四川省成都市2022级高中毕业班第二次诊断性检测数学答案_2025年3月_250312四川省成都市2022级高中毕业班第二次诊断性检测（全科）

成都市 级高中毕业班第二次诊断性检测 ２０２２ 数学参考答案及评分意见 一、选择题:每小题 分 共 分 ( ５ , ４０ ) １．A; ２．B; ３．C; ４．C; ５．D; ６．D; ７．A; ８．A． 二、选择题:每小题 分 共 分 ( ６ , １８ ) ９．ACD; １０．ABD; １１．ABD． 三、填空题:每小题 分 共 分 ( ５ , １５ ) １２．１０; １３．－２; １４．２． 四、解答题:共 分 ( ７７ ) 解 因为 c a C １５． :(１) ３ ＝２sin , c a 在 ABC中 由正弦定理可得 △ , C＝ A, sin sin 所以 C A C． 分 ３sin ＝２sin sin 􀆺􀆺２ 因为 C 所以 A ３． 分 sin ＞０, sin ＝ 􀆺􀆺４ ２ 又A 所以A π或２π． 分 ∈(０,π), ＝ 􀆺􀆺６ ３ ３ 由题意a b c 因为a 所以b c ． 分 (２) ＋ ＋ ＝３＋ ３, ＝ ３, ＋ ＝３ 􀆺􀆺７ 在 ABC中 由余弦定理可得a２ b２ c２ bc A △ , ＝ ＋ －２ cos , 当A ２π时 b２ c２ bc b c２ bc bc 整理得bc ． 分 ＝ ,３＝ ＋ ＋ ＝(＋ )－ ＝９－ , ＝６ 􀆺􀆺８ ３ 联立b c 得b２ b ．此方程无实数解． 分 ＋ ＝３ －３ ＋６＝０ 􀆺􀆺１０ 当A π时 b２ c２ bc b c２ bc bc 整理得bc ． 分 ＝ ,３＝ ＋ － ＝(＋ )－３ ＝９－３ , ＝２ 􀆺􀆺１１ ３ 联立b c 得b２ b ．解得b 或b ． ＋ ＝３ －３ ＋２＝０ ＝１ ＝２ 所以 当A ２π时b无解 当A π时b 或b ． 分 , ＝ , ; ＝ ,＝１ ＝２ 􀆺􀆺１３ ３ ３ ．解 连接AC交BD于点O 连接EO．则EO是 PAC的中位线 从而EO PA １６ :(１) , △ , ∥ , 分 􀆺􀆺２ 又因为EO 平面EDBPA 平面EDB 分 ⊂ , ⊄ , 􀆺􀆺３ 所以PA 平面EDB． 分 ∥ 􀆺􀆺４ 数学参考答案 第 页 共 页 １ ( ６ )因为PD 底面ABCD 因为BC 平面ABCD 所以PD BC． (２) ⊥ , ⊂ , ⊥ 因为ABCD是正方形 所以CD BC． , ⊥ 又PD CD D 且PD 平面PDCCD 平面PDC ∩ ＝ , ⊂ , ⊂ , 所以BC 平面PDC． 分 ⊥ 􀆺􀆺６ 因为DE 平面PDC 所以BC DE． ⊂ , ⊥ 因为 PDC是等腰直角三角形 E是底边PC的中点 所以PC DE． △ , , ⊥ 又PC BC C 且PC 平面PBCBC 平面PBC ∩ ＝ , ⊂ , ⊂ , 所以DE 平面PBC． 分 ⊥ 􀆺􀆺８ 因为PB 平面PBC 所以DE PB． ⊂ , ⊥ 又EF PBEF DE E 且DE 平面EFDEF 平面EFD ⊥ , ∩ ＝ , ⊂ , ⊂ , 所以PB 平面EFD． 分 ⊥ 􀆺􀆺９ 在四棱锥P ABCD 中 PD 底面ABCD AD (３) － , ⊥ , , DC 底面ABCD 所以PD AD PD DC 由底面 ⊂ , ⊥ , ⊥ , ABCD是正方形 得AD DC , ⊥ , 以D为原点 DADCDP所在直线分别为xyz轴 , , , ,, 建立如图所示空间直角坐标系 , 设DC 则A B C P ＝２, (２,０,０),(２,２,０),(０,２,０),(０,０,２), PC→ CB→ ＝(０,２,－２), ＝(２,０,０), {CB→ n {x 设平面CPB的法向量n x y z 则 􀅰 ＝０, 所以 ２ １＝０, ＝(１,１,１), PC→ n ． y z ． 