徐州市2025届高三第一次调研测试
数 学
注意事项
2
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位直作答一律无效。
3. 本卷满分 150分，考试时间 120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 己知集合A={xl-1运xζ2}, B={xllnx�O｝，则AnB=
c.
A. [-1, 2] B. [1, 2] (0,2] D. (0,1]
2. 己知向量aJ满足a+ 2b = (3 , 1) , 2a -3b = (-1，匀，则a与b 的夹角为
A. 号 B.
c. t
D.
I
{
3. 某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60。，则该正囚棱锥的体积为
钊Z 叫E
A. B 孚 c. 豆孚 D.
丁－ 丁－
4. 己知等比数列｛a
w
｝的前 n项和为S
n
，且s
n+I
, S
n
,
s.+2
成等差数列，则艺＝
c.
A. 1 B. 2 4 D. 9
s.
在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p% 的增长率呈指数增长．若增长为原来的伊
经过了 4天，则增长为原来的2 倍需要经过的天数约为（参考数据z lg2 0.3)
句
c.
A. 6 B. 12 16 D. 20
6. 定义在R上的奇函数 f(x ）满足 f(x) = /(4-x ），且 f （均在［－2,2］上单调递增． 设
a= f(i) ,b = /(!), c =f(-l几则
数学试卷第1页（共4页）A. a
0,b>0）的左、右焦点分别为耳，玛，4为C的左支上
a b
一点，期与C的一条渐近线平行.若|力行|二|耳B|，则C的离心率为
A. 2 B. 2& C. 3 D. 3百
8 .设函数/（x） = sin（的用（。>0）,若/⑶在（0国上有且只有2个零点，且对任意
实数。，,（X）在［，即上存在极值点，则刃的取值范围是
A. （j，3） B.（刊 C,（3,号） D,（3 号］
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。
9 .已知马，出是复数，则下列说法正确的是
A.若Z?为实数，则N是实数 B.若z2为虚数,则Z是虚数
C.若Z2=Z］,则Z/2是实数 D.若才+1:。，则2尼=0
10 . 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地
依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件4 , “第二次抽到黄球”为事件5,
则
A・ P（4） = 2 B. P（B|^） = 1
C. 4与5为互斥事件 D. 4与3相互独立
11.已知正方体431G4的棱长为2, E,尸分别是棱45,4%的中点，则
A. G尸，平面。4后
B.向量卒，丽，丽不共面
C.平面CEF与平面的夹角的正切值为2杏
D.平面CE尸截该正方体所得的截面面积为回
数学试卷第2页（共4页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12 .设(2X-1)S=为+平+与产+心炉+%/十叼/，贝!1。1+03+〃5=・
13 .已知抛物线C:/= ©的焦点为产，直线/的倾斜角为45。，且/过点尸.若/与C相交
于4,3两点，则以N5为直径的圆被)轴截得的弦长为・
14 .将1, 2, 3, 4, 5, 6随机排成一行，前3个数字构成三位数〃，后三个数字构成三位
数从 记刑=|〃-4，则m的最小值为,相小于100的概率为•
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 . (13 分)
某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简
单随机抽样，得到如下数据：
女 男
未参加跳绳比赛 75 90
参加跳绳比赛 25 10
(1)能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关？
(2)为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12
人进行研究.老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率.
2 n{ad-bc)2 .
附：X =(a+b)(c + d)(a + c)(b + d)'其中界" + 6 + C + W
尸(/2) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16・(15分)
在△43C中，已知tan/号，sin(4-B) =索.
। 10
(1)求3；
(2)若4D为/胡。的平分线，A4BC的面积为14,求功.
数学试卷第3页(共4页)17. （15 分）
如图，在直三棱柱"C-4MG中，ab】=bC[=C4, bg工eq.
G
(1)证明：三棱柱45c - 44G是正三棱柱;
(2)证明：AB.1CA.;
(3)设第u平面a, BQ 〃平面a,若直线BC1与
A C
平面a的距离为6,求三棱柱43C-44G外接球的表面积・
18. (17 分)
已知函数/(x) = F +⑪的图象与％轴的三个交点为小。,§《。为坐标原点).
