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数学参考答案·第1 页（共11 页）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
B
A
C
B
B
【解析】
1．因为i(
2
3i)
3
2i
，对应的点为(3
2)
，
，在第四象限，故选D．
2．因为
{ |
3
{ 1 0
3
}
1}
M
x
x
x
Z
≤≤
，
，，，故子集个数为
32
8
，故选C．
3．由题意知角的终边上有一点
1
( 2
)
P
，，设O 为坐标原点，则|
|
3
OP
，故
1
sin
3
，
则
3
cos
sin
2
3
π
，故选A．
4．因为圆
2
2
2
8
0
x
y
x
圆心为(1 0)
，
，半径为
3
r
，所以圆心(1
0)
，
到直线
5
0
x
y
的距离
2
2
| 4 |
2 2
1
1
d
，因此，弦长
2
2
2
2 9
8
2
r
d
，故选B．
5．根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为
2
的随机变量的
观测值．对于A，残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，
A 正确；对于B，残差与观测时间有线性关系，B 错误；对于C，残差与观测时间有非线
性关系，C 错误；对于D，残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大，D 错误，
故选A．
6．因为F 是椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点，所以
(
0)
F
c
，
，
(
0)
A a，
，
(0
)
B
b
，
，因为P
是椭圆上的一点，PF
x
轴，将x
c
代入
2
2
2
2
1
x
y
a
b
得
2
2
2
2
1
c
y
a
b
，所以
2
b
y
a
，又
OP
AB
∥
，所以
2
b
P
c
a
，
，
OP
AB
k
k
，即
2
0
0
b
a
b
ac
，整理得b
c
，所以
2
2
2
2
tan
2
b
b
BAO
a
b
c
，故选C．
数学参考答案·第2 页（共11 页）
7．因为
3
y
x
y
x
，
均为奇函数且为增函数，所以函数
3
( )
f x
x
x
为奇函数且为增函
数．因为数列{
}
na
是等差数列，所以
1
2025
1013
2
0
a
a
a
，所以
1
2025
a
a
，所以
1
2025
2025
(
)
(
)
(
)
f a
f
a
f a
，所以
1
2025
(
)
(
)
0
f a
f a
，同理可得
2
2024
(
)
(
)
0
f a
f a
，
3
2023
1012
1014
(
)
(
)
0
(
)
(
)
0
f a
f a
f a
f a
，，
，
1013
1013
1013
(
)
(
)
0
(
)
0
f a
f a
f a
，因此
1
2
3
2024
2025
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
f a
f a
f a
f a
f a
，故选B．
8．
1
1
1
3
2
2
2
4
BD
BC
BA
BC
BE
，设BP
tBD
，所以
1
2
BP
tBC
3
4 tBE
，又E
P C
，，三
点共线，所以1
3
1
2
4
t
t
，解得
4
5
t
，所以
4
4
4 3
|
|
|
|
3
5
5
5
PB
BD
，
3
|
|
5
PD
，所
以(
2
)
PA
PC
PB
PD PB
2 |
| |
|
25
24
PB
PD
，故选B．
二、多项选择题（本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
BCD
【解析】
9．设圆台上底面的半径为1
1
r ，下底面的半径为
2
2
r
，对于A，由于母线与底面所成的
角为π
3 ，则母线长
2
1
2
π
c s 3
o
r
r
l
，A 正确；对于B，圆台的侧面积为π(1
2)
2
6π
，B
错误；对于C，由题意有：
2
2
1
2
π
π
π
π
4
4π
S
r
S
r
下
上
，
，圆台的高
3
h
，所以该
圆台的体积为1
1
(
)
(π+ π
4π
4π)
3
3
3
S
S S
S
h
下
下
上
上
7 3 π
3
，C 正确；对于D，设梯形ABCD 为圆台的一个轴截面，
假设存在球O 与圆台的两个底面和侧面都相切，如图1，设圆台
上、下底面圆心分别为
1
2
O
O
，
，则
1
2
O
O O
，，
共线，且
1
2
O O
AB
，
1
2
O O
CD
，连接OD OE OA
，
，
，则OD OA
，
分别平分
B
ADC
DA
，
，故
图1
数学参考答案·第3 页（共11 页）