􀅰 ＝０ ２ １－２１＝０ 取y 可得n 是平面CPB的一个法向量． 分 １＝１, ＝(０,１,１) 􀆺􀆺１１ DB→ DP→ 而CA→ ＝(２,２,０), ＝(０,０,２), ＝(２,－２,０), 则DB→ CA→ DP→ CA→ 􀅰 ＝２×２－２×２＝０, 􀅰 ＝０, 即DB→ CA→ DP→ CA→．所以平面PBD的一个法向量为CA→ ． 分 ⊥ , ⊥ ＝(２,－２,０) 􀆺􀆺１３ n CA→ 因此 nCA→ 􀅰 －２ １ 分 cos‹, ›＝n CA→ ＝ ＝－ , 􀆺􀆺１４ ||| | ２×２２ ２ 所以平面CPB与平面PBD的夹角为π． 分 􀆺􀆺１５ ３ ．解 由椭圆的定义 结合 x ２ y２ x ２ y２ aa 知 １７ :(１) , (＋１)＋ ＋ (－１)＋ ＝２ (＞１) : 椭圆C与抛物线Γy２ pxp 的共同焦点F的坐标为 分 : ＝２ ( ＞０) (１,０), 􀆺􀆺１ p 则 抛物线Γ的方程为y２ x 分 ＝１, ＝４ ; 􀆺􀆺３ ２ 由 PF ５ 不妨设点P在第一象限 则点P的坐标为 ２ ２６ ． 分 | |＝ , , ( , ) 􀆺􀆺４ ３ ３ ３ 数学参考答案 第 页 共 页 ２ ( ６ )记椭圆的左焦点F 所以 PF ２ æ ç５ ö ÷ ２ æ ç２６ ö ÷ ２ ４９ 则 PF ７ １(－１,０), | １|＝è ø ＋è ø ＝ , | １|＝ , ３ ３ ９ ３ 所以 PF PF a 即a c b ． | １|＋| |＝４＝２ , ＝２,＝１,＝ ３ x２ y２ 故椭圆C的标准方程为 ． 分 ＋ ＝１ 􀆺􀆺６ ４ ３ 由题可知 直线l的斜率不为 故设直线l的方程为x my (２) , ０, ＝ ＋１, Mx y Nx y Ax y Bx y (１,１), (２,２), (３,３), (４,４), 由 MF NF AF BF | |􀅰| |＝２| |􀅰| |, 得 m２ y m２ y m２ y m２ y １＋ | １|􀅰 １＋ | ２|＝２ １＋ | ３|􀅰 １＋ | ４|, 即yy yy ． 分 | １ ２|＝２| ３ ４| 􀆺􀆺９ {x my 联立 ＝ ＋１,得y２ my 恒成立 所以yy ． 分 y２ x －４ －４＝０,Δ＞０ , １ ２＝－４ 􀆺􀆺１１ ＝４ ì ï ï x ＝ my ＋１, 联立 î í ï ï x２ ＋ y２ ＝１ 得 (３ m２ ＋４) y２ ＋６ my －９＝０,Δ＞０ 恒成立 , 所以y ３ y ４＝ ３ m － ２ ９ ＋４ ． ４ ３ 分 􀆺􀆺１３ 由yy yy 得 ９ 解得m ６． | １ ２|＝２| ３ ４|, ４＝２× m２ , ＝± ３ ＋４ ６ 所以直线l的方程为 x y 或 x y ． 分 ６ － － ６＝０ ６ ＋ － ６＝０ 􀆺􀆺１５ ．解 设事件A 一轮答题中系统派出通识题 事件B 该选手在一轮答题中答对 １８ :(１) ＝“ ”, ＝“ ”, 由题意可知PBA ３ PBA－ １ 分 (| )＝ , (| )＝ , 􀆺􀆺１ ５ ５ 由全概率公式得PB PAPBA PA－ PBA－ １ ３ ２ １ １． ( )＝ ( ) (| )＋ ( ) (| )＝ × ＋ × ＝ ３ ５ ３ ５ ３ 分 􀆺􀆺３ 故该选手在一轮答题中答对题目的概率为１． 