中考总复习：实数--知识讲解（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_02中考总复习：实数（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：实数—知识讲解 （提高） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【考纲要求】 1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开 方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本 性质； 3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用； 4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、实数的分类 1.按定义分类：   正整数      自然数   整数 零        有理数   负整数  有限小数或无限循环小数    实数   正分数  分数    负分数       正无理数 无理数 无限不循环小数      负无理数 2.按性质符号分类： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共9页让更多的孩子得到更好的教育   正整数   正有理数   正实数   正分数   正无理数    实数 零    负整数  负有理数   负实数   负分数      负无理数 m 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如 （m，n是整数n≠0）”的数叫有理数． n 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释： 常见的无理数有以下几种形式： （1）字母型：如π是无理数， 等都是无理数，而不是分数； 、 2 4 （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数； （3）根式型： …都是一些开方开不尽的数； 2、5、3 6， （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等. 考点二、实数的相关概念 1.相反数 （1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值 （1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． a (a0)  可用式子表示为： a 0 (a0)  a (a0) （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝 对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数． 用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 3.倒数 1 （1)实数a(a  0)的倒数是 ；0没有倒数； a （2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 ab 1. 4.平方根 （1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作 a ． （2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作 ． a 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 5.立方根 如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 要点诠释： 若 则 则 表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的 a  a, a 0；a -a, a 0；a-b 距离. 考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释： （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的. 考点四、实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0ab，b>c，则a>c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2 a>b ；   a  b 或利用倒数转化：如比较 与 . 174 4 15 要点诠释： 实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数， 绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大. 考点五、实数的运算 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加 数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这 个数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数 个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 （1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，an所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数 要点诠释： （1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一． 如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． （2）实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 考点六、有效数字和科学记数法 1.近似数 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．精确度的形式有两种：（1）精确到 哪一位；（2）保留几个有效数字. 2.有效数字 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数 的有效数字． 3.科学记数法 把一个数用±a×10n（其中1≤ ＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释： （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤ a ＜10，n为正整数，其值 等于原数中整数部分的数位减去1； （2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤ a ＜10，n为负整数，其值 等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 考点七、数形结合、分类讨论、建模思想 1.数形结合思想 实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题 目，从而找到解决问题的突破口； 2.分类讨论思想 （算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏； 3. 从实际问题中抽象出数学模型 以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放 矢. 【典型例题】 类型一、实数的有关概念 2  1．在实数－ ，0， 3，－3.14， ， 4 ，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）， 3 2 sin30°这8个实数中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C；  【解析】在上面所给的实数中，只有 3， ，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是有理 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 数，故选C. 【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限 不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 =2是有理数， 4 关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的 数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，但它是无  限不循环小数，是无理数． 是无理数，而不是分数． 2 举一反三： 【高清课程名称： 实数 高清ID号：369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2-4】 【变式】倒数等于它本身的数是______，相反数等于它本身的数是______， 绝对值等于它本身的数是______． 【答案】±1；0；非负数. 类型二、实数有关的计算 【高清课程名称： 实数 高清ID号：369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题8-9】 1 2 3 4 2．(1)有一列数 , , , ，…，那么依此规律，第7个数是______； 2 5 10 17 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 （2）已知a    ,a    ,a    , a    , , 1 123 2 3 2 234 3 8 3 345 4 15 4 456 5 24  依据上述规律，则 ． a  99 7 100 【答案】(1) － ； （2） . 50 9999 【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就 7 是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是－ . 50 1 1 100 （2）a    . 99 99100101 100 9999 n 【点评】(1) 规律：(－1)n  （n为正整数）； n2 1 1 1 n1 （2）规律：   （n为正整数）. n(n1)(n2) n1 n(n2) 举一反三： 1 1 【变式】a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数．如：2的差倒数是 1，1的差倒数是 1a 12 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 1 1 ．已知 1 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，…，依此类  a  a a a a a a 1(1) 2 1 3 2 1 3 2 4 3 推，则 ． a  2009 【答案】因为 1 3 1 1 a  . , a  . 4, 1 1 a  ， 2 1 4 3 3 a  .  , 1 3 1( ) 1 4 14 3 3 4 1 3 1 1 3 a  . , a  . 4,……..三个一循环，因此 a   . 5 1 4 6 3 a  2 1 4 1( ) 1 2009 1( ) 3 4 3 类型三、实数大小的比较 2007 2008 3．若a ，b ，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小． 2008 2009 20072009 (20081)(20081) 20082 12 20082 【答案与解析】a=   ，b ， 20082009 20082009 20082009 20082009 20082 12 20082， ∴ a