π
2
ODA
OAD
，
π
2
DOA
，OE
AD
，
1
2
DE
r
AE
r
，
，故
2
1 2
2
OE
rr
，解得
2
OE
，故圆台的高为
2
2
2
h
OE
，与
3
h
矛盾，所以不存在球O 与圆台的两个
底面和侧面都相切，D 错误，故选AC．
10．对于A，双曲线C：
2
2
2
1(
0)
x
y
b
b
的渐近线方程为
1
y
x
b
，则
3
b
，所以双曲线
C 的方程为
2
2
1
3
x
y
，所以焦距
2
2
2
2
4
c
a
b
，A 正确；对于B，由双曲线C 的渐
近线方程为
3
3
y
x
，若直线l 与双曲线相交，则直线l 的倾斜角的取值范围为π
6
6
5π
，
，
B 正确；对于C，
1
2
(0 2)
(0
2)
F
F
，，
，
，
2
1
1
|
|
|
| |
|
|
|
| 2
|
2
MN
MF
MN
MF
a
NF
≥
5
2
，当且仅当点M 为线段
1
NF 与双曲线的交点时取等号，C 错误；对于D，由对称性
不妨设M 为
C
上支上的任意一点，当点M 为双曲线的上顶点时，
2
2
1
2
|
|
|
| |
| 1
(2
1)(2
1)
2
OM
MF
MF
；当点M 不在双曲线的上顶点时，因为
1
2
π
MOF
MOF
，
则
1
2
cos
cos
MOF
MOF
，
由
余
弦
定
理
得
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
2 |
||
|
OF
OM
MF
OF
OM
MF
OF
OM
OF
OM
，又
1
2
|
| |
| 2
OF
OF
，所以
2
2
|
|
MF
2
2
1
|
|
2 |
|
8
MF
OM
，因为
2
1
|
|
|
| 2
2
MF
MF
a
，则
2
2
1
1
2
(|
|
|
|)
2 |
| |
|
MF
MF
MF
MF
2
2 |
|
8
OM
，即
2
1
2
|
|
|
| |
|
2
OM
MF
MF
．综上，
2
1
2
|
|
|
| |
|
OM
MF
MF
恒为定值2
，
D 正确，故选ABD．
11．对于A，若
2
3n
na
，则{
}
na
是等比数列，由
k
s
t
a
a
a
，得
*
3
log 2
k
s
t
N ，所以{
}
na
不是“ K 数列”，A 错误；对于B，若
2
na
n
，对任意
*
s
t s t N
≤，，
，则
2
2
2
( )
s
t
a a
s
t
st
，
又
*
s t N
，则存在k
s t
，使得
k
s
t
a
a a
，所以数列{
}
na
是“K 数列”，B 正确；对于
C，若
1
na
是“K 数列”，则
0
na
，由
1
1
1
k
s
t
a
a
a
，得
k
s
t
a
a
a
，所以{
}
na
是“K 数
列”， C 正确；对于D，因为{
}
na
各项互不相等，若bR 是“K 数列”{
}
na
中的一项，
数学参考答案·第4 页（共11 页）
可知
2
b 是数列{
}
na
中的项，取
2
b
b
，解得
0
b
或
1
b ，即0 1
，可能符合题意，若
1
b ，
则
2
( 1)
1
，即1
也可能符合题意，对于数列1 0 1
，，是“K 数列”，假设数列{
}
na
还有
其他项
4
1 0 1
a
a
，，，{
}
na
是“K 数列” ，取
4
s
t
，则存在
1k ，使得
1
2
2
4
1 0 1
ka
a
a
a
，，，；取
1
4
s
t
k
，
，则存在
2k ，使得
2
1
3
4
k
k
a
a a
a
1 0 1
，，，
2
a a
，
；；依此类推，可得到
1
n
n
ka
a
，此时数列{
}
na
不满足项数有限，即假设不成立，
可知数列{
}
na
不存在其他项，所以项数n 的最大值为3，故D 正确，故选BCD．
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
题号
12
13
14
答案
1
12
[ 2 2
3 0]
，
【解析】
12．
π
( )
cos
3sin
2cos
3
f x
x
x
x
，当
[0 π]
x
，
时，
π
π
4π
3
3
3
x
，
，当
π
π
3
3
x
时，
即
0
x
时，
max
( )
1
f x
．
13．设编号为n 的蓝色珠子为
n
A ，编号为n 的绿色珠子为
n
B ，当同一个颜色的珠子取出个数
为3 个时，例如：
1
2
3
1
A
A
A
B
，，，
，无论怎么排列均无法满足相同颜色不相邻，舍去．所
以取出的珠子中蓝色和绿色的个数均为2 个，当选取的蓝色和绿色珠子编号为两组相同
编号时，例如：
1
2
1
2
A
A
B
B
，，，
时，当满足相同颜色不相邻时，无法满足相同编号不相邻，
舍去．所以取出的珠子一定为两个蓝色两个绿色珠子，且蓝色和绿色珠子只有一个编号
相同，例如：
1
2
1
3
A
A
B
B