(1)讨论/(力的单调性；
(2)若函数ga)= /(x)-21n旨有三个零点，求a的取值范围；
(3)若分-1,点尸在y = /(x)的图象上，且异于4,0,5,点。满足苏•苏=0,
PB QB = 0 ,求。。的最小值.
19. (17 分)
已知椭圆C:£ + % = 1 的离心率为孚，且经过点N(&,孚).定义
第〃次操作为：经过C上点4作斜率为k的直线与C交于另一点纥，记纥
关于4轴的对称点为4+”若4+1与纥重合，则操作停止；否则一直继续下去.
(1)求。的方程；
(2)若4为c的左顶点，经过3次操作后停止，求女的值；
(3)若上=-£, 4是c在第一象限与/不重合的一点，证明：△44x4+2的面积
为定值・
数学试卷第4页(共4页)南通市2025届高三第一次调研测试
数学参考答案与评分建议
12. 122 13. 26 14. 47, 1
6
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13 分）
【解】（1）假设学生参加跳绳比赛与学生的性别无关.
200(75x10 - 90x25)2 600
贝U 2?= ------------------ =---« 7.792 >6,635 , 4分
100x100x165x35 77
所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关. 6分
（2）利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人,
则未参加跳绳比赛的有9人，参加跳绳比赛的有3人. 8分
老师甲从这12人中随机选取3人,
记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件力，
则P（4）=1一「（a=1 —舁=1%=圣，
55 55
所以至少有1人参加跳绳比赛的概率是……13分
16. （15 分）
【解】（1）在△45。、,中，tan4 = g＞0,所以0＜彳＜与，
因为0＜8＜不，所以一冗＜力一8＜方，
因为sin（/ — 5） =音＞0,所以。＜/一6得,
参考答案与评分建议 第1页（共7页）所以cos"- 4) = J1 -sin?. - 6) = * .
sin(力 一 B) _ 1
所以tan(4- 6)= 3分
cos(A -B)~ 7
4 1
tan A — tan(J - B) _ J --7
所以 tanB = tan[/4 — (J —B)]= =1,
1 + tan J - tan(4-B) 1 . 4X1
1 + 3X7
所以8=3 ……6分
(2)由tan 一 号, 0<^i，44]J_ 平面 N8C,
所以。。_L平面力5C .
以｛而，灰，函｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设 AC = 2a t AA[ = b ,贝！J
J(0，- a,0), B(6a, 0, 0), C(0, a, 0), >4, (0, - a, 5).
。](0,4,3由(岛，0,。)， ……5分
所以西=(一岛，a,b),可=(0,-勿，与，寓= (Ga,a,b).
因为8G_LC4，所以西jlC4,
所以西.瓦=-2，+62=0,所以b = ga .
所以祸不 =-2/+/=0 ,
所以函_L豆，即力彳J.。4. .... 8分
(3)因为481U平面a, BG 〃平面a,
又因为 8G ± CA], AB[± CAi,
所以不妨取平面a的法向量〃 =。4 =(0,-2〃，J5〃). •^••,10分
因为直线8。与平面a的距离为V3 ,
所以点8到平面a的距离为
因为函= (0,0,血a),
所以点8到平面a的距离d=粤:L / 2a2 4a=&,
同 “一+2々2 V6
所以。=乎. ……12分
所以正三角形为6c的外接圆半径，一3平=卡，
2旦
~2
参考答案与评分建议 第3页(共7页)所以正三棱柱/18C - 4B|G的外接球的半径
&=卜+(争2=亭,
所以三棱柱ABC - 44G外接球的表面积为s = 4』=337t. ……15分
18. (17 分)
【解】(1)由已知得，/(x) = 0有三个根，
令 9+0¥ = 0,得 x=0 或3+^二。，
所以，+4 = 0有两个不同的解，所以a<0. .... 2分
^f'(x) = 3x2+a>0,得或
令/⑺<0,得一
所以当° < 0时，f(x)在(…，-4手)和(年,+ 8)上单调递增；
在卜^上单调递减. ……4分
: 一”
(2)令 > 0 ,得
1 +x
令 g(x) = J +ox- 21nlz,
1+X
因为g(T)+ g(x) = -f -4工-2111^^ + / +ox-21n1^ = 0 ,
所以g。)为奇函数. ……6分
因为g(0)= 0,所以。是g")的一个零点，
要使g(M = /« - 2 In 有三个零点，
只需要g(x)在(0,1)有且仅有一个零点.
g'(x) = 3/ + 0 + —^―在(0 ,1)上单调递增，g<0) = « + 4.
