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数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断
即可．
【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且 ，所以 中最大的实数是2．
故选：D
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．
2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
3. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
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A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得 ，即 ，
故 的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
4. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及
水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数
据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ，
故选：C．
的
【点睛】此题主要考查了科学记数法 表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故A选项计算正确，符合题意；
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B． ，故B选项计算错误，不合题意；
C． ，故C选项计算错误，不合题意；
D． 与 不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，
底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
6. 根据福建省统计局数据，福建省 年的地区生产总值为 亿元， 年的地区生产总值为
亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
7. 阅读以下作图步骤：
①在 和 上分别截取 ，使 ；
②分别以 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；
③作射线 ，连接 ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
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A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】由作图过程可得： ，再结合 可得 ，
由全等三角形的性质可得 即可解答．
【详解】解：由作图过程可得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴A选项符合题意；
不能确定 ,则 不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定 ,故C选项不符合题意，
不一定成立，则 不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是
解答本题的关键．
8. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学
生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的
统计图．
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根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
【详解】解：A．平均数为 （分钟），故选项错误，不符合题意；
B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意；
C．7个数据按照从小到大排列为： ，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题
意；
D．平均数为 ，
方差为 ，故选项错
误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键．
9. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上，则实数 的值为
（ ）
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A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，点 在 上，证明 ，根据 的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，点 在
上，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 点在第二象限，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的 的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼
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近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所
失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为3.1416．如图， 的
半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，可得 的估计值为 ，若用
圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得 ，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得
，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为
，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形 ，过点 作 交 于点于点 ，
∵ ，
∴ ，
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则 ，
故正十二边形的面积为 ，
圆的面积为 ，
用圆内接正十二边形面积近似估计 的面积可得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆
的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作 ，那么出货5件应记作___________．
【答案】
【解析】
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：∵“正”和“负”相对，
∴进货10件记作 ，那么出货5件应记作 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键．
12. 如图，在 中， 为 的中点， 过点 且分别交 于点 ．若 ，则
的长为___________．
【答案】10
【解析】
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【分析】由平行四边形的性质可得 即 ，再结合
可得 可得 ，最进一步说明 即可解答．
【详解】解：∵ 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,即 ．
为
故答案 ：10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答
本题的关键．
13. 如图，在菱形 中， ，则 的长为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】由菱形 中， ，易证得 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
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∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的
关键．
的
14. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面
测试，他们的各项成绩如下表所示：
项目 工作经
综合知识 语言表达
应聘者 验
甲
乙
丙
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按 的比例计算其总成绩，并录用总成绩
最高的应聘者，则被录用的是___________．
【答案】乙
【解析】
【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解．
【详解】解： ，
，
，
∵
∴被录用的是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
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15. 已知 ，且 ，则 的值为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据 可得 ，即 ，然后将 整体代入 计算
即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到 是解答本题的关
键．
16. 已知抛物线 经过 两点，若 分别位于抛物线对
称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线 ，开口向上，根据已知条件得出点 在对称轴的右侧，
且 ，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
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∵ 分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点 在对称轴的右侧，则 ，解得 ，
∴
∴ 点在 点的右侧，与假设矛盾，则点 在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵ ，
∴
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】根据算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题
的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
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【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
所以原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
19. 如图， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件得出 ，进而证明 ，根据全等三角形的性质即可得
证．
【详解】证明： ，
即 ．
在 和 中，
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．
【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，
掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将 代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当 时，
