中考总复习：实数--知识讲解（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_01总复习：实数（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：实数—知识讲解 （基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【考纲要求】 1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开 方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本 性质； 3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、实数的分类 1.按定义分类：   正整数      自然数   整数 零        有理数   负整数  有限小数或无限循环小数    实数   正分数  分数    负分数       正无理数 无理数 无限不循环小数      负无理数 2.按性质符号分类： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共8页让更多的孩子得到更好的教育   正整数   正有理数   正实数   正分数   正无理数    实数 零    负整数  负有理数   负实数   负分数      负无理数 m 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如 （m，n是整数n≠0）”的数叫有理数． n 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释： 常见的无理数有以下几种形式： （1）字母型：如π是无理数， 等都是无理数，而不是分数； 、 2 4 （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数； （3）根式型： …都是一些开方开不尽的数； 2、5、3 6， （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等. 考点二、实数的相关概念 1.相反数 （1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值 （1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． a (a0)  可用式子表示为： a 0 (a0)  a (a0) （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝 对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数． 用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 要点诠释： 若 则 则 表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的 a  a, a 0；a -a, a 0；a-b 距离. 3.倒数 1 （1)实数a(a  0)的倒数是 ；0没有倒数； a （2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 ab 1. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 4.平方根 （1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作 a ． （2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作 ． a 5.立方根 如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释： （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的. 考点四、实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0ab，b>c，则a>c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2 a>b ；   a  b 或利用倒数转化：如比较 与 . 174 4 15 要点诠释： 实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数， 绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大. 考点五、实数的运算 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加 数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这 个数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数 个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 （1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，an所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数 要点诠释： 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如 果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． 考点六、有效数字和科学记数法 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的 数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精 确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 把一个数用±a×10n（其中1≤ ＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释： （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤ a ＜10，n为正整数，其值 等于原数中整数部分的数位减去1； （2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤ a ＜10，n为负整数，其值 等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【典型例题】 类型一、实数的有关概念 1 1．（1）a的相反数是 ，则a的倒数是_______． 5 （2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简 =______． (a＋b)2 b 0 a （3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________． 【答案】（1）5 ； （2）-a-b； （3）1.02×107亩. 【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要 改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1 来计算. （2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对 值内的数的性质符号. 由图知： a 0， b 0， |a||b|， ab0，  (ab)2 |ab| (ab)  ab. （3）考查科学记数法的概念. 【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 举一反三： 【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到 8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ） A．8.55×106 B．8.55×107 C．8.55×108 D．8.55×109 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 【答案】C. 类型二、实数的分类与计算 22   0  2 2．下列实数 、sin60°、 、 2 、3.14159、- 9、  7 、 8中无理数有（ ）个 7 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C.  【解析】无理数有sin60°、 、 8. 3 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断． 举一反三： 【高清课程名称： 实数 高清ID号： 369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】 【变式】在 π 12 中， 3.14, 8, 4,( 32)0, ,cos30, tan45, , 0.1010010001  ,51, 3%,0.31 2 7 哪些是有理数? 哪些是无理数? 【答案】 12 都是有理数； 3.14, 4,( 32)0, tan45, , 51, 3%,0.31 7 π 8, , cos30, 0.1010010001  ,都是无理数. 2 1 (－1)2001 ( )－2( 3)0－|－2| 3．计算：计算： ． 2 【答案与解析】 1 (－1)2001 ( )－2 ( 3)0－|－2| 2  1412 1 【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自 的意义，就能正确的进行运算． 举一反三： 【高清课程名称：实数 高清ID号：369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题8-9】 【变式1】计算： 22  (3)2 (π3.14)0  8sin45. 17 【答案】－ ； 4 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 【变式2】计算： 20012002200320041 【答案】 设n=2001，则原式= n(n1)(n2)(n3)1 2 2 （把n2+3n看作一个整体）  (n 3n)(n 3n2)1 = 2 2 2 (n 3n) 2(n 3n)1 =n2+3n+1 =n(n+3)+1 =2001×2004+1 =4010005. 类型三、实数大小的比较 4．比较下列每组数的大小： 1 （1） 174与4 15 （2）a与 （a≠0） a 【答案与解析】 1 1 （1） ， ， 17 4 0 4 15  0 17 4 4 15 而 与 可以很容易进行比较得到： 17 4 4 15 ， 17 4  4 15 0 所以 ； 17 4 4 15 1 （2）当a<-1或O1时，a> ； a 1 当a=1时，a= . a 【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较； （2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道， 0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类 1 讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把 的值看成是关于a的反比例 a 函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比 较出它们的大小. 举一反三： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 【变式】比较下列每组数的大小： 17 11 （1） 和 （2） 2 5和 32 8 5 【答案】 （1）将其通分，转化成同分母分数比较大小， 17 85 11 88 17 11  ，  ，  ， 8 40 5 40 8 5 17 11 所以   . 8 5  2 （2） 2  5 72 10 7 40，  2 32 74 3 7 48， 因为 ， 40  48 所以 . 2  5  32 类型四、平方根的应用 3x4  y2 6y9 0 5．已知：x ，y是实数， ，若axy-3x=y，则实数a的值是_______. 1 【答案】 . 4 【解析】 ，即 3x4  y2 6y9 0 3x4 (y 3)2 0 两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0， 4 ∴ 3x4 0，(y-3)2=0， ∴ x= ， y=3 3 4 3( )3 3x y 3 1 又∵axy-3x=y， ∴ a=   . xy 4 4  3 3 【点评】此题考查的是非负数的性质. 类型五、实数运算中的规律探索 6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 A 4 1 A A 1 3  1 2 12,S  1 5 S 1 A 1 2 A 1 S 4 3 S 2 6 S 2 5 1  2 2 S 2 13,S  1 A 2 2 O 1  2 3 3 14,S  3 2  （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 的长； 10 （3）求出S2+ S2+ S2+…+ S 2的值. 1 2 3 10 【答案与解析】 （1）由题意可知，图形满足勾股定理，  2 n n 1n1,S  n 2 （2）因为OA= ，OA= ，OA= …， 1 2 3 1 2 3 所以OA = 10 10 （3）S2+ S2+ S2+…+ S 2 1 2 3 10 1 2 3 10 =( ) 2 ( ) 2 ( ) 2  ( ) 2  2 2 2 2 1 = (123 10)  4 55 = . 4 【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字 的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还 考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 举一反三： 【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，…… 你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果． 【答案】29（512）. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共8页