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2025 年高考考前信息必刷卷 02（新高考Ⅰ卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A D D A A B A C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ACD AC AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14． ； 1
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
【详解】（1） ，所以由 得 ，
所以 ，解得 或 ，（4分）
因为 ，所以 ，则 ，故 ，则 ，故 ．（3分）
（2）因为 ，令 ，则 ，由三角形面积公式得 ，（9分）
则 ，故 ，
由余弦定理得 ，则 ，解得 ，（11分）
从而 ， ， ，故 的周长为 ．（12分）
16．（15分）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)至少有1人初赛成绩优秀的概率为 ，分布列见详解， .(2)估计小华有资格参加复赛.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中位于区间 内的人数： ，样本中位
于区间 内的人数 ，（2分）
抽取的2人中成绩优秀的人数 可能的取值有0，1，2，则 ， ，
，（5分）
所以 的分布列为
X 0 1 2
P
因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率 ，数学期望 .（9
分）
（2）由频率分布直方图可知： ，由
，得 ，又 ，
，（13分）
所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有 人，因为 ，所以估计小华有资
格参加复赛.（15分）
17．（15分）
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）图乙中，由题意知 ，所以 ， ， ，
平面 ，所以 平面 ．（2分）
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学科网（北京）股份有限公司（2）取 中点为 ，由于 为 中点，故 且 ，结合
， ，所以 且 ，故四边形
为平行四边形，所以 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ．（6分）
（3）在等腰梯形 中，设 ，过C作
，则 所以 ，在 中，由余弦
定理得 ，
所以 ,所以 ，（10分）
如图以 分别为 轴建立空间直角坐标系： ，
设平面 法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，（13分）
平面 法向量可取为 ，设平面 与平面 夹角为 ，所以
，故 ．（15分）
18．（17分）
【答案】(1) ， ；(2) ；(3)2170.
【详解】（1）在等差数列 中， ，而 ，解得 ，公差 ，
则 ；（2分）
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学科网（北京）股份有限公司设等比数列 的公比为 ， ，由 ，得 ，即 ，
解得 ， ，所以数列 和 的通项公式分别为 ， .（5分）
（2）由（1）得，当 为奇数时， ，
则 ；（7分）
当 为偶数时， ， ，
，
则 ，（9分）
两式相减得
，因此 ，
所以 .（12分）
（3）依题意，数列 ：
项为 前的总项数为 ，数列 是递增的，（14分）
当 时， ，当 时， ，
因此数列 的前 项中，有数列 的前 项，有 个 ，
所以 .（17分）
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学科网（北京）股份有限公司19．（17分）
【答案】(1) 在区间 上单调递减；(2) ；(3)证明见解析
【详解】（1） 时， .显然， 在区间 上单调递
增.所以 ，即 .所以 在区间 上单调递减.（3分）
（2） 在 上存在极值.即 在 上有变号零点.
令 .则 ，记 ，即 与 的图像在 上有交点.（5
分）
又 ，易知 在 上恒成立，所以 在 上为增函
数且 .所以 ，从而 ，（8分）
当 时，存在唯一实数 ，使得 成立当 时 在 上单
调递增；当 时， 在 上单调递减.所以 为函数 的极值，综上，若
函数 在 上存在极值， 的取值范围为 .（12分）
（3）当 时，要证 ，即证 .令 ，显然
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学科网（北京）股份有限公司.令 ，（14分）
当 时， ；当 时， .所以 在 时单调递减；在 时
单调递增.所以 （16分）
所以 ，即 .所以 时， ，得证.（17分）
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