原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
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21. 如图，已知 内接于 的延长线交 于点 ，交 于点 ，交 的切线 于点
，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 平分 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 由 切 线 的 性 质 可 得 ， 由 圆 周 角 定 理 可 得 ， 即
， 再 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 ， 则 根 据 角 的 和 差 可 得
，最后根据平行线的判定定理即可解答；
（2）由圆周角定理可得 ，再由等腰三角形的性质可得 ，进而得到
，再结合 得到 即可证明结论．
【小问1详解】
证明 是 的切线，
，即 ．
是 的直径，
．
∴ ．
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，
，
，即 ，
．
【小问2详解】
解： 与 都是 所对的圆周角，
．
，
，
．
由（1）知 ，
，
平分 ．
【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相
关性质定理是解答本题的关键．
22. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动
规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同
的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若
摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄
球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中
随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明
你的理由
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【答案】（1）
（2）应往袋中加入黄球，见解析
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
的
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球 概率即可求解．
【小问1详解】
解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件 ，则事件 发生的结果只有1种，
所以 ，所以顾客首次摸球中奖的概率为 ．
【小问2详解】
他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球
红 黄① 黄② 黄③ 新
第一球
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄①， 黄①，黄
黄① 黄①，黄③ 黄①，新
红 ②
黄②，
黄② 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
红
黄③， 黄③，黄
黄③ 黄③，黄① 黄③，新
红 ②
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有 种等可能结果．
（ ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有 种，此时该顾客获得精美礼品的概率
；
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（ ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有 种，此时该顾客获得精美礼品的概率
；
因为 ，所以 ，所作他应往袋中加入黄球．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、
创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
23. 阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽
度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两
点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得 的大小，
如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图4，测得 ， ；
（ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程：
由测量知， ， ， ， ，
∴ ，又∵①___________，
∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ②___________ ．
故小水池的最大宽度为___________ ．
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得 用到的几何知识是___________；
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（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几
何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到
的长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求
出 ，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】（1）① ；②
（2）相似三角形的判定与性质
（3）最大宽度为 ，见解析
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点 ，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得 ；
用皮尺测得 ；
求解过程：过点 作 ，垂足为 ，根据锐角三角函数的定义推得 ， ，
，根据 ，即可求得．
【小问1详解】
∵ ， ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
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又∵ ，
∴ ．
故小水池的最大宽度为 ．
【小问2详解】
根据相似三角形的判定和性质求得 ，
故答案为：相似三角形的判定与性质．
【小问3详解】
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得 ；
（ⅱ）用皮尺测得 ．
求解过程：
由测量知，在 中， ， ， ．
过点 作 ，垂足为 ．
在 中， ，
即 ，所以 ．
同理， ．
在 中， ，
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即 ，所以 ．
所以 ．
故小水池的最大宽度为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立
数学模型是解题的关键．
24. 已知抛物线 交 轴于 两点， 为抛物线的顶点， 为抛物线上不
与 重合的相异两点，记 中点为 ，直线 的交点为 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若 ，且 ，求证： 三点共线；
（3）小明研究发现：无论 在抛物线上如何运动，只要 三点共线，
中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3） 的面积为定值，其面积为2
【解析】
【分析】（1）将 代入 ，即可解得；
（2） ， 中点为 ，且 ，可求出过 两点所在直线的一次函数表达式
， 为抛物线上的一点，所以 ，此点在 ，可证得 三点共线；
（3）设 与 分别关于直线 对称，则 关于直线 对称，且 与 的面积
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不相等，所以 的面积不为定值；如图，当 分别运动到点 的位置，且保持 三点
共线．此时 与 的交点 到直线 的距离小于 到直线 的距离，所以 的面积小于
的面积，故 的面积不为定值；故 的面积为定值，由（2）求出 ，此时
的面积为2．
【小问1详解】
解：因为抛物线 经过点 ，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：
设直线 对应的函数表达式为 ，
因为 为 中点，所以 ．
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又因为 ，所以 ，解得 ，
所以直线 对应的函数表达式为 ．
因为点 在抛物线上，所以 ．
解得， 或 ．
又因为 ，所以 ．
所以 ．
因为 ，即 满足直线 对应的函数表达式，所以点 在直线 上，即
三点共线；
【小问3详解】
解： 的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当 分别运动到点 的位置时， 与 分别关于直线 对称，此时仍有
三点共线．设 与 的交点为 ，则 关于直线 对称，即 轴．此时，
与 不平行，且 不平分线段 ，故 ， 到直线 的距离不相等，即在此情形下
与 的面积不相等，所以 的面积不为定值．
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如图2，当 分别运动到点 的位置，且保持 三点共线．此时 与 的交点 到直
线 的距离小于 到直线 的距离，所以 的面积小于 的面积，故 的面积不
为定值．
又因为 中存在面积为定值的三角形，故 的面积为定值．
在（2）的条件下，直线 对应的函数表达式为 ，直线 对应的函数表达式为 ，
求得 ，此时 的面积为2．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基
础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．
25. 如图1，在 中， 是 边上不与 重合的一个定点．
于点 ，交 于点 ． 是由线段 绕点 顺时针旋转 得到的， 的延长线相交于点
．
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求证： ；
（2）求 的度数；
（3）若 是 的中点，如图2．求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，再证
明 、 ，即可证明结论；
（ 2 ） 如 图 1 ： 设 与 的 交 点 为 ， 先 证 明 可 得 ， 再 证 明
可得 ，最后运用角的和差即可解答；
（3）如图2：延长 交 于点 ，连接 ，先证明 可得 ，
再 证 可 得 ； 进 而 证 明 即 ， 再 说 明
则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【小问1详解】
解： 是由线段 绕点 顺时针旋转 得到的，
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
．
，
．
．
，
．
．
【小问2详解】
解：如图1：设 与 的交点为 ，
，
，
，
．
，
，
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
．
又 ，
．
，
．
【小问3详解】
解：如图2：延长 交 于点 ，连接 ，
，
，
．
是 的中点，
．
又 ，
，
．
，
，
．
由（2）知， ，
．
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
，即 ．
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形
的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
28
