山西省长治市2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题答案_2025年9月_250922山西省长治市2025-2026学年高三上学期9月质量监测（全科）

长治市 2025-2026 学年度第一学期高三九月份质量监测
数学答案
一、BAACC DBA 二、ABD BD ACD
3 10
三、12. 135°(或 ） 13. - 14.19
4 10
5 5
 
f  sin2
四、15.解：(1)若 ，则 ，
13 13
  
  2
因为 ，所以 ，--------------1分
4 2 2
12
cos2- 1-

sin2
2

所以 ，--------------3分
13
5  12 120
 
f 2 sin4 2sin2cos2 2   
所以 .----------5分
13  13 169
   
   
g x  f x  fx sin2xsin2x sin2xcos2x
（2）
 4   4 
 
 2sin2x 
，-----------------7分
 4
 
因此g  x  的值域为 - 2，2 .----------9分
   3 
- 2k 2x  2k,kZ - k x k,kZ
由 得 --------11分
2 4 2 8 8
 3  
g  x  - k， k ,kZ
因此函数 的单调递增区间为  . ---------------------13分
 8 8 
 
16.解：（1）设椭圆的半焦距为c c0 ，由题意知2c4，所以c2，--------------1分
F AB的周长为 AF  AF  BF  BF 4a 8 2，所以a 2 2，------------3分
1 1 2 1 2
所以b2 a2 c2 4，-----------------------------------------------------5分
x2 y2
故C的方程为  1.---------------------------------------------------6分
8 4
（2）设l：xmy2，
xmy2
  
联立x2 y2 ，可得 m2 2 y2 4my40， 0，---------------------8分

 1
 8 4
4m 4
设Ax ,y ，Bx ,y ，所以y  y  ,y y  ，----------10分
1 1 2 2 1 2 m2 2 1 2 m2 2
 
4 2 m2 1
所以 y  y 

y  y
2
4y y  ，-------------------------- 12分
1 2 1 2 1 2 m2 2
{#{QQABbYAEggigApBAARhCEQVSCkKQkBCAAYoGwAAQoAAASRNABAA=}#} 
1 8 2 m2 1 16
由S  FF y  y   ，------------------------------13分
F 1 AB 2 1 2 1 2 m2 2 3
解得m  1， ------------------------------------------------------------14分
所以l的方程为x y20或x y20.----------------------------------15分
17.解：(1)证明：A A⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
1
∴A A⊥AB,
1
AB⊥AD,AD A A A,AD,A A⊂平面ADD A ,
1 = 1 1 1
∴AB⊥平面ADD A ,
1 1
AB⊂平面ABBA ,
1 1
平面ABBA 平面ADD A .------------- 4分
∴ 1 1 1 1
(2)(ⅰ)由题意得,AB,AD,AA 两两垂直,分别以AB,AD,AA 为x,y,z轴,建立空间直角坐
1 1
标系A-xyz,则B( 2,0,0),C( 2,2,0),D(0, 3 1,0),A(0,0, 2),设球心O(x,y,z),半径
+ 1
为R,
则OA OB OC OD R ,即
1 = = = =

x2  y2 (z 2)2  R
 x0
 
 (x 2)2  y2 z2  R y 1
 ,解得
  x 2  2 (y2)2 z2  R  z 0
 
R  3
  x2 (y 31)2 z2  R
O(0,1,0),O平面ABCD. -------------9分
(ⅱ)由(ⅰ)得A(0,0,0),C( 2,2,0),O(0,1,0),A(0,0, 2)，
1
则OA (0,-1, 2),AC ( 2,2,- 2),AA (0,0, 2)，-------------10分
1 1 1

