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2024 高考数学
点睛密卷
全国乙卷(文)
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2024 年高考数学点睛密卷(全国乙卷文)
数 学
本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合
2
A = { − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 } ，B={x|3−x2}，则A B=( )
A． { 0 , 2 , 4 } B． { − 4 , − 2 , 0 } C． { − 4 , − 2 } D． { 2 , 4 }
2．设复数 x 满足 z − z = − 2 i ， | z |= 2 ，复数 z 所对应的点位于第四象限，则 z = ( )
A． 1 − 2 i B． 1 − i C． − 1 − i D． 2 − i
3．已知向量a=(1,−1)， b = ( m , 2 ) ，若 ( a + b ∥) a ，则2ab=( )
A．−8 B．−7 C．7 D．8
4．已知 f ( x ) =
3
3
x
x
−
+
b
b
( b 0 ) 是奇函数，则 b = ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．某不透明的袋中有3个红球、2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同．甲、
乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为 ( )
A．
1
3
0
2
B． C．
5
3
5
4
D．
53
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6．执行如图所示的程序框图，输出的
3
S = ( )
A．18 B．22 C．25 D．
1 3
5
7
7．已知圆 C : ( x + 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 4 截直线 l : y = a x + 2 所得弦的长度为 2 2 ，则实数 a 的值是
( )
A．2 B． − 6 C． − 1 D． − 4
8．在三角形 A B C 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 c + c c o s A = 3 a s in C ，
a=3， b + c = 3 2 ，则 △ A B C 的面积为 ( )
A．
3
4
2
B．
3
4
3
C．
4
3
2
D．
4
3
3
9．记 S
n
为等差数列{a }的前
n
n 项和．若a +a =24，S =48，则数列
4 5 6
a
n + 1
1
a
n + 2
的前2024
项和为 ( )
A．
5
4
0
0
7
5 1
B．
5 0 7
4 0 4 8
C．
5 0 6
4 0 4 9
D．
5
4
0
0
6
5 1
10．若 s in
3
5
=
π
，0, ，则
2
c o s 2
2
π
3
−
的值为 ( )
6+3 3 6−3 3
A． B． C．
20 20
6 +
2 0
3
D．
6 −
2 0
3
x2 +2x+1,x 0,
11．已知函数 f(x)= 若方程
|lnx|,x0,
f ( x ) = a 有四个根 x
1
，x ，x ，x ，且
2 3 4
x x x x ，则下列说法错误的是( )
1 2 3 4
A． x
1
+ x
2
= − 2 B． x
3
+ x
4
2 C． x
1
x
2
4 D．0a 1
x2 y2 x2 y2
12．设F ，F 是椭圆C : + =1(ab0)与双曲线C : − =1(m0,n0)的公共
1 2 1 a2 b2 2 m2 n24
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焦点，
4
P 为它们的一个交点， e
1
， e
2
分别为 C
1
， C
2
的离心率，若 F
1
P F
2
=
2 π
3
，则
2
1
e
1
1
e
2
的取值范围为( )
A． ( 0 , 2 ) B． ( 2 , 3 ) C． (1 , 3 ) D． ( 2 , + )
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点为F ，过 F 且斜率为2的直线l与 C 交于 P ， Q 两点，则
| P Q |= ．
14．已知角，为锐角，且 s in
2
5
5
= ， ta n ( )
1
3
− = ，则角 = ．
15．一个正四棱柱底面边长为 2，高为 3 ，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何
体的内切球表面积为 ．
16．已知函数 f ( x ) =
s
x
in
2
π
−
x
x
，给出下列四个结论：
① f ( x ) 存在无数个零点；
② f ( x ) 在 (1 , + ) 上有最大值；
③若 f ( 2 0 2 3 .7 ) = a ，则 f(−2022.7)=a；
④区间
1
2
,1
是 f ( x ) 的单调递减区间．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答；22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．某公司对其产品研发的年投资额 x (单位：百万元)与其年销售量 y (单位：千件)的数据进
行统计，整理后得到如下统计表：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 2 3.5 8 15
(1)求变量 x 和 y的样本相关系数r((精确到0.01)，并推断变量 x 和y的线性相关程度；(若
| r | 0 .7 5 ，则线性相关性程度很强；若 0 .2 5 | r | 0 .7 5 ，则线性相关性程度一般，若|r|0.25，
则线性相关性程度很弱．)
(2)求年销售量y关于年投资额 x 的回归方程．并预测投资额为700万元时的销售量．(参考：
517.14)5
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参考：
5
r =
n
i=
1
n
i=
1
( x
i
( x
−
i
x
−
)
x
2
) ( y
i
n
i=
1
−
( y
y
i
)
− y ) 2
n
(x −x)(y −y)
i 1
，b ˆ = i=1 ，
n
(x −x)2
i
i=1
ˆa = y − ˆb x ．
所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为19.2千件．
18．记数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，已知 a
1
= − 6 ，且满足 S
n + 1
+ S
n
+ a
2
= 3 a
n + 1
．
(1)证明：数列 { a
n
} 是等比数列；
(2)若数列 { b
n
− a
n
} 是以1为首项，3为公差的等差数列， { b
n
} 的前 n 项和为 T
n
，求 T
n
．
19．如图，在四棱锥 P − A B C D 中， P C ⊥ 平面 A B C D ， A B ∥ C D ，点 E 在棱PB上， P E = 2 E B ，
点F ，H 是棱 P A 上的三等分点，点 G 是棱PD的中点， P C = C B = C D =
2
3
A B = 2 ， A C = 1 3 ．
(1)证明： H D ∥ 平面CFG，且EC∥FG；
(2)求三棱锥 A − P B D 的体积．6
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20．已知函数
6
f ( x ) =
ln
x
x
， g ( x ) =
a −
x 2
x
( a R ) ．
(1)求 f ( x ) 的单调区间及最值；
(2)令h(x)= f(x)+g(x)，若 h ( x ) 在区间 ( 1 ,e 2 ) 上存在极值点，求实数a的取值范围．
21．椭圆 C :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 ) 的离心率为
1
2
，上、下顶点与一个焦点围成的三角形的面
积为 3 ．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点P(4,t)作椭圆 C 的两条切线，切点分别为 M ， N ，求证：直线 M N 过定点．7
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选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．在直角坐标系
7
x O y 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲
线C 的普通方程为
1
x 2 + y 2 + 2 y = 0 ( 0 x 1 , − 2 y − 1 ) ，曲线 C
2
的普通方程为x2 +y2 =4
( − 2 x 0 , − 2 y 0 ) ．
(1)写出 C
2
的一个参数方程；
(2)若直线的极坐标方程为 c o s p s in m + = ，且该直线与 C
1
或 C
2
有公共点，求 m 的取值
范围．
23．已知函数 f ( x ) = | 3 x − 2 | + | 2 x + 1 | ．
(1)求不等式 f ( x ) 9 的解集；
(2)若存在 x R ，使得 f ( x ) m 成立，求实数 m 的取值范围．