1 -x .
当 a + 4 N 0 ,即 4 2 -4 时，g'(x) 2 0 ,
所以g(x)在(0,1)上单调递增，
由g(0) = 0,得g(x)在(0,1)上无零点,不合题意，舍去.
当 a + 4 < 0 ,即 a < —4 时，
参考答案与评分建议 第4页(共7页)所以存在与 e(0,1),使得g'Qo)= O-
当Ovxv玉时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,而)上递减;
当与<不<1时，gz(x)>0,所以g(x)在(％,1)上递增. 8分
当xe(O,x())时,g(x)«-21n-j-^ ,
C里
(L
令尹卜皂・解得x=R，所以g(V)>0,
1 + £ 1 + e彳
所以g(x)在(与，1)上存在唯一的零点.
综上a < -4 . 11分
(3)设力(再，0),以刍，0) , Kx( = -x2 = -4-a , P{m , ri), Q{x > y),
因为点尸异于4,0,4,所以znwO,士
由而逅=0,丽丽=0,
得 f (m f)(x-再)+ ny = O,
14分
[(〃? - x2)(x -x2) + ny = 0f
解得 x = -m y y .
m
所以。。=&2+、2 +」》& ,
当且仅当〃』=」7，即阳=±1时，等号成立,
“广
所以。。的最小值为. 17分
19. (17 分)
奄
【解】(1)由条件得， 二==噂,4 +」7 = l,
。 2a2 2b2
解得 a = 2 , b = l, 2分
参考答案与评分建议 第5页(共7页)所以椭圆。的方程为与+ /=1. ……3分
⑵设4(芍，为)，贝!1直线4局的方程为^ = k(x-x〃) + y〃，
与C的方程联立，消去y得，
(4A2 + l)x2 + Sk(yn -kxn)x + 4(yn -kxn)2 -4 = 0.
因为看+4匕;=4,
所以(4k2 + l)x2 + 8k(y〃 一 kxn )x+ (4k2 -1)^ - Skx„yn = 0 .
因为x = xn是它的一根,
(4/一1区一 8处” -2公”-(4严-1)%
所以XBn =
%=
4-十1 4/十1
_ (4/_1凡_ 8如“ 2h“+(4〃2-l)y.
即 6分
x/l+l —
4Y + I 4/+ 1
若4(-2,0),经过3次操作后停止，即为83(2,0).
将4(一2,0)代入(*)式得,4(笔答,瑞》
因为4(-2,0),当(2,0)关于原点对称，451〃4式,
所以4与4关于原点对称，
因为A2与B［关于x轴对称/4与4关于x轴对称，
所以a2与b2关于原点对称.
所以A = kA此== 4k^-l，解得卜=士亭，
综上，当〃 =3时，k=土旁. ……9分
参考答案与评分建议 第6页(共7页)（3）当时，由（*）式得4（2%，-3），
类似可得自（-阳，-弘），所以4与4关于原点对称. ……11分
如图，由椭圆的对称性可知，4,与色关于原点对称，45与4重合，
所以｛4｝是以4为周期的周期点列，
所以△44+i4,+2的面积s等于△44色的面积. ....14分
因为直线44的方程为必工一%丁=0, »/2| = 25占2十万2 ,
点儿到直线4 a3的距离d = 2：+/=寸4疗=2 ,
- 7^77 2^7 7^7
所以S = q.|442l，d = tx2jx12 + y2 X1 2 _ = ?. ........17 分
2 2 V
参考答案与评分建议 第7页（共7页）
