政+电信，即部分+部分=总体，研究增长率（同比增速），为混合增长率
问题。部分量写两边（邮政增速26.5%、电信增速56.7%），混合后居中，则混合
后邮电增速介于26.5%～56.7%之间（26.5%＜r＜56.7%），排除C、D项；看偏向，
原则上要用基期量判断，邮政基期=40.8/（1+26.5%）=30+，电信基期=67.4/
（1+56.7%）=40+，电信基期大，则r离56.7%近、离26.5%远，正中间=（26.5%+56.7%）
/2=83.2%/2=41.6%，故41.6%＜r＜56.7%，对应B项；也可以代入，A项区间离
26.5%近、离56.7%远，B项区间离 56.7%更近，选择B项。【选B】
题型：混合增长率
方法：口诀法
计算：介于26.5%与56.7%之间，偏向基期量大的增长率，选B。
混合增长率计算——线段法
混合前写两边，混合后写中间，增速差与基期量成反比（基期增速未知时，
用现期近似代替基期）
基期量 *r+基期量 *r=（基期量 +基期量 ）*整体r
1 1 2 2 1 2
基期量 /基期量 =（r-整体r）/（整体r-r）
1 2 2 1
28例：某地2023年进出口额为800亿元，同比增速为6%，进口额为300亿元，
同比增速为8%。问：该地2023年出口额的同比增速约为（ ）？
A.3.61% B.4.22%
C.4.83% D.5.62%
【注意】混合增长率计算——线段法：
1.混合前写两边（一般增长率写线段上面、基期量写下面），混合后写中间，
增速差与基期量成反比（原则上就应该用基期，基期增速未知时，用现期近似代
替基期）。
2.推导：进口+出口=进出口，增长量=基期*r，增量 +增量 =总增量，则基
1 2
期量 *r+基期量 *r=（基期量 +基期量 ）*整体 r→基期量 /基期量 =（r-整
1 1 2 2 1 2 1 2 2
体r）/（整体r-r）。
1
3.应用：混合前写两边（r、r），混合后写中间（整体r），量之比=基期量
1 2
/基期量 、增速差之比=线段 /线段 =（r-整体r）/（整体r-r），如图，增速
1 2 1 2 2 1
差和基期量刚好成反比。比如基期量之比为2：3，则增速差之比为3：2。
4.例：某地2023年进出口额为800亿元，同比增速为6%，进口额为300亿
元，同比增速为8%。问：该地2023 年出口额的同比增速约为（ ）？
A.3.61% B.4.22%
29C.4.83% D.5.62%
答：有进口、出口、进出口，研究增长率，为混合增长率问题。混合前写两
边（8%、x%），混合后写中间（6%），混合后居中，则 x%＜6%，看偏向也无法选
出答案；考虑线段法，增速差与基期量成反比，出口额增速未知，用现期代替基
期，进口额=300、出口额=800-300=500，量之比=300：500=3：5，则增速差之比
（线段之比）=5：3，5份对应8%-6%=2个百分点，则1份对应0.4个百分点，3
份占1.2个百分点，6%跟x%相差1.2个百分点，x%=6%-1.2%=4.8%，最接近C项
（问的是“约为”，由于用的是现期，所以不是正好等于 4.83%，如果用基期量
计算则正好等于）。
30【例5】（2021江苏）2019年我国海洋相关产业产值增速：
A.低于3.0% B.介于3.0%和4.0%之间
C.高于5.0% D.介于4.0%和5.0%之间
【解析】5.观察表格，“指标”处往后缩的字符不同则级别不同，“海洋产业”
和“海洋相关产业”是并列的，海洋生产总值是总的，验证：海洋产业（57315）
+海洋相关产业（32100）=海洋生产总值（89415），问增速，研究增长率，为混
合增长率问题。两部分写两边（7.8%、？），混合后写中间（6.2%），混合后居中，
7.8%＞6.2%＞？，则？＜6.2%，选项都满足，看偏向也选不出答案；用线段法，
距离与量成反比，有未知的增长率，用现期代替基期，不用太精确，量之比=57315：
32100≈57：32=（7+*8）：（8*4）=7+：4，则增速差（距离）之比=4：7+，4份对
应7.8%-6.2%=1.6 个百分点，1份对应 0.4个百分点，7 份对应 2.8个百分点，
则6.2%比“？”大2.8+个百分点，故？=6.2%-2.8+%=3.4-%，对应B项。【选B】
