山西省太原市2025年高三年级模拟考试（二）数学答案_2025年4月_250426山西省太原市2025年高三年级模拟考试（二）（太原二模）（全科）

太原市2025年高三年级模拟考试（二） 数学试题参考答案及评分建议 一．选择题： A C D B C B D A 二．选择题： 9.ABD 10.BC 11.BCD 4 2 三．填空题: 12.3 13.( ,0) 14.[ ,0) 27 3 四．解答题: 本题共5小题，共77分. 15.解：（1）记抛掷两枚骰子的试验结果为(a,b)，则其样本空间为 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}，n()  36， ………2分 所求事件A{(2,1),(3,1),(3,2), (4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5)}，n(A) 15， ………4分 15 5 由古典概型可得P(A)  . ………6分 36 12 6 1 （2）由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，则P(X 0)  ， 36 6 10 5 8 2 6 1 4 1 P(X 1)  ，P(X 2)  ，P(X 3)  ，P(X 4)  ， 36 18 36 9 36 6 36 9 2 1 P(X 5)  ， 36 18 1 5 2 1 1 1 35 E(X) 0 1 2 3 4 5  . ………13分 6 18 9 6 9 18 18 16.解:（1）由题意得S 2a 2，S S 2a 2a ， n1 n1 n1 n n1 n a 2a ，{a }是公比q 2的等比数列， ………3分 n1 n n 当n1时,S 2a 2a ，a 2，a a qn1 2n(nN*). ………6分 1 1 1 1 n 1 （2）由（1）得a 2n，b log 2n n(nN*)， ………7分 n n 2 b2 b 2 b 2 b 2 1 22 32 (n1)2 n2 T  1  2  3  n      ，① n a a a a 2 22 23 2n1 2n 1 2 3 n 1 1 22 32 (n1)2 n2 T      ，② 2 n 22 23 24 2n 2n1 1 1 3 5 7 2n1 n2 ①-②得 T       ， ………10分 2 n 2 22 23 24 2n 2n1 1 3 5 7 2n1 1 1 3 5 7 2n1 令R      ，③ 则 R      ，④ n 2 22 23 24 2n 2 n 22 23 24 25 2n1 1 1 1 1 1 1 2n1 2n3 ③-④得 R       ，R 3 ， ………13分 2 n 2 2 22 23 2n1 2n1 n 2nn2 4n6 T 6 . ………15分 n 2n 17.（1）证明：连接AC交BD于O，连结OA ， 1 由题意得四边形ABCD是菱形，AC  BD， 即AO BD， ………1分 在△ABD中，AB  AD  BD 2，AO 3，OBOD1， 在△ A AB 中，AB2  AA2  AB2 2AA ABcosA AB 2， A B  2 ， 1 1 1 1 1 1 同理可得 A D  2 ，△ A BD 是等腰三角形，AO2  A B2 OB2 1， 1 1 1 1  AA 2  AO2  AO2，AO  AO ， ………4分 1 1 1  AO BD  O ，AC平面ABD，平面ABD 平面ABCD. ………6分 1 1 1 （2）由（1）得AOAO,AOBD，A D  A B  2 ， 1 1 1 AOBD，以O为原点，OA,OB,OA 所在直线分别 1 1 为x轴、 y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,1)，B(0,1,0)，C( 3,0,0)，E( 3,0,1)， 1   m BA, y z 0, 设m(x,y,z )是平面ABC 的一个法向量，则  1  1 1 1 1 1 1  m BC,  3x 1 y 1 0, 取x 1，则 y  z   3，m (1, 3, 3)， 1 1 1   nBE,   3x y z 0, 设n(x ,y ,z )是平面BCE 的一个法向量，则   2 2 2 2 2 2  nBC,   3x y 0, 2 2 取x 1，则 y   3,z 0，n (1, 3,0)， ………11分 2 2 2 mn 4 2 7 cosm,n   ， ………13分 |m||n| 72 7 2 7 二面角A BC E 的余弦值为 . ………15分 1 7 p p 18.