，，，
，所有取出情况如下：
1
2
1
3
A
A
B
B
，，，
、
1
2
2
3
A
A
B
B
，，，
、
1
3
1
2
A
A
B
B
，，，
、
1
3
2
3
A
A
B
B
，，，
、
2
3
1
3
A
A
B
B
，，，
、
2
3
1
2
A
A
B
B
，，，
．即共有
2
1
3
2
C C
6
种取出
方式，排列例如：
1
2
3
1
A B A B 、
1
3
2
1
B A B A ，相同编号只能在最前和最后，一种选取方式下共
有
1
2
C
2
种排列方式，所以总的排列方式有6
2
12
种．
14 ．由
1
2
1
2
(
)
(
)
1
f x
f x
x
x
≤，得
1
2
1
2
(
)
(
)
1 0
f x
f x
x
x
≤
，则
1
1
2
2
1
2
(
)
[ (
)
]
0
f x
x
f x
x
x
x
≤，设函数
( )
( )
g x
f x
x
，则对
1
2
(0
)
x
x
，
，
且
1
2
x
x
都有
1
2
1
2
(
)
(
)
0
g x
g x
x
x
≤成立，所以函数
数学参考答案·第5 页（共11 页）
2
(
1)
ln
2
( )
m x
m
x
g x
x
为减函数，所以
2
1
(
1)
1
( )
(
1)
0
mx
m
x
g x
mx
m
x
x
≤
在(0
)
，
上恒成立，所以
2
( )
(
1)
1 0
G x
mx
m
x
≤在(0
)
，
上恒成立，若
0
m
，
1
0
x
，成立；若
0
m
，则
0
1
0
2
m
m
≤或
2
(
1)
4
0
m
m
≤，解得2 2
3
0
m
≤
；
0
m
时不满足
( )
0
G x ≤在(0
)
，
上恒成立；综上m 的取值范围为[ 2 2
3
0]
，
．
四、解答题（本大题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13 分）
解：（1）由
2
2
2
2
cos
a
c
b
ac
B
，所以
2
2
cos
ac
ac
B
，
………………………………………（3 分）
可得cos
2
2
B
，
又
(0 π)
B
，
，所以
π
4
B
．
………………………（5 分）
（2）因为sin
2 cos
B
A
，所以
1
cos
2
A
，
又
(0 π)
A
，
，所以
π
3
A
．
………………………（7 分）
所以sin
sin(
)
C
A
B
3
2
1
2
6
2
sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
4
A
B
A
B
，
…………………………………（9 分）
由正弦定理sin
sin B
a
b
A
，可得
4
2
2
2
2
3
6
b
，
……………………………………………………………（11 分）
设BC 边上的高为h，所以
sin
4
6
2
6
2
4
h
b
C
．
………………………（13 分）
数学参考答案·第6 页（共11 页）
16．（本小题满分15 分）
解：（1）设A “小王能参加第三个模块”，
所以
1
1
3
( )
1
1
1
2
2
4
P A
.
………………………（4 分）
（2）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3． ………………………（5 分）
1
1
1
(
0)
2
2
4
P X
，
1
2
1
1
1
1
(
1)
C
2
2
2
4
P X
，
1
2
1
1
1
1
1
5
(
2)
C
2
2
2
2
2
16
1
4
P X
，
1
1
3
3
2
2
4
3)
16
(
P X
．
用表格表示X 的分布列，如表所示：
X
0
1
2
3
P
1
4
1
4
5
16
3
16
………………………（13 分）
所以
1
1
5
3
23
(
)
0
1
2
3
4
4
16
16
16
E X
．
………………………（15 分）
17．（本小题满分15 分）
（1）解：令
( )
0
f x
，得
1
e
1
0
e
x
x
x
a
x
a
，∴
，
………………………………（2 分）
即
( )
f x 的零点个数可看作直线y
a
与曲线
1
ex
x
y
的交点个数问题；
令
1
( )
ex
x
h x
，则
2
( )
ex
x
h x
，
当
2
x
时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调递增，
当
2
x
时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调递减，
故
max
2
1
( )
(2)
e
h x
h
，当
1
x 时，( )
0
h x
，当
1
x 时，( )
0
h x
，
数学参考答案·第7 页（共11 页）
当x 时，( )
h x ，当x 时，( )
h x 0.