题型：混合增长率
方法：口诀法、线段法
计算：？＜6.2%，6.2%离着？远，则？＜4.6%，排除C；线段法，量之比约
7：4，选B。
31【注意】混合增长率理论小结（笔记）：
1.识别：部分+部分=总体（量+量=总量），求增长率（量加和、率混合）。如
果给式子，要转化为A+B=C的形式。
2.量加和：
（1）主体：进口+出口=进出口；房产+地产=房地产；邮政+电信=邮电；博
士+硕士=研究生。
（2）时间：1～11月+12月=全年；一季度+二季度=上半年。
（3）逻辑：是+非=全部，男+女=全部。
3.方法：
（1）先口诀：混合后居中；偏向基期量较大的增长率。
（2）再线段：混合前写两边，混合后写中间，增速差与基期量成反比。
（3）注：基期增速未知时，一般用现期量代替基期量（一般问题不大，考
场能用基期就用基期，用不了再用现期代替）。
江西省2015年财政总收入3021.5 亿元，比上年增长12.7%，财政总收入占
生产总值的比重为 18.1%，比上年提高 1.0 个百分点。其中，税收收入 2373.0
亿元，增长8.9%，占财政总收入比重为78.5%，其他收入648.5亿元。
【检测】2015年江西省财政总收入中的其他收入比上年：
A.减少了2.9% B.减少了29.2%
C.增加了2.9% D.增加了29.2%
【解析】拓展.课堂正确率为 81%。问其他收入比上年的增长率，税收收入
32（2373亿）+其他收入（648.5亿）=总收入（3021.5亿），研究增长率，用混合
增长率思路；问其他收入增速，混合后居中，混合后总收入增速=12.7%（居中，
一定大于一个、小于另一个），已知税收收入增速=8.9%，则8.9%＜12.7%＜x%，
只有D项符合。【选D】
四、混合比例专项
混合比例：混合增长率、混合比重、混合平均数
方法：口诀法、线段法
A溶液100克，浓度20%，B 溶液200克，浓度30%，混合后的浓度约为（ ）
A.18% B.20%
C.27% D.30%
混合后居中
A溶液100克，浓度20%，B 溶液200克，浓度30%，混合后的浓度约为（ ）
A.20% B.22%
C.27% D.30%
混合后居中，偏向量较大的
A溶液100克，浓度20%，B 溶液200克，浓度30%，混合后的浓度约为（ ）
A.22.5% B.25.0%
C.26.7% D.28.9%
距离和量成反比（混合前写两边，混合后写中间，距离与量成反比）
线段法
形如X*r+X*r=（X+X）*r 的形式，均可以用线段法。
1 1 2 2 1 2
资料分析中适用：混合增长率、比重，平均数等问题
33增长率=增长量/基期量；比重=部分/总体；平均数=总数/个数。
以下了解即可：
例：进口额增量+出口额增量=进出口总额增量，混合增长率
基期量 *r+基期量 *r=（基期量 +基期量 ）*整体 r，基期量 /基期量 =
1 1 2 2 1 2 1 2
（r-整体r）/（整体r-r）
2
例：城镇男性人口+农村男性人口=全国男性人口，混合比重
总体 *比重 +总体 *比重 =（总体 +总体 ）*整体比重，总体 /总体 =（比
1 1 2 2 1 2 1 2
重 -整体比重）/（整体比重-比重 ）。
2 1
例：男生总分+女生总分=全班总分，混合平均数
个数 *平均数 +个数 *平均数 =（个数 +个数 ）*整体平均数，个数 /个数
1 1 2 2 1 2 1
=（平均数 -整体平均数）/（整体平均数-平均数 ）。
2 2 1
混合比重、混合平均数
比重=部分/总体；平均数=总数/个数
线段法用法：
先口诀——混合后居中，偏向量（分母）大的
再线段——混合前写两边，混合后写中间，距离与量成反比
距离是指比重（%）、平均数的部分与总体之差。
量是指总体、个数等（分母），均为现期量。
【注意】混合比例：混合增长率、混合比重、混合平均数。
1.方法（一样）：口诀法、线段法。
（1）混合后居中：
例：A溶液100克，浓度20%，B溶液200克，浓度30%，混合后的浓度约为
（ ）。
A.18% B.20%
C.27% D.30%
答：溶液问题，浓度就是比重，为混合比重问题，混合后的浓度（比重）居
中（浓的和稀的倒在一起不浓不稀），介于20%～30%之间，选择C项。
（2）混合后居中，偏向量较大的：
