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武汉二中 2025 届高三年级高考模拟试题
数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B B A B C C B BD ACD ABD
3.【详解】将正弦曲线 向左平移 个单位得到曲线 的图象；
再将曲线 上的每一点的横坐标变为原来的 得到曲线 的图象；
最后将曲线 上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的 的图象.
由于曲线 恰好是函数 的图象.
在区间 上， ， ， .
故 在区间 上的值域是 .故选：B.
4.【详解】先将卡片分为符合条件的三份，由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，
若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将 ， ， ， ， ， 这六个数用两个隔板隔开，在五
个空位插上两个隔板，共 种情况，再对应到三个人有 种情况，则共有 种法.
故选：A．
5. 【详解】充分性：若 ， ，此时 ，而 ，满足
，即存在 ，使得 ，但是 不成立.故充分性不成立；
必要性：若 ，则 ，此时 .故必要性满足.故
选：B
6.【详解】如图，把几何体补全为长方体，则 ，
，所以该包装盒的容积为
，故选：C
7.【详解】设左焦点为 ，则 ， ， ，
，在 中用勾股定理 ，化简得 ，
所以 所以 ，所以 .故选:C.
8.【详解】因为 是奇函数，所以 为偶函数，
所以 ，即 ，故 的图象关于直线 对
称，
由 的图象关于直线 对称得 ，
即 ，即 ，所以 关于 对称，
所以 ，所以 ，故 是奇函数，所以B选项正确；
因为 ，又 ，所以 ，
即 ，所以 ，故C选项错误；
不能得到 的奇偶性与 的值，故A，D选项错误.故选：B
学科网（北京）股份有限公司9．【详解】对于选项A，因为 ，所以事件 与 不互斥，故A错误；
对于选项B， ，
，故B正确；
对于选项C， 交集为 ，则 ，故C错误；
对于选项D， ，故D正确.故选：BD.
10.【详解】对于A，因为平面 与棱 交于点 ，所以 四点共面，
在正方体 中，由平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
同理可得 ，故四边形 一定是平行四边形，故A正确
对于B，在正方体 中， 面 ，因为 面 ，所以 ，
若 是正方形， 有 ， ，若 不重合，则 与 矛盾，
若 重合，则 不成立，故B错误；
对于C，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，
平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
同理： ，又 平面 ， 平面
， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所
以平面 平面 ，故C正确.
对于D,设M坐标为（1,0,m），l与直线 和 分
别相交与N,P
学科网（北京）股份有限公司Q点坐标（0,q,1），P点坐标为（p,1,0），且
则有： 解得 ，此时 三点共线，符合
要求故D正确.
另解：设平面 与 交于 ， 交
于 ，则 平面 ，又
平面
故 与 必相交，故直线 满足要求.
故选：ACD.
11．【详解】因为 ， ，所以 ，所以 ，故A正确；
因为 ， ，所以 ，故B正确；
因为 ，故 ，
故 ，而 ，
故
，
同理 ，故 ，故C错误；
对于D，因为 ，故将 顺时针旋转 后仍为函数图像，
故 图象上的任意一点切线的斜率大于或等于 ，
故 即 在 上恒成立，故 ，故D成立.故选：ABD.
12．210 13．0.25 14.
13.【详解】由题知 ，可得 ．
又 ，
由 ，可得 ．故 .故答案为：0.25
14.【详解】因为 ，故 ，故 ，故 ，所以 ，
延长 至 ，使得 ，连接 ，则 为 的垂直平分
学科网（北京）股份有限公司线，
故 ，故 ，当且仅当 共线时等号成立，
而 ，故 的最小值为 ，故答案为：
15.【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）因为 是 与 的等差中项，所以 ，
所以 ，因为数列 的各项均为正数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是公差为1，首项为 的等差数列；……………………………………（6分）
（2）因为数列 是公差为1，首项为 的等差数列，所以 ，
所以 ，当 时， ，当 时， ，所以 ,
所以 ，
……………………………………（13
分）
16．【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1） 取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO，
因为 为等腰直角三角形，故 ，故 ，
在 中， ， ，
在 中， ， ， ， ，
， ，且EO、 面ABC，
面ABC，又 面BCD， 面 面 ………………………………………………（7
分）
（2）由（1）得 面ABC， ，所以可以以点 为坐标原点，过点 作平行于 的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面BCD的法向量 ，
，
设平面ABD的法向量 ，
学科网（北京）股份有限公司， ， ， ，
， ， 二面角 的正弦值为 ………………………………………（15
分）
17．【答案】(1) (2)单调递减区间为 单调递增区间为 (3)
【详解】（1）当 时， ， ，切点为 ，
，∴ ，∴切线方程为： ………………………………………………（3
分）
（2）当 时， ，
令 ， ，令 ，得到 ，
∴ 时， ，∴ 在 单调递增，即 在 单调递增；
∴ 时， ，∴ 在 单调递减，即 在 单调递减；
∵ ，且 时， 恒成立，
∴ 变化时， 的变化情况如下表：
0
极小
值
∴ 的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ，………………………………………（8分）
（3） ，
∵ 时， ， ，∴ ，若 ，则 恒成立，
∵ 在 上存在零点，∴ ；
，由（2）可知 在 单调递增，在 单调递减.
∴ ，∵ ，∴ ，
①若 ，即 ， 时， ， ， ， ，
∴ ， ，∴ 在 单调递增，∴ ，∴ 无零点.
②若 ，即 ， 时，∵ ， 使得 ，当 时，
，
∴ 变化时， 的变化情况如下表：
0
极小值
∴ 在 上单调递减，∴ ，∴ 在 无零点.
学科网（北京）股份有限公司， ，
， 单调递增，∴ ，∴
， ，∴ ，∴
∴ ，∴ 在 上存在零点.
综上所述，若 在 上存在零点，实数 的取值范围为 .………………………………（15
分）
18．【答案】(1) (2)证明见解析 (3) ，证明见解析
【详解】（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有 ， ，
又点 在椭圆 上，有 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .
…………………………………………………………………………………………………（3分）
（2）要证 ，即证 ，设 ，
当直线 斜率不存在时，由椭圆对称性可知 成立，
当直线 斜率存在时，设斜率为 ，则 方程为 ，
由 得 ，
，
由 得 ，
，
得 ， ，
， ，则有 .
所以 与 等底等高，有 .………………………………………………………（10
分）
（3）由（2）可知 ，同理有 ，
由 ，可得 ，则有 ，
设直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，设 ，
学科网（北京）股份有限公司由 得 ，
，
，
，
所以 ，
即 ，
化简得 ，即 ，由题意 ，所以 ，
所以 .………………………………………………………………………………………………（17
分）
19．【答案】(1)在第二局与甲比赛 p最大，判断过程见解析
(2)（i）分布列见解析， ； （ii）证明见解析
【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛p最大，
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ， ， ，记 ， ， ，
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为 ，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则 ，
同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率 ，
该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率 ，
因为 ，所以该棋手在第二局与甲比赛 p最大.……………………………………………（5
分）
（2）（ⅰ）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则 ，
由题意得X的所有可能取值为：2，4，5，
，
，
，
所以X的分布列为：
2 4 5
所以X的期望为：
，
由 ，得 ，当且仅当 取等号，则 ，
学科网（北京）股份有限公司因此 ，
所以 的最大值为 …………………………………………………………………………………（11
分）
（ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”.
由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数，
由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”，事件BB表示
“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的
概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，
所以
，
因此 ，得 ，而 ，
所以 …………………………………………（17
分）
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