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2011 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ， .若 ,则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（2）复数
（A） （B） （C） （D）
（3）在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标是
（A） （B） （C） （D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的 值为
（A） 开 始
（B）
（C）
i 4
是
（D）
否
输出
结 束
数学（理）（北京卷） 第1页 （共5页）
第1页 | 共5页（5）如图， 分别与圆 切于点 ，延长 与圆 交于另一点 。
给出下列三个结论：
① ；
② ；
③
其中，正确结论的序号是
（A）① ② （B）② ③
（C）① ③ （D）① ② ③
（6）根据统计，一名工人组装第 件某产品所用的时间（单位：分钟）为
（ 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第
件产品用时15分钟，
那么 和 的值分别是
（A） （B） （C） （D）
（7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中
最大的是
4
（A） 8
（B） 4 3
正（主）视图 侧（左）视图
（C） 10
（D）
俯视图
（8）设 ， ， ， （ ），记 为平行四边形内
部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数
的
值域为
（A） （B） （C） （D）
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第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在 中，若 ， ，则 ； 。
（10）已知向量 ， ， ，若 与 共线，则 。
（11）在等比数列 中，若 ， ，则公比 ；
。
（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个。
（用数字作答）
（13）已知函数 过关于 的方程 有两个不同的实根，则实
数 的取值范围是 。
（14）曲线 是平面内与两个定点 和 的距离的积等于常数 的点
的轨迹，给出下列三个结论：
① 曲线 过坐标原点；
② 曲线 关于坐标原点对称；
③ 若点 在曲线 上，则 的面积不大于 ；
其中，所有正确结论的序号是 。
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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数 ，
（I）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值；
（16）（本小题共14分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面
是菱形， 。
（I）求证： 平面
（Ⅱ）若 ，求 与 所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面 与平面 垂直时，求 的长；
（17）（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模
糊无法确认，在图中以 表示。
甲 组 乙 组
9 9 0 8 9
1 1 1 0
（I）如果 ，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总
棵数 的分布列和数学期望；
注：方差 ，其中 为 的平均数
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（18）（本小题共13分）
已知函数 。
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 ，求 的取值范围；
（19）（本小题共14分）
已知椭圆 ，过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点，
（Ⅰ）求椭圆 的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）将 表示为 的函数，并求 的最大值；
（20）（本小题共13分）
若数列 （ ）满足 ，则称 为
数列，记 。
（Ⅰ）写出一个满足 ，且 的 数列 ；
（Ⅱ）若 ，证明 数列 是递增数列的充要条件是 ；
（Ⅲ）对任意给定的整数 ，是否存在首项为0的 数列 ，使得 ，
如果存在，写出一个满足条件的 数列 ；如果不存在，说明理由。
、
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