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数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. 0 C. D.
2. 据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球 （《专利合作
条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610
用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在同一平面内，将直尺、含 角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若
，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫
猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是
（ ）A. B. C. D.
7. 如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，切点为 ，且 为 中
点，则 等于（ ）
A. B. C. D.
8. 今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额
120327亿元，比去年第一季度增长 ，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社
会消费品零售总额设为 亿元，则符合题意 方程是（ ）
A. B.
C. D.
9. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中 与 都是等腰
三角形，且它们关于直线 对称，点 ， 分别是底边 ， 的中点， ．下列推断错误的
是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知二次函数 的图象经过 ， 两点，则下列判断正确的
是
（ ）
A. 可以找到一个实数 ，使得 B. 无论实数 取什么值，都有
C. 可以找到一个实数 ，使得 D. 无论实数 取什么值，都有
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解：x2+x=_____．12. 不等式 的解集是______．
13. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图
所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分）
14. 如图，正方形 的面积为4，点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点，则
四边形 的面积为______．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于 两点，且点 都在第
一象限．若 ，则点 的坐标为______．
16. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所
在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，风对帆的作用力 为 ．根据
物理
知识， 可以分解为两个力 与 ，其中与帆平行的力 不起作用，与帆垂直的力 仪可以分解为两
个力 与 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．
在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型： ，则
______．（单位： ）（参考数据： ）三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 计算： ．
18. 如图，在菱形 中，点 分别在 边上， ，求证： ．
19. 解方程： ．
20. 已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有
考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
（1）求A地考生的数学平均分；
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学
平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．
21. 如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，其中
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若 是二次函数图象上的一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 的面积是
的面积的2倍，求点 的坐标．
22. 如图，已知直线 ．（1）在 所在的平面内求作直线 ，使得 ，且 与 间的距离恰好等于 与 间的距离；（要
求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 与 间的距离为2，点 分别在 上，且 为等腰直角三角
形，求 的面积．
23. 已知实数 满足 ．
（1）求证： 非负数；
（2）若 均为奇数， 是否可以都为整数？说明你的理由．
24. 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用它制作一个底面为正方形
的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成
一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
（1）直接写出 值；
（2）如果要求折成 礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择
的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．C． D．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：
cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为 的正方
体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的
张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情
况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不
要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考
虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供
作草稿用）
25. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ， ，垂
足为 的延长线交 于点 ．（1）求 的值；
（2）求证： ；
（3）求证： 与 互相平分．