例：A溶液100克，浓度20%，B溶液200克，浓度30%，混合后的浓度约为
34（ ）。
A.20% B.22%
C.27% D.30%
答：混合后居中，介于20%～30%之间，排除A、D项；偏向量大的，本题不
涉及现期、基期，直接看溶液的量，200 克＞100 克（类比一瓶矿泉水和大海混
合，混合后浓度无限接近大海），混合后浓度离量大的近（混合后偏向量大的），
偏向30%，选择C项。
（3）距离和量成反比（混合前写两边，混合后写中间，距离与量成反比）：
例：A溶液100克，浓度20%，B溶液200克，浓度30%，混合后的浓度约为
（ ）。
A.22.5% B.25.0%
C.26.7% D.28.9%
答：混合后居中，介于 20%～30%之间，都满足；偏向 30%，排除 A、B项；
用线段法，混合前写两边，A溶液的量是100克（浓度20%）、B溶液的量是200
克（浓度30%），混合后写中间（x%）；量之比=100：200=1：2，则距离之比=2：
1，30%-20%=10个百分点，分成3份，1份约是3.3个百分点，则x%比30%小3.3
个百分点，为26.7%，对应C项。
2.线段法：重点记结论。
（1）形如 X*r+X*r=（X+X ）*r的形式，均可以用线段法。可以得出X/X=
1 1 2 2 1 2 1 2
（r-r）/（r-r）。
2 1
（2）资料分析中适用：混合增长率、混合比重（如浓度问题）、混合平均数
等问题。
①增长率=增长量/基期量。
②比重=部分/总体。
35③平均数=总数/个数。
（3）以下了解即可：
①例：进口额增量+出口额增量=进出口总额增量，混合增长率。基期量 *r+
1 1
基期量 *r=（基期量 +基期量 ）*整体r，基期量 /基期量 =（r-整体r）/（整
2 2 1 2 1 2 2
体r-r）。
②例：城镇男性人口+农村男性人口=全国男性人口（量是加和关系，研究比
重），混合比重。城镇人口*城镇男性占比+农村人口*农村男性占比=全国人口*
全国男性占比，总体 *比重 +总体 *比重 =（总体 +总体 ）*整体比重，总体 /
1 1 2 2 1 2 1
总体 =（比重 -整体比重）/（整体比重-比重 ）。
2 2 1
③例：男生总分+女生总分=全班总分，混合平均数。男生人数*男生平均分+
女生人数*女生平均分=全班人数*全班平均分，个数 *平均数 +个数 *平均数 =
1 1 2 2
（个数 +个数 ）*整体平均数，个数 /个数 =（平均数 -整体平均数）/（整体
1 2 1 2 2
平均数-平均数 ），人数比=距离比的反比。
1
3.混合比重、混合平均数（量是加和关系，研究比重→混合比重；存在量加
和，研究平均数→混合平均数）：比重=部分/总体；平均数=总数/个数。
（1）线段法用法：
①先口诀：混合后居中（混合比重→混合后的比重居中；混合平均数→混合
后的平均数居中），偏向量（分母）大的（比如溶液问题中分母是溶液，溶液大
则量大；平均数中分母是个数，个数大则量大）。
②再线段：混合前写两边，混合后写中间，距离与量成反比。
（2）距离是指比重（%）、平均数的部分与总体之差。
（3）量是指总体、个数等（分母），均为现期量。
2021年“三务”网上公开行政村覆盖率达到 78.3%，较上年提升6.2个百分
点。其中，党务、村务、财务分别为79.9%、79.0%、76.1%。分区域看，东部地
区“三务”网上公开行政村覆盖率为78.4%，中部地区为83.8%，西部地区为72.3%。
分省份看，如表格所示，“三务”网上公开行政村覆盖率高于全国平均水平的有
17个省份。
36【例1】（2023事业单位）设2021年我国除安徽、江西、湖北、湖南外的中
部地区“三务”网上公开行政村覆盖率为x，则下列判断正确的是：
A.x＞99.5% B.88.9%＜x＜99.5%
C.83.8%＜x＜88.9% D.x＜83.8%
【解析】1.定位文字材料，可知 2021 年中部地区总的覆盖率为 83.8%；定
位表格，可知安徽、江西、湖北、湖南覆盖率分别为99.5%、88.9%、98.7%、98.9%，
覆盖率就是一个比重，问除这四个省之外的其他地方的覆盖率，为混合比重，四
省村总数*覆盖率 +其他村总数*覆盖率 =中部地区村总数*83.8%，用口诀法、线
