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2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B B B D A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD BC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．7 13． / 14．(1,0)；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）因为 ， 的中点为 ，且直线 的斜率 ，
则线段 的垂直平分线所在直线的方程为 ，.............................................................3分
联立方程 ，解得 ，.....................................................................................5分
即圆心 ， ，
所以，圆 的方程为 ..............................................................................................7分
（2）因为直线 被曲线 截得弦长为 ，
则圆心到直线的距离 ，...............................................................................................10分
学科网（北京）股份有限公司由点到直线的距离公式可得 ，解得 ...........................................................13分
16．（15分）
【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为 .
所以 ，解得 ，从而 ，即 ，...................................3分
所以右焦点为(2,0)，从而 ，解得 ，
抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为 ， ..........................6分
（2）
由题意直线 ，它过抛物线的焦点(2,0)，
联立抛物线方程得 ，化简并整理得 ，
显然 ， ，
所以 ，.................................................................................10分
点 到直线 的距离为 ，.....................................................................12分
所以 ，即 的面积为 .............................................15分
17．（15分）
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）证明：过 作 于 ，
因为 ，所以 与 相交，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，...........................................................................................................2分
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 与 相交， 平面 ，
所以 平面 ；.......................................................................................................4分
（2）取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 两两垂直，.....................................................................................................6分
所以以 为原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
因为 ，
所以 ，
所以 ，...............................................................................8分
因为 ， ， ， 平面
所以 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，
设直线 与平面 所成角为 ，则
.......................................................................................................11分
（3）因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，...........................................13分
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，.................................................15分
所以 ，
因为二面角 为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ...............................................................................17分
18．（17分）
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ，所以 ，
的周长为 ，所以 ，
所以 ，
故 的方程为 ．..........................................................................................4分
（2）易知 的斜率不为0，设 ，
学科网（北京）股份有限公司联立 ，得 ，
所以 ．........................................................................6分
所以 ，
由 ，
解得 ，
所以 的方程为 或 ．.................................................................10分
（3）由（2）可知 ，...................12分
因为 的斜率是 的斜率的2倍，所以 ，
得 ．.....................................................................................................14分
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．.............................................................................................17分
19．（17分）
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） ，.............................1分
，
；.........................................................4分
（2）设 ，由题意得： ，
即 ，而 表示的图形是正方形 ，
其中 、 、 、 ．................................................................6分
即点 在正方形 的边上运动， ， ，
可知：当 取到最小值时， 最大，相应的 有最大值．
因此，点 有如下两种可能：
①点 为点 ，则 ，可得 ；.................8分
②点 在线段 上运动时，此时 与 同向，取 ，
则 ．
因为 ，所以 的最大值为 ．..............................................................12分
学科网（北京）股份有限公司（3）易知 ，设 ，则 ..............14分
当 时， ，则 ， ，满足题意；
当 时， ，
由分段函数性质可知 ，
又 且 恒成立，当且仅当 时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条， 和 ．.........................................................................17分
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