分 􀆺􀆺４ ３ 设事件B 该选手第n轮答对题目 (２) n ＝“ ”, 因为各轮答题正确与否相互独立 (i) , 由 知 PB １ 那么PB PB ２ (１) : (n)＝ , (n)＝１－ (n)＝ , ３ ３ 当n 时 挑战显然不会终止 即p ＝１ , , １＝１, 当n 时 则第 轮至少答对一轮p PBB PB PB ５ ＝２ , １,２ ,２＝１－ (１ ２)＝１－ (１) (２)＝ , ９ 由概率加法公式得p PB p PB B p PB p PB PB p ３＝ (３)２＋ (２ ３)１＝ (３)２＋ (２) (３)１ 数学参考答案 第 页 共 页 ３ ( ６ )１ ５ １ ２ １１ 分 ＝ × ＋ × ×１＝ , 􀆺􀆺７ ３ ９ ３ ３ ２７ 同理p PB p PB B p PB p PB PB p ４＝ (４)３＋ (３ ４)２＝ (４)３＋ (３) (４)２ １ １１ １ ２ ５ ７． 分 ＝ × ＋ × × ＝ 􀆺􀆺１０ ３ ２７ ３ ３ ９ ２７ 设事件C 第n轮结束时挑战未终止 (ii) n ＝“ ”, 当n 时 第n轮结束时挑战未终止的情况分为两种 ≥３ , : 第n轮答对 且第n 轮结束时挑战未终止 ① , －１ ; 第n轮答错 第n 轮答对 且第n 轮结束时挑战未终止． ② , －１ , －２ 所以第n轮结束时挑战未终止可表示为C C B C BB n ＝ n －１ n ∪ n －２ n n －１, 所以PC PC PB C PC PBB C (n)＝ (n －１) (n | n －１)＋ (n －２) (n n －１| n －２), 因为各轮答题正确与否相互独立 , 所以PC PC PB PC PBB １PC ２PC (n)＝ (n －１) (n)＋ (n －２) (n n －１)＝ (n －１)＋ (n －２), ３ ９ 即当n ≥３ 时 , 有pn ＝ １pn －１＋ ２pn －２ ． 􀆺􀆺１４ 分 ３ ９ 设存在实数λ , 使得数列 { pn ＋１－ λpn} 是公比为q ( q ≠０) 的等比数列 , 当n ≥２ 时 , 有 ( pn ＋１－ λpn)＝ q ( pn － λpn －１), 整理得pn ＋１＝( λ ＋ q ) pn － λqpn －１, ì ì ì ï ï ï λ q １ λ １ λ ２ ïï ＋ ＝ , ïï ＝－ , ïï ＝ , 结合递推关系pn ＋１＝ １pn ＋ ２pn －１, 得í ï ３ 解得í ï ３ 或í ï ３ ３ ９ ïï λq ２． ïïq ２． ïïq １． î－ ＝ î ＝ î ＝－ ９ ３ ３ 分 􀆺􀆺１６ 当n 时 有p ２p １p １p ８ ＝１ , ２－ １＝－ ,２＋ １＝ , ３ ９ ３ ９ 当λ ＝ ２时 , 数列 { pn ＋１－ ２pn} 是首项为 － １ , 公比为 － １的等比数列 , ３ ３ ９ ３ 当λ ＝－ １时 , 数列 { pn ＋１＋ １pn} 是首项为８ , 公比为２的等比数列 , ３ ３ ９ ３ 所以存在实数λ ＝ ２或 － １ , 使得数列 { pn ＋１－ λpn} 为等比数列． 􀆺􀆺１７ 分 ３ ３ ．解 即证明 a 都有 a２ a ２ a２ ． １９ :(１) ∀ ≥０, １＋ ≤(＋１)≤２(１＋ ) 因为a ２ a２ a 所以a ２ a２． 分 (＋１)－(１＋ )＝２ ≥０, (＋１)≥１＋ 􀆺􀆺２ 因为 a２ a ２ a２ a a ２ 所以a ２ a２ ． ２(１＋ )－(＋１)＝ －２ ＋１＝(－１)≥０, (＋１)≤２(１＋ ) 所以集合 ab a b 具有性质 １ ． 