1 2
段法；安徽、江西、湖北、湖南四个省混合，混合后居中，四省的比重大于最小
的，即四省比重＞88.9%；四省和除四省外的中部地区混合，混合后居中（83.8%
居中），则x＜83.8%，对应D项。【选D】
题型：混合比重（四省村总数*覆盖率 +其他村总数*覆盖率 =中部地区村总
1 2
数*83.8%）
方法：口诀法、线段法
计算：口诀——混合后居中，选D。
截至2019 年底，广东省常住人口 11521万人，比上年底增加 175 万人。其
37中，男性6022.03万人、女性5498.97万人，人口密度为641人/平方公里。2019
年底，全省城镇化率（城镇常住人口占常住人口的比重）为 71.40%，同比提高
0.70个百分点。其中，珠三角九市的城镇化率为86.28%。
【例2】（2021上海）2019年底除珠三角九市外，广东省其他地区的城镇化
率：
A.小于40% B.在40%至50%之间
C.在50%至60%之间 D.大于60%
【解析】2.城镇化率为城镇常住人口占常住人口的比重，珠三角九市+除珠
三角九市（其他地区）=广东省（量+量=总量），量存在加和关系，研究各自的比
重，为混合比重问题。珠九市人口*86.28%+其他地区人口*城镇化率 =广东总人
2
口*71.4%；口诀法：混合后居中，混合后全省比重71.4%居中，珠三角九市的比
重为86.3%，则其他地区比重x＜71.4%＜86.28%，选项都符合；看偏向也选不出
答案。线段法：距离与量成反比，珠三角九市常住人口=6446.89≈6447，广东省
总人口=11521，则其他地区人口≈11521-6447=5074，量之比≈6447：5074=6+：
5，则距离之比=5：6+，5份对应 86.28%-71.4%≈15 个百分点，则 1份对应 3个
百分点，6份对应18个百分点，86.28%＞71.4%＞x，71.4%比x大18个百分点，
故x≈71.4%-18%=53.4%，对应C 项。【选C】
38题型：混合比重（珠九市人口*86.28%+其他地区人口*城镇化率 =广东总人
2
口*71.4%）
方法：口诀法、线段法
计算：口诀排 D，线段法，量之比 6+：5，距离比 5：6+，所求约为
71.4%-18+%=53.4-%，选C。
某研究机构从全国随机抽取 10个市的儿童家长，对其进行“我国儿童校外
生活状况”的问卷调查，回收有效问卷 15000份。调查结果显示：对儿童校外生
活表示“很重视”的家长占85%以上，表示“很满意”或“比较满意”的占60%；
上学日，儿童日平均使用电子产品用时43.2分钟，其中利用电子产品学习用时
13.9分钟，看动画等娱乐用时16.6分钟；周末，乡镇儿童日平均使用电子产品
用时108.2分钟，市区儿童88.4分钟。
【例3】（2020江苏）在该次调查中，市区儿童占被调查儿童的比重是：
A.40% B.50%
39C.60% D.70%
【解析】3.结合文字材料，已知“周末，乡镇儿童日平均使用电子产品用时
108.2分钟，市区儿童88.4分钟”，给了乡镇和市区的平均数，结合图形材料，
可知周末我国儿童日平均使用电子产品用时为96.3 分钟（总的）；乡镇儿童+市
区儿童=我国儿童，量存在加和关系，研究各自的平均数，为混合平均数。求的
是比重，即只需要求出市区和乡镇的人口之比即可（市区：乡镇），因此只要求
量之比即可。乡镇儿童数*108.2+市区儿童数*88.4=儿童总数*96.3，距离之比=
（108.2-96.3）/（96.3-88.4）=12-/8-≈3：2，则量之比≈2：3，市区儿童占3
份、乡镇儿童占2份，故所求≈3/（2+3）=60%，对应C项。【选C】
题型：混合平均数（乡镇儿童数*108.2+市区儿童数*88.4=儿童总数*96.3）
方法：口诀法、线段法
计算：口诀无用，线段法，距离之比约为3：2，儿童数之比2：3，3/5=60%，
选C。
2019年，全国居民人均可支配收入30733元，比2000年增长4.4倍。全国
居民人均消费支出 21559元，比 2012年增长 78.9%，年均增长 8.7%。其中，城
镇居民人均消费支出 28063 元，比 2012 年增长 64.0%；农村居民人均消费支出
13328元，比2012年增长99.9%。