设平面A AC的法向量m(x,y,z)，
1

  mAC  2x2y 2z 0 
 1 ,令x 2，得m( 2,1,0)，

 mAA  2z 0
1

同理可求平面ACO的一个法向量n ( 2,2, 2)，
1
 
  mn 6
cos m,n     ，
m n 3
3
二面角A-AC-O的正弦值为 . -------------15分
1 3
x1
18. 解：（1）由 0得1 x1，所以 f(x)的定义域为(1,1)，
1x
x1 1x
 f(x) f(x)ln ln bx3 b(x)3 axa(x)2a
1x 1x
ln12a 2a，  y  f(x)关于点(0,a)中心对称. ------3分
2 2
(2)当b0时, f(x) a0恒成立， 则a 恒成立，
1x2 x2 -1
2
x(1,1)，x2 1  1,0  ， 2， a2，即a的最小值为-2.-----8分
x2 1
（3）由（1）可知 f(x)关于（0，a）对称，a 2，
x1
 f(x)ln bx3 2x2，
1x
2 3bx4 (3b2)x2 x2(3bx2 3b2)
f(x) 3bx2 2  ，
1x2 1x2 1x2
-----11分
x2
 0， 令g(x)3bx2 3b2，g(0)3b2，g(1)2，
1x2
{#{QQABbYAEggigApBAARhCEQVSCkKQkBCAAYoGwAAQoAAASRNABAA=}#}2
当b 时，g(0)0， x(0,1)时，g(x)0恒成立， f(x)0，
3
 f(x)在（0,1）上单调递增  f(0)2，  f(x)2的解集为  x0 x1  ，满足
题意.
2
当b 时， g(0)0， x (0,1)使得 g(x )0，
3 0 0
x(0,x ) 时g(x)0，即 f(x)0， f(x)单调递减；x(x ,1) 时g(x)0， 即
0 0
f(x)0， f(x)单调递增.
 f(0)2 x(0,x )时 f(x)2，不满足题意.
0
2
综上所述， b . -------------17分
3
19.解：（1）设事件A为“某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分”，则
1 2 4
P  A  C1 ( )2  . -------------3分
3 3 3 9
(2）依题意：随机变量的可能取值为3,4,5,6， 则
1 1 2 1 6 2
P(3)C0( )3  ， P(4)C1 ( )2   ，
3 3 27 3 3 3 27 9
1 2 12 4 2 8
P(5)C1 ( )2   ， P(6)C3( )3  .
3 3 3 27 9 3 3 27
的分布列为
3 4 5 6
1 2 4 8
27 9 9 27
1 2 4 8
所以数学期望E()3 4 5 6 5. ----------- 9分
27 9 9 27
（3）方法1：已调查过的累计积分恰为n分的概率为B ，积不到n分的情况只有先积n1分，
n
2 1
再积2分，概率为 B ，其中 B  ，
3 n1 1 3
2 2
   
因为B  B 1n2 ，即B - B 1n2 ， -----------12分
n 3 n1 n 3 n1
3 2 3
所以B   (B  )， -----------13分
n 5 3 n1 5
 3 3 4 2
故B  是首项为B   ，公比为 的等比数列，
 n 5 1 5 15 3
3 4 2 3 4 2
所以B   ( )n1，即B   ( )n1. -----------17分
n 5 15 3 n 5 15 3
1 2
方法2：由题意可知B  B  B (n3)，
n 3 n1 3 n2
2 2 2 2 1 1 2 1
则 B  B  B  B (n3)，因为B  B （   ）  1，
n 3 n1 n1 3 n2 2 3 1 3 3 3 3 3
2 2
 
所以B  B 1(n2)，即B - B 1n2 -----------12分
n 3 n1 n 3 n1
3 2 3
所以B   (B  )， -----------13分
n 5 3 n1 5
 3 3 4 2
故B  是首项为B   ，公比为 的等比数列，
 n 5 1 5 15 3
3 4 2 3 4 2
所以B   ( )n1， 即B   ( )n1 . -----------17分
n 5 15 3 n 5 15 3
{#{QQABbYAEggigApBAARhCEQVSCkKQkBCAAYoGwAAQoAAASRNABAA=}#}