武昌区2025届高三年级上学期期末质量检测数学答案_2025年1月_250118湖北省武汉市武昌区2025届高三年级上学期期末质量检测（全科）_武昌区2025届高三年级上学期期末质量检测数学

参考答案及评分细则 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C C B D D A AC BCD ACD 二、填空题 1 11. 12 12. 13. 2 3 三、解答题 15.解：（1）因为ABC π， 所以，sin2A2sinAsinCsin2Csin2 πB sinAsinC. a b c 又因为   . sinA sinB sinC 所以，a2 2acc2 b2 ac，得b2 a2 c2 ac， a2 c2 b2 ac 1 所以，由余弦定理得cosB   ， 2ac 2ac 2 所以，B60. …………………………………………………………（6分） 因为ABC 的面积为 3 ，b 13，B60o， 1 所以， acsinB 3 ，ac4，a2 c2 b2 ac17， 2 1 因为BD为ABC 的中线，所以，BD (BABC) 2 2 1 1 1 21 所以， BD  (c2 a2 2accosB) （1724 ） 4 4 2 4 ， 21 所以，BD  . …………………………………………………………（13分） 2 16.（1）证明：取DF中点K，连GK、KC， 1 G为AF 中点，KG// AD，KG  AD， 2 1 BC// AD，BC  AD,KG//BC，KG  BC 2 K 四边形KGBC为平行四边形， KC//BG， 参考答案及评分细则 第 1 页 共 5 页BG平面DCF，KC 平面DCF ， BG//平面DCF …………………………………………………………（6分） . （2）解：FA 平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC，FA,AD,AB两两垂直. 以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系.  直线BF与平面ABCD所成的角为ABF  ，有AB=AF，设AB AF a(a0)， 4 则B(0,a,0),F(0,0,a),C(1,a,0),D(2,0,0) z DC (1,a,0)，DF (2,0,a)，AF (0,0,a) 设平面DCF的法向量为n(x,y,z) ，     nDC 0， 即 ayx0， y  nDF 0， az2x0， 1 2 1 2 令x1,则y ,z ，n(1, , ) a a a a x 2 a nAF a 2 cosn,AF    , n  AF 1 2 2 2 3 12     a a a 1 a2，即 n(1, ,1) BF (0,2,2) 2 BFn 012 2 点B到平面DCF的距离h   . ………………（15分） n 1 2 3 12   12 2 ex(2x1) 17.解：（1）当a1时，f(x) (x1) x1 ex(2x2 3x) 3 则 f(x) , 令f(x)0，解得x0或 (x1)2 2 3 3 当x0或x 时, f(x)0；当0 x1或1 x 时, f(x)0. 2 2 3 3 所以f(x)在(，0）, ( ,)单调递增, f(x)在(0，1）, (1, )单调递减.…（6分） 2 2 (2)因为x1时，f(x)1， 参考答案及评分细则 第 2 页 共 5 页ex(2xa) 所以f(x) 1(x1), x1 x1  x1 得a2x (x1), 即a2x  , ex  ex  min x1 2x 2ex x2 令h(x)2x (x1)，则h(x)2  ， ex ex ex 令(x)2ex x2(x1),且(x)在（，1）上单调递增，且(0)0， 所以，当x0时，(x)0,即h(x)0；当0 x1时，(x)0,即h(x)0. 所以，h(x)在(,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 所以h(x) h(0)1,故a1.…………………………………………（15分） min 18.解：（1）由题意，2a 22b,2c2 3,又a2 b2 c2a 2,b1, x2 所以椭圆C的方程为：  y2 1.