分 {(,)| ≥０,＝１} ( ,１) 􀆺􀆺４ ２ 数学参考答案 第 页 共 页 ４ ( ６ )因为a b a b (２) ≥０,≥０,＋ ＝１, a２ b２ a２ b２ a２b２ a b２ ab ab２ (１＋ )(１＋ )＝１＋ ＋ ＋ ＝１＋(＋ )－２ ＋( ) ab ab２ ab２ ． 分 ＝２－２ ＋( )＝(１－ )＋１ 􀆺􀆺５ a b 令u ab 因为 ab ＋ １ 所以u ５ ． 分 ＝１＋ , ≤ ＝ , ∈[１, ] 􀆺􀆺６ ２ ２ ４ 于是 u ５ 有K u２ u K u２ 成立． ∀ ∈[１, ], １[(２－ )＋１]≤ ≤ ２[(２－ )＋１] ４ u 即K K ． １≤ u２ ≤ ２ (２－ )＋１ 也就是 u ５ 有K １ K 成立． 分 ∀ ∈[１, ], １≤ ≤ ２ 􀆺􀆺８ ４ u ５ ＋u－４ 令fu u ５ u ５ ()＝ ＋u－４,∈[１, ], ４ 因为fu 在 ５ 单调递减 所以５ f ５ fu f ． () [１, ] , ＝ ( )≤ ()≤ (１)＝２ ４ ４ ４ 从而１ １ ４． ≤ ≤ ２ u ５ ５ ＋u－４ 所以K ４ 当且仅当a b １时取等 K １ 当且仅当a 或b 时取等． ２≥ , ＝ ＝ ; １≤ , ＝０ ＝０ ５ ２ ２ K K ４ １ ３ 所以K K 的最小值为３． 分 ２－ １≥ － ＝ , ２－ １ 􀆺􀆺１０ ５ ２ １０ １０ a b ab 由题意K (＋ )(１＋ ) K ． (３) １≤ a２ b２ ≤ ２ (１＋ )(１＋ ) 注意到a b ab a a２b b ab２ a b２ b a２ ． (＋ )(１＋ )＝ ＋ ＋ ＋ ＝ (１＋ )＋ (１＋ ) a b 所以K ．又 a２ a b２ b ２≥ a２＋ b２ １＋ ≥２ ,１＋ ≥２ , １＋ １＋ 所以K １ １ 当且仅当a b 取等 满足a３ b３ ２≥ ＋ ＝１, ＝ ＝１ ( ＋ ＝２), ２ ２ 所以K 的最小值为 ． 分 ２ １ 􀆺􀆺１２ 因为a b a３ b３ 所以 a３ b３ a３b３ 于是 ab ． ≥０,≥０, ＋ ＝２, ２＝ ＋ ≥２ , ０≤ ≤１ 又 a３ b３ a b a b２ ab ２＝ ＋ ＝(＋ )[(＋ )－３ ], s３ 令s a bt ab 则ss２ t 即t －２． 分 ＝ ＋ ,＝ , ( －３)＝２, ＝ s 􀆺􀆺１３ ３ s３ 又 ab 所以 －２ ．解得３ s ． ０≤ ≤１, ０≤ s ≤１ ２≤ ≤２ ３ 数学参考答案 第 页 共 页 ５ ( ６ )a b ab a b ab s t s t 所以(＋ )(１＋ ) (＋ )(１＋ ) (１＋ ) (１＋ ) a２ b２ ＝a b２ ab２＝s２ t２≥s２ (１＋ )(１＋ ) (＋ )＋(１－ ) ＋(１－ ) ＋１ s３ s －２ (１＋ s )s３ s ３ ＋３－２． 分 ＝ s２ ＝ s２ 􀆺􀆺１４ ＋１ ３( ＋１) s３ s s４ s 令gs ＋３－２s ３ 则g′s ＋４＋３ 于是gs 在 ３ 单调 ()＝ s２ ,∈[２,２], ()＝ s２ ２ ＞０, () [２,２] ＋１ ( ＋１) ３ a b ab gs g ３ ３ 递增 又g ３ ３２ 所以(＋ )(１＋ ) () (２) ２ ． , (２)＝ ( ３ ２) ２ ＋１ , (１＋ a２ )(１＋ b２ ) ≥ ３ ≥ ３ ＝ ( ３ ２) ２ ＋１ 当且仅当a b ３ 或a ３ b 时等号成立． ＝０,＝ ２ ＝ ２,＝０ ３ 所以K 的最大值为 ２ ． 分 １ ３ ２ 􀆺􀆺１６ (２)＋１ 又K 的最小值为 ２ １, K ３ 所以 １的最大值为 ２ ． 分 K ２ ( ３ ２) ２ ＋１ 􀆺􀆺１７ 数学参考答案 第 页 共 页 ６ ( ６ )