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2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷
参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C D B D B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ACD BCD ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．3 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【详解】（1）因为 是边 的中点，所以 ，
所以直线 的斜率 ，.......................................................................................（3分）
所以 所在直线的方程为： ，即 ，...............................（5分）
（2）因为 是边AB的中点，所以 ，......................................................（7分）
因为 是 边上的高，
所以 ，所以 ，......................................................................（10
学科网（北京）股份有限公司分）
所以 ，
因此高 所在直线的方程为： ，即 ...............................（13
分）
16．（15分）
【详解】（1）由题意得 ，...............................................................（2
分）
所以
；..............................................................................................................（5
分）
（2） ，
所以
，.......................................................................................................................（8分）
， ,..............................................................................................（10分）
，.........................................................................................（12
分）
故 ，
由于异面直线所成角的范围为大于 小于等于 ，
所以直线 与AC所成角的余弦值为 ........................................................（15
分）
17．（15分）
【详解】（1）由题设知 ，两边化简得 ，
所以点 的轨迹 的方程为 ..............................................................................（5分）
（2）由题意知直线 的斜率一定存在，设 ，即 ，
因为原点到直线 的距离 ， ，.......................................（8分）
所以 ，当且仅当 时，取得等号，
又当 时，由 ，得到 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．............................................................................（15
分）
学科网（北京）股份有限公司18．（17分）
【详解】（1）以 为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
因为 ，所以 平面 ；..............................................................................（7分）
（2）
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为：
．..............................................................................（17分）
19．（17分）
【详解】（1）由题意可知： ，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4，
所以 ，即 ， ，所以椭圆的标准方程为：
......................................................................................................................（5分）
（2）由题意可知直线 的斜率不为 ，所以设直线 的方程为： ，
与椭圆的方程联立，得
消去 ，得 ，
所以 ，......................................................................................（8
分）
设 ， ，则 ，
由根与系数的关系，得 ，
直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为 ，..............................................................（12
分）
令 ，得
学科网（北京）股份有限公司，
即直线 与 轴交于一个定点，记为 ，............................................................（15
分）
则 ，等号成立当且仅当
...........................................................................................................................（17分）