………………………………………（5 分）
所以当
2
1
0
e
a
时，直线y
a
与曲线
1
ex
x
y
有2 个交点；
当
2e
1
a
或
0
a≤时，直线y
a
与曲线
1
ex
x
y
有1 个交点；
当
2e
1
a
时，直线y
a
与曲线
1
ex
x
y
无交点．
故
2
0
e
1
a
时，函数
( )
f x 的零点个数是2；
2e
1
a
或
0
a≤时，函数
( )
f x 的零点个数是1；
2e
1
a
时，函数
( )
f x 的零点个数是0．
………………………（7 分）
（2）证明：令( )
ln
1
x
x
x
，则
1
1
( )
1
x
x
x
x
，
所以( )x
在(0 1)
，上单调递增，在(1
)
，
上单调递减，
所以
max
( )
(1)
0
x
，所以ln
1
x
x
≤
成立，所以ln(
1)
2(
1)
x
x
x
≤
，
要证
( )
f x 的图象恒在( )
g x 的图象上方，
即证
( )
( )
e
1
ln(
1)
0
x
f x
g x
a
x
x
在(1
)
，
上恒成立，
…………………………（9 分）
又
1
e
a
，只需证1 e
1
ln(
1)
0
e
x
x
x
，
………………………（11 分）
故只需证
1
1
e
1
(
2)
e
2
3
0
x
x
x
x
x
，
………………………（13 分）
令
1
3
(
2
)
ex
F
x
x
，则
1
( )
e
2(
1)
x
F x
x
，
当
(1 1
ln 2)
x
，
时，
( )
0
F x
，
( )
F x 单调递减；
当
(1
ln 2
)
x
，
时，
( )
0
F x
，
( )
F x 单调递增．
故
( )
(1
ln 2)
3
2ln 2
0
F x
F
≥
，
所以当
1
x 时，
( )
0
F x
，所以
( )
( )
f x
g x
恒成立，
所以
( )
f x 的图象恒在( )
g x 的图象上方．
………………………（15 分）
数学参考答案·第8 页（共11 页）
18．（本小题满分17 分）
（1）证明：设AC 的中点为D ，过E 作
1
EF
AC
，垂足为F ，
连接DF
DB
，
，如图2，
因为AB
BC
，所以BD
AC
，
因为
1
1
1
ABC
A B C
是直三棱柱，
所以平面ABC 平面
1
1
ACC A ，
平面ABC 平面
1
1
ACC A
AC
，所以BD 平面
1
1
ACC A ，
…………………（2 分）
因为平面
1
AEC 平面
1
1
ACC A ，平面
1
AEC 平面
1
1
1
ACC A
AC
，
所以EF 平面
1
1
ACC A ，
………………………（4 分）
因此EF
BD
∥
，
又BE∥平面
1
1
ACC A ，平面BEFD 平面
1
1
ACC A
DF
，所以BE
DF
∥
，
因此BDFE 是平行四边形，所以DF
BE
，
………………………（6 分）
又
1
CC
DF
∥
，因为D 是AC 的中点，所以F 是
1
AC 的中点，
于是有
1
1
2
DF
CC
，所以
1
1
1
1
2
2
BE
CC
BB
，
所以E 是棱
1
BB 中点．
………………………（8 分）
（2）解：（i）由（1）知EF 平面
1
1
ACC A ，则
1
1
1
1 1
1
1
3
A
E
A
AEC
AC
AC A
V
V
S
EF
△
，
设
2 (0
2)
AC
a
a
，则CD
a
，
2
4
EF
BD
a
，
1 1
1
2
6
6
2
AC A
S
a
a
△
，
………………………（10 分）
所以
1
1
1 1
2
2
2
1
4
6
4
2
4
3
2
A
A
E
E
A
C
AC
a
a
a
a
V
V
≤
，
当且仅当
2
4
a
a
时等号成立，即三棱锥
1
1
A
AEC
的体积最大，
此时，
2
a
，
2 2
AC
． ……………………（12 分）
（ii）由（i）知AB
BC
，
故以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，
1
BB 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图3 所示：
图2
图3
数学参考答案·第9 页（共11 页）
则有
(0
)
2 0
A ，，
，
(2
)
0 0
C
，，