【例4】（2021江苏）2019年城镇居民人口占总人口的比重约为：
A.52.7% B.53.8%
C.54.1% D.55.9%
【解析】4.求城镇居民人口的占比，算出“城镇人口：农村人口”再求比重
40即可；本题选项差距很小，要“悠着点”，精确计算。已知“全国居民人均消费
支出21559元……。其中，城镇居民人均消费支出28063元……；农村居民人均
消费支出 13328 元”，材料给了人均消费支出，求的量之比是 2019 年，材料给
2019年、问2019年，用混合增长率算出的量之比是基期量之比，本题求现期量
之比，且按照混合增长率思考，不存在量加和的关系，故只能考虑混合平均数。
城镇人口*城镇人均消费支出+农村人口*农村人均消费支出=全国人口*全国
人均消费支出→城镇人口数*28063+农村人口数*13328=全国人口数*21559，用线
段法，距离与量成反比，距离之比=（28063-21559）：（21559-13328）=6504：8231，
则量之比=8231：6504，即人口之比为8231：6504，求比重，所求=8231/（8231+6504）
=8231/14735，选项差距小，精确计算，保留三位，转化为8231/147，首位商5、
次位接近商6，最接近D项。【选 D】
题型：混合平均数（城镇人口数*28063+农村人口数*13328=全国人口数
*21559）
方法：口诀法、线段法
计算：线段法，距离之比6504：8231，人口数之比8231：6504，8231/14735，
首55，选D。
41【注意】混合比例专项小结（笔记）：
1.识别：部分与整体（比重、平均数）之间的关系。
（1）先口诀——混合后居中（混合比重→混合后的比重居于部分比重之间；
平均数同理），偏向量较大的。
（2）再线段——混合前写两边，混合后写中间，距离与量成反比。
2.注意：距离是指比重（%）、平均数的部分与总体之差；量是指总体、个数
等（分母），均为现期量。
3.老师微博的高级速算技巧里有线段法，可以再练习一下。
拓展提升（加餐）
拓展：常见易错点
1.时间：时间点时间段、时间顺序、累计。
2.主体：范围不一致、易混主体。
3.单位：量级差异、含义不同。
4.概念：百分数与百分点、同比与环比、增幅与降幅与变动幅度等。
【注意】拓展：常见易错点。
1.时间：时间点时间段（有时候会不一样，圈出来前后对应好）、时间顺序、
累计。
2.主体：范围不一致（全国还是全省）、易混主体（进口、出口、进出口）。
3.单位：量级差异（%、‰）、含义不同（亩、公顷）。
4.概念：百分数与百分点、同比与环比、增幅与降幅与变动幅度等。
422017年1～4 月，T 地区批发和零售业商品销售总额为 15220 亿元，同比增
长 10.5%，其中，限额以上商品销售额达到 11107 亿元，同比增长 10.0%；4 月
份，T 地区批发和零售业商品销售总额和限额以上商品销售额分别为 3339 亿元
和2554亿元。
【拓展1】2017年一季度，T地区月均批发和零售业商品销售额约为多少亿
元？
A.2851 B.3960
C.4591 D.11881
【解析】拓展 1.材料给的是 1～4 月和 4 月，问题时间为一季度（现期），
求月均，不要忘记除以3，月均=（15220-3339）/3≈1200/3=4000，最接近B项。
【选B】
【注意】B、D项刚好约为3 倍关系，看漏了“月均”，就会错选D项。
2013 年 1～10 月，全国汽车商品累计进出口总额为 1307.15 亿美元，同比
增长 2.16%，同比年内首次呈现增长。其中：进口金额 664.72 亿美元，同比增
长0.18%，结束了9月下降趋势；出口金额642.43亿美元，同比增长4.29%，增
幅较前9月有所提升。
【拓展2】2012年1～10月，全国汽车商品累计进口额约为（ ）。
A.616亿美元 B.664亿美元
C.666亿美元 D.1280亿美元
【解析】拓展 2.问进口额，材料给进出口、进口、出口，求基期，挖的是
主体坑，发现 A项（比642小，出口基期）+B项（进口基期）=D项（进出口基
期），以坑治坑，选择B项。【选B】
2017年，某省全省园林水果面积 1987.30 万亩，比上年增长 4.8%。其中，
苹果的挂果面积为726.21万亩，同比增长4.1%；梨的挂果面积为61.29万亩，