………………………………………（4分） 4 （2）A(2,0),B(2,0),由图形对称性可知，定点M在x轴上， 设直线PQ方程为：xmyx M(x ,0),P(x ,y ),Q(x ,y ), 0, 0 1 1 2 2 1 AM  y  y S 1  2 1 2  AM  x 0 2 74 3, S 1 BM 2x 2 BM  y  y 0 2 1 2 x  3,即定点坐标为( 3,0). ………………………………………（8分） 0 （3）设直线PQ的方程为xmyx，P(x ,y ),Q(x ,y ). 0 1 1 2 2 xmyx,  联立x2 可得(m2 4)y2 2mx yx 2 40,  y2 1, 0 0   4 2mx x 2 4 x 2 4 则y  y  0 ,y y  0 ,且y y  0 （y  y）. 1 2 m2 4 1 2 m2 4 1 2 2mx 1 2 0 k y x 2 y my x 2 my y  y (x 2) 于是 1  1  2  1  2 0  1 2 1 0 k x 2 y my x 2 y my y  y (x 2) 2 1 2 1 0 2 1 2 2 0 参考答案及评分细则 第 3 页 共 5 页x 2 4 m（ y  y） 0  y (x 2) 1 2 2mx 1 0 x 2 1  0  0  ， x 2 4 x 2  m（ y  y） 0  y (x 2) 0 1 2 2mx 2 0 0 k k 1,0 1 1，即 1的范围是（0, 1）. …………………………（17分） k k 2 2 19.解：（1）前两次一定会翻到1，否则第三次翻到2也会被翻回，故分两种情况： 1 3 1 1 如果第一张翻出了1，那么第二次一定不能翻2，因此 p     ; 1 5 4 3 20 如果第二张翻出了1，那么有两种情况，第一种情况第一张翻出了2并翻回，为 了保证最优解，在第三次翻卡片时必须把2翻开；另一种情况是第一张没有翻出 1 1 3 1 1 1 2，第三张恰好翻到2，因此 p       . 2 5 4 5 4 3 10 3 所以 p  p  p  . ………………………………………（4分） 1 2 20 注：也可以按照出现2的次数分类 （2）根据题意可以推断出下面两点： 首先，错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上，也会知道这张卡片的点数，因此 第二次翻开它时并非随机事件; 其次，如果在翻一张卡片时，点数比它小的所有卡片没有被翻开，那么这张卡片 就需要被翻两次. 可以看作是考虑随机对翻开五张卡片的进行排列，从左往右依次翻开卡片，遇到 不符合顺序的进行调整，因此需要翻开的次数X可取5，6，7，8，9 ， ①当X=5时，恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片， 1 1 1 1 1 1 因此， p      5 4 3 2 1 120 ②当X=9时，点数为2-5的扑克卡片恰好全部在A之前翻开， A4 1 因此， p 4  A5 5 5 ③当X=6时，只有一张卡片没有在所有比它小的卡片翻开时翻开了， 1234 1 因此， p  A5 12 5 ④当X=8时，有三张卡片错误地翻开了， 123124134234 5 因此， p  A5 12 5 ⑤当X=7时，可以继续用插空法，亦可以利用排除法， 参考答案及评分细则 第 4 页 共 5 页1 1 1 5 7 p1     因此 120 5 12 12 24 列出分布列有 X 5 6 7 8 9 p 1 1 7 5 1 120 12 24 12 5 1 1 7 5 1 926 463 因此 E(X)5 6 7 8 9   （次）……（11分） 120 12 24 12 5 120 60 （3）基于第二问的思考，这实际上是对知晓卡片点数的顺序进行排列，当有n张卡片时， 值得注意的是写有数字n的卡片如果是最后一个知晓，那么它就只需要被翻开一次，如 果它不是最后一个知晓，那么它就一定需要被翻开两次，记Y 为需要翻开写有点数n n 的纸卡片的次数. 1 n1 因此P(Y 1) ，P(Y 2) n n n n 1 2(n1) 1 所以E(Y )  2 n n n n 1 于是E(X ) E(X Y ) E(X )E(Y ) E(X )2 n n1 n n1 n n1 n n 1 而E(X )1,于是E(X ) 2n 1 n i i1 3n1 n 1 3n1 n1 n 1 n 1 1  故E（X ） 2n       0n3 n 2 i 2 2 i 2 n i1 i1 i3 3n1 E（X ） 当n=1，2时上式等号成立，于是 n 得证. ………………（17分） 2 参考答案及评分细则 第 5 页 共 5 页