，
(0
)
0 3
E
，，
，
1(2
)
0 6
C
，，
，
(0
)
2
3
EA
，，
∴
，
(2
)
0
3
EC
，，
，
1
)
0 3
(2
EC
，，，
………………………………（14 分）
设平面AEC 的一个法向量为
1
1
1
(
)
x
y
z
n
，，
，
则有
1
1
1
1
2
3
0
2
3
0
n
y
EA
z
n EC
x
z
，
，
取
)
3 2
(3
n
，，
，
设平面
1
AEC 的一个法向量为
2
2
2
(
)
m
x
y
z
，，
，
则有
1
2
2
2
2
2
3
0
2
3
0
m
y
E
z
m EC
x
z
A
，
，
取
( 3
)
3 2
m
，，
，
………………………（16 分）
设平面
1
AEC 与平面AEC 的夹角为，
|
|
cos
| cos
|
22
|
| |
|
4
2
11
n m
n m
n
m
，
，
故平面
1
AEC 与平面AEC 的夹角的余弦值为2
11 ．
…………………………………（17 分）
19．（本小题满分17 分）
解：（1）因为点M 到点1
0
2
，
的距离和点M 到直线
1
0
2
x
的距离相等，
所以动点M 的轨迹是以点1
0
2
，
为焦点，直线
1
2
x
为准线的抛物线．
设E 的方程为
2
2
y
px
，则
1
2
2
p
，即
1
p ．
所以E 的方程为
2
2
y
x
．
………………………（3 分）
（2）（i）由题意知直线AC 的斜率不为0，如图4，
故设直线AC 方程为x
my
n
，
设
2
1
1
2
3
3
(
)
(
)
(
)
A x
y
B x
y
C x
y
，
，
，
，
，
，
由方程组
2
2
y
x
x
my
n
，
，
消去x，得
2
2
2
0
y
my
n
，
图4
数学参考答案·第10 页（共11 页）
则
2
1
3
1
3
4
8
0
2
2
m
n
y
y
m
y y
n
，
，
，
……………………………………（5 分）
因为四边形ABCD 是平行四边形，
则
1
2
1
2
3
3
1
3
2
1
2
1
2
(
)
2
2
2
2
2
y
y
y
m
x
x
x
m y
y
n
m
n
，
，即
2
(2
2
2 2
1)
B
m
n
m
，
，
………………………（7 分）
代入
2
2
y
x
中得
2
2
(2
1)
2(2
2
2)
m
m
n
，整理得
5
4
n
m
，
则直线AC ：
5
4
(
1)
5
4
x
my
m
m y
，
所以直线AC 过定点5
4
1
，
．
………………………（9 分）
（ii）因为E 的方程为
2
2
y
x
，所以
1
1
2
C
，
，如图5，
设
2
1
1
2
y
A
y
，
，
2
2
2
2
y
B
y
，
，不妨设
1
2
y
y
，
因为直线CB 和直线CA 关于直线CF 对称，
所以直线CA 与CB 的斜率互为相反数，
所以
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
y
y
y
y
，
即
1
2
1
1
2
2
1
1
(
1)(
1)
(
1)(
1)
y
y
y
y
y
y
，
整理得
1
2
2
y
y
，
所以
2
1
2
2
2
1
1
2
2
AB
y
y
k
y
y
，
………………………（11 分）
则直线AB ：
1
2
1
2
y
y
y
x
，即
1
1
2
0
2
y
x
y
y
，
点
1
1
2
C
，
到直线AB 的距离为
1
2
1
3
2
2
2
y
y
d
，
图5
数学参考答案·第11 页（共11 页）
1
2
1
|
|
2(
)
2 2(
1)
AB
y
y
y
，
所以
1
1
1
1
2
1
2
3
2
2 2(
1) | (
1)
4 | (
)
2
2
1
y
y
S
y
y
y
，………………………（14 分）
由
1
2
1
y
y
，
1
2
2
y
y
，可得
1
1
3
y
，
令
1
1
y
，则0
2
，
所以
3
2
|
4 |
4
S
，
则
2
3
4
S
，令
0
S
，得
2 3
3
，
当
2 3
0
3
，
时，S 关于单调递增；当
2 3
2
3
，
时，S 关于单调递减，
所以当
2 3
3
时，S 取得最大值16 3
9
，
因此，四边形ABCD 面积的最大值为16 3
9
．
………………………（17 分）
