文档内容
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择
项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： 等；开方开不尽的数；以及像
，等数．
【详解】根据无理数的定义可得：无理数是
故选：D．
2. 据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球 （《专利合作
条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610
用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题 关键．
【详解】
故选：C．
3. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个矩形．
故选：C．
4. 在同一平面内，将直尺、含 角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若
，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，由 ，可得 ，即可求解．
【详解】 ，
∴ ∵ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
故选：A．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底
数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则．
利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误．
【详解】解： ，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；，D选项错误；
故选：B．
6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫
猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是
，
故选：B
7. 如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，切点为 ，且 为 的中
点，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为 的中点，三角形内
角和可求出 ，再根据切线的性质即可求解．
【详解】 ， 为 的中点，
∵∴
∵
∴
∵直线 与 相切，
，
∴∴
故选：A．
8. 今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额
120327亿元，比去年第一季度增长 ，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社
会消费品零售总额设为 亿元，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社
会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长 ，列出方程即可．
【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为 亿元，根据题意得：
，
故选：A．
9. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中 与 都是等腰
三角形，且它们关于直线 对称，点 ， 分别是底边 ， 的中点， ．下列推断错误的
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；
A.由对称的性质得 ，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断；
B. 不一定等于 ，即可判断；
C.由对称的性质得 ，由全等三角形的性质即可判断；
D. 过 作 ，可得 ，由对称性质得 同理可证
，即可判断；
掌握性质是解题的关键．
【详解】解：A. ，
，
由对称得 ，
点 ， 分别是底边 ， 的中点， 与 都是等腰三角形， ，
，
，
，结论正确，故不符合题意；
B. 不一定等于 ，结论错误，故符合题意；
C.由对称得 ，
，结论正确，故不符合题意；
D.
过 作 ，
，
，
，由对称得 ，
，
同理可证 ，
，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
10. 已知二次函数 的图象经过 ， 两点，则下列判断正确的
是（ ）
A. 可以找到一个实数 ，使得 B. 无论实数 取什么值，都有C. 可以找到一个实数 ，使得 D. 无论实数 取什么值，都有
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为
，顶点坐标为 ，再分情况讨论，当 时，当 时， ， 的大小情况，即可解题．
【详解】解： 二次函数解析式为 ，
二次函数开口向上，且对称轴为 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
故A、B错误，不符合题意；
当 时， ，
由二次函数对称性可知， ，
当 时， ，由二次函数对称性可知， ，不一定大于 ，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解：x2+x=_____．
【答案】
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出
来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取
公因式x即可．
【详解】解：
12. 不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．
【详解】解： ，
，，
故答案为： ．
13. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图
所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分）
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大．
根据中位数的定义（排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可；
【详解】解：∵共有12个数，
∴中位数是第6和7个数的平均数，
∴中位数是 ；
故答案为：90．
14. 如图，正方形 的面积为4，点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点，则
四边形 的面积为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到
，进而得到 ，同理可得 ，最后利用四边形 的面积 正方形
的面积 个小三角形面积求解，即可解题．
【详解】解： 正方形 的面积为4，
， ，
点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点，
，
，同理可得 ，
四边形 的面积为 ．
故答案为：2．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于 两点，且点 都在第
一象限．若 ，则点 的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据 得出
， 设 ， 则 ， 结 合 完 全 平 方 公 式 的 变 形 与 应 用 得 出
，结合 ，则 ，即可作答．
详解】解：如图：连接
∵反比例函数 的图象与 交于 两点，且
∴
设 ，则
∵
∴
则∵点 在第一象限
∴
把 代入得
∴
经检验： 都是原方程的解
∵
∴
故答案为：
16. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所
在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，风对帆的作用力 为 ．根据
物理知识， 可以分解为两个力 与 ，其中与帆平行的力 不起作用，与帆垂直的力 仪可以分解
为两个力 与 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动
力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型： ，则
______．（单位： ）（参考数据： ）
【答案】128
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出 ， ，由 得到
，求出 ，求出 在
中，根据 即可求出答案．
【详解】解：如图，帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ， ，
，
∴由题意可知， ，
，
∴
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为：
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】本小题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，考查运算能力．
根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；
【详解】解：原式 ．
18. 如图，在菱形 中，点 分别在 边上， ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关
键．根据菱形的性质证得 ， ，再根据全等三角形的判定证明
即可．
【详解】证明： 四边形 是菱形，
， ，
，
，．
19. 解方程： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解