同比增长-1.0%；枣的挂果面积为262.74万亩，同比增长12.6%……。2017年，
43枣的产量为87.23万吨，同比增长5.0%。
【拓展 3】2017 年，该省挂果面积同比增速最高水果的单位面积产量约为
（ ）斤/亩。
A.332 B.445
C.664 D.1075
【解析】拓展 3.给了亩数、吨数，本题挖的是单位坑，公斤和斤是 2 倍关
系，A、C项存在2倍关系，按公斤算选择A项，按斤算选择C项。【选C】
截至2012 年底，在网民增长速度逐步放缓的背景下，网络购物应用依然呈
现迅猛增长的势头，网络购物使用率提升至42.9%，全年网络购物用户增加4807
万，用户绝对增长量超出上年 1463 万。网上支付使用率提升至 39.2%，全年用
户增长 5389 万。网上银行使用率提升至 39.2%，比上年底提升 6.9 个百分点。
70.6%的网民使用台式电脑上网，相比上年底下降了近三个百分点，使用笔记本
电脑上网的网民比例与上年底相比略有降低，为45.9%。
【拓展4】2012年我国网民使用台式电脑上网的比例比使用笔记本电脑上网
的比例高（ ）。
A.近3个百分点 B.近3%
C.24.7% D.24.7个百分点
【解析】拓展4.问“……比例比……比例高多少”，两个比例相减，使用台
式电脑上网的比例是70.6%、使用笔记本电脑上网的比例是 45.9%，两个百分数
作差得到百分点，所求=70.6%-45.9%=24.7 个百分点，对应D项（没有D项就选
择C项）。【选D】
44【注意】特殊增长率：
1.间隔增长率：
（1）识别：中间隔一期，求增长率/倍数/基期量。
（2）公式：r =r+r+r*r；间隔倍数=1+r ；基期量=现期量/（1+r ）。
间 1 2 1 2 间 间
（3）速算：
①利用r+r，结合选项排除。
1 2
②r、r 的绝对值均小于10%，|r*r|＜1%，一般可忽略。
1 2 1 2
③r*r 不能忽略时，一个不动，一个百化分/小数。
1 2
2.年均增长率：
（1）识别：年均增长（增速）最快/排序；年均增长率为。
（2）公式：现期量/基期量=（1+r）n。
（3）速算：
①比较类：年均增长最快、年均增速排序；n 相同，直接比较“现期量/基
期量”。
②计算类：
a.增速不变算将来（稍微复杂一点，知道模型即可）：C=B²/A，A（基期）、B
（正中间时期）、C（将来现期）。
b.年均增长+%：结合选项居中代入。
3.混合增长率：
45（1）识别：存在量加和的关系，求增长率。
（2）技巧：
①先口诀：混合增长率居中；混合增长率偏向基期较大的增长率。
②再线段：混合前写两边、混合后写中间，增速差与基期量成反比（混合增
长率研究的是基期）。
4.混合比例专项：
（1）识别：混合比重、混合平均数问题（量存在整体和部分的关系，研究
比重、平均数）。
（2）技巧：
①先口诀：混合后居中，偏向量（分母）较大的。
②再线段：混合前写两边、混合后写中间，距离与量成反比。
③注意：
a.比重=部分/总体；平均数=总数/个数。
b.距离指比重、平均数的部分与总体之差；量指总体、个数（分母），均为
现期量。
46【注意】课后学习建议：
1.课程复听、总结梳理。
（1）至少再看一遍课程，把重点、难点全搞定，有问题微博“粉笔陶昶安”
答疑帖下留言。
（2）把例题重新做一遍，按照①判定、②方法、③技巧、④易错点的格式
总结梳理课堂内容。
2.每日打卡、做题复盘。
（1）陶老师微博，每日打卡基础速算和公式计算（半个月就能见效果）。
（2）每天 2篇资料分析，范围为近 5年苏、国考、联考、鲁、京、浙等；
个别难题忽略。前一个月做对为主，不管速度；后面掐时间，平均7分钟一篇，
未来争取6分钟一篇。
（3）做题复盘：
47①对、快题目的总结（经验总结）。
②错、慢题目分析，表述和方法（什么情况出错，怎么解决）。
③以考试为目标，哪里还可以继续提升。
3.勤学善思，必定高分。努力学习、用心思考，是高分上岸学员必备品质。
【答案汇总】
现期倍数1-2：AB
基期倍数1-2：DA
间隔增长率1-3：ADC
年均增长率1-3：CDB
混合增长率1-5：CBCBB
混合比例专项1-4：DCCD
48遇见不一样的自己
Be your better self
49