解：（1）由题意设A(x ,y ),B(x ,y )，当m  时，设直线AB的方程为x  y ， 1 1 2 2 2 2  p xy , 由 2 得y22py p2 0，y y 2p，y y p2， ………2分 1 2 1 2  y2 2px p p |PA | (x  )2  y 2   2y ，|PB| (x  )2  y 2  2y ， 1 2 1 1 2 2 2 2 |PA ||PB| 2y y  2p2 8， 1 2  p  2，抛物线E的方程为 y2  4x. ………5分 （2）①由（1）得抛物线E的方程为 y2  4x，设A(x ,y ),B(x ,y )， 1 1 2 2xym, 设直线 AB的方程为x  ym，由 得y24y4m0， y2 4x 1616m0，y y 4，y y 4m， ………6分 1 2 1 2 |PA | (x m)2  y 2   2y ， |PB| (x m)2  y 2  2y ， 1 1 1 2 2 2 |PA ||PB|  2y y 8m， ………8分 1 2 设C(x ,y ),D(x ,y )，设直线CD的方程为x  ym， 3 3 4 4 xym, 由 得y24y4m0，1616m0，0m1， y2 4x y y 4，y y 4m，|QC |  2y ，|QD |  2y ， ………9分 3 4 3 4 3 4 |QC ||QD|  2y y 8m，|PA ||PB| |QC ||QD|. ………11分 3 4 ②由①可得| AB||PA ||PB| 2(y  y )  2 (y  y )2 4y y  4 2 1m ， 2 1 2 1 1 2 |CD ||QC ||QD| 2(y  y )  2 (y  y )2 4y y  4 2 1m ， 3 4 3 4 3 4 |2m| 直线AB 与CD的距离d   2m， ………14分 2 1  AB//CD ，S  (| AB ||CD |)d  4m( 1m  1m)，0m1， ABCD 2 3m2 23m 令 f (m)  m( 1m  1m)，0m1，则 f(m)   ， 2 1m 2 1m 2 2 2 2 令 f(m)  0，则0 m  ，令 f(m) 0，则  m 1， 3 3 2 2 8 3 32 3 当m 时, f (m)取得最大值 ,此时四边形ABCD面积取最大值 .……17分 3 9 9 1 3 19.解（1）由题意得g(x)1 0，g(x)在(1,2]上是单调递增，1 g(x) ， x2 2 3 函数g(x)的值域为(1, ]. ………3分 2 （2）证明：①由题意得 f(x) xex， f(a ) a ea n， n n  f (x)在P (a , f (a ))处的切线方程为 y(a 1)ea n  a ea n(xa )， n n n n n n 1 a  a  1，n 1,2,， ………5分 n1 n a n 3 a  2，由（1）可得1 a  ，n  2,3,， ………6分 1 n 21 a  2 a 1 n a (a 1)2 a 1 1 1  n1  n  n  n 1  ，n 1,2,3,，………8分 a 1 a 1 a (a 1) a a 2 n n n n n n a 1 a 1 a 1 a 1 1  n  n1  3  2  ， a 1 a 1 a 1 a 1 2n1 n1 n2 2 1 1 1 a 1  ，a 1 ，n 1,2,. ………10分 n 2n1 n 2n1 1 1 ②由题意得S  |Q Q |f(a )  |a a |f (a )， ………11分 n 2 n n1 n 2 n2 n1 n 1 3 7 43 a  2，a  a  1，a  ,a  ,a  ， 1 n1 n a 2 2 3 6 4 42 n 1 1 1 3 1 1 3 S  |a a |f(a ) e2  e2 ，S  |a a |f (a ) e2 ， ………13分 1 2 3 2 1 6 3 2 2 4 3 2 28 1 1 a  a  1,1 a  2，a a  10, n1 n a n n1 n a n n 3 1 a  a  a   a  2, n1 n 2 2 1 1 1 0 a a  ，0 a 1 ，n  2,3,， ………14分 n n1 2 n 2n1 3 1 3 当n 3时， f (a )(a 1)ea n e2(a 1) e2， n n n 2n1 1 1 1 3 S  |Q Q |f(a )  |a a |f (a )  e2， ………15分 n 2 n n1 n 2 n2 n1 n 2n1 n n n 1 3 1 1 3 3 n 1 S  S S S  S S  e2 (  )e2 e2 i 1 2 i 1 2 2i1 3 28 2i1 i1 i3 i3 i3 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 3 (  )e2  e2(1 ) (  )e2  e2  e2. ………17分 3 28 8 2n2 3 28 8 2 注：以上各题其它解法请酌情赋分.