题．
【详解】解： ，
方程两边都乘 ，得 ．
去括号得： ，
解得 ．
经检验， 是原方程的根．
20. 已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有
考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
（1）求A地考生的数学平均分；
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学
平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．
【答案】（1）86； （2）不能，举例见解析．
【解析】
【分析】本小题考查加权平均数等基础知识，
（1）根据平均数的概念求解即可；
（2）根据平均数的意义求解即可．
【小问1详解】
由题意，得A地考生的数学平均分为 ．
【小问2详解】
不能．
举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为
．
因为 ，
所以不能判断B地考生数学平均分一定比 地考生数学平均分高．
21. 如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，其中
．（1）求二次函数的表达式；
（2）若 是二次函数图象上的一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 的面积是
的面积的2倍，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本小题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质二元一次方程组、一元二次方程、三角形面
积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转
化思想等．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设 ，因为点 在第二象限，所以 ．依题意，得 ，即可得出
，求出 ，由 ，求出 ，即可求出点 的坐标．
【小问1详解】
解：将 代入 ，
得 ，
解得 ，
所以，二次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
设 ，因为点 在第二象限，所以 ．
依题意，得 ，即 ，所以 ．由已知，得 ，
所以 ．
由 ，
解得 （舍去），
所以点 坐标为 ．
22. 如图，已知直线 ．
（1）在 所在的平面内求作直线 ，使得 ，且 与 间的距离恰好等于 与 间的距离；（要
求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 与 间的距离为2，点 分别在 上，且 为等腰直角三角
形，求 的面积．
【答案】（1）见解析；
（2） 的面积为1或 ．
【解析】
【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定以及分类讨论思想：
（1）先作出与 垂直的垂线，再作出夹在 间垂线段的垂直平分线即可；
（2）分 ； ； 三种情况，结合三
角形面积公式求解即可
小问1详解】
解：如图，
直线 就是所求作的直线．
【小问2详解】
①当 时，，直线 与 间的距离为2，且 与 间的距离等于 与 间的距离，根据图形的对称性可知：
，
，
．
②当 时，
分别过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
．
，直线 与 间的距离为2，且 与 间的距离等于 与 间的距离，
．
， ，
， ，
．
在 中，由勾股定理得 ，
．
．
③当 时，同理可得， ．综上所述， 面积为1或 ．
23. 已知实数 满足 ．
（1）求证： 为非负数；
（2）若 均为奇数， 是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2） 不可能都为整数，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意得出 ，进而计算 ，根据非负数的性质，即可求
解；
（2）分情况讨论，① 都为奇数；② 为整数，且其中至少有一个为偶数．
【小问1详解】
解：因为 ，
所以 ．
则
．
因为 是实数，所以 ，
所以 为非负数．
【小问2详解】
不可能都为整数．
理由如下：若 都为整数，其可能情况有：① 都为奇数；② 为整数，且其中至少有一个为偶
数．
①当 都为奇数时，则 必为偶数．
又 ，所以 ．
因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾．
②当 为整数，且其中至少有一个为偶数时，则 必为偶数．
又因为 ，所以 ．
因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾．综上所述， 不可能都为整数．
【点睛】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意
识等，考查综合应用所学知识分析、解决问题的能力：考查化归与转化思想、分类与整合思想等．
24. 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用它制作一个底面为正方形
的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成
一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
（1）直接写出 的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择
的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：
cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为 的正方
体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的
张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情
况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号 卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不
要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考
虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供
作草稿用）
【答案】（1）2； （2）C；
（3）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知， ， ，四边形 是正方形，得到 ，
即 ，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号 卡纸可制作10个正方体，每张型号 卡纸可制作2个正方体，每张型号
卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【小问1详解】
解：如图：
上述图形折叠后变成：由折叠和题意可知， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值为： ．
【小问2详解】
解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的
字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【小问3详解】
解：
卡纸型号 型号 型号 型号
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为 ，则要制作一个边长为 的正方体的展开图形为：
∴型号 卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：型号 卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号 卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号 卡纸2张，型号 卡纸3张，型号 卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
25. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ， ，垂
足为 的延长线交 于点 ．
（1）求 的值；
（2）求证： ；
（3）求证： 与 互相平分．【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证得 ，再在 中， ．在 中，
，可得 ，再证得结果；
（2）过点 作 ，交 延长线于点 ，先证明 ，可得
，再证得 ，再由相似三角形的判定可得结论；
（ 3 ） 如 图 ， 连 接 ， 由 （ 2 ） ， 可 得
， 从 而 得 出 ， 从 而 得 出
， 得出 ，再上平行线判定得出 ，再证得 ，
从而得出四边形 是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果．
【小问1详解】
，且 是 的直径，
．
，
在 中， ．
，
在 中， ．
，
；
【小问2详解】
过点 作 ，交 延长线于点 ．
．，
，
．
，
，
，
， ，
．
，
，
，
．
【小问3详解】
如图，连接 ．
是 的直径，
．
，
．
由（2）知， ，
，
，
．
．
，
．
由（2）知， ，
．，
，
，
四边形 是平行四边形，
与 互相平分．
【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，
考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等．
