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佩佩教育 2025 届 2 月湖南高三联考
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.设复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A.射线 上 B.射线 上
C.直线 上 D.直线 上
3.已知向量 ，向量 与向量 的夹角为 ，则 的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.1
4.设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
5.数列 中， ，若 是数列 的前 项积，则 的最大值（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数 的最小正周期为 ，且函数 为奇函数，则当
时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
学科网（北京）股份有限公司7.设函数 ，当 时，方程 有且只有一个实根，
则 （ ）
A.2 B.1 C. D.
8.在四面体 中， ，且 与 所成的角为 .若该四面体
的体积为 ，则它的外接球半径的最小值为（ ）
A. B.2 C.3 D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现次品的件
数的一组样本数据： ，则（ ）
A.极差是4 B.众数等于平均数
C.方差是2 D.第25百分位数为12
10.设点 是曲线 上一点，曲线 在点 处的切线为 ，则（ ）
A. ，函数 为奇函数
B. ，函数 有且仅有一个极小值点
C.当 时，直线 与两坐标轴围成的图形面积为8
D.当 时，直线 与直线 和 所围成的图形面积为8
11.某学习小组用曲线： 和抛物线 部分曲线围
成了一个封闭的“心形线”，过 焦点 的直线 交 （包含边界点）于 两点，点 是坐标原点，
点 是 或 上的动点，下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D. 的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 ，若 ，则 __________.
13.已知双曲线 的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲
线 的一条渐近线交于 两点.若 ，则 的离心率为__________.
14.已知 ，且 ，则 的最大值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
记 的内角 所对的边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
16.（本小题满分15分）
甲、乙两人进行 知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，
其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得 分，未抢到题得0分，最后累
计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为 和 .求：
（1）甲在每轮比赛中获胜的概率；
（2）甲前二轮累计得分恰为4分的概率.
17.（本小题满分15分）
学科网（北京）股份有限公司如图，在多面体 中， 的中点为 .
（1）求证： 四点共面；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知函数 和 的图象在 处有相同的切线.
（1）求实数 和 的值；
（2）求函数 的极值；
（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值集合.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆 经过点 ，其右顶点为 ，上顶点为 为坐标原点，且
离心率为 .
（1）设 在点 处的切线 ，其斜率为 的斜率为 ，求 的值；
（2）过 在第一象限的点 作椭圆 的切线，分别与 轴， 轴交于点 ，且 为线段 的中
点，记以点 为中心， 轴， 轴为对称轴，且过点 的椭圆为 ，依此类推，， ，过椭圆 在
第一象限的点 作椭圆 的切线，分别与 轴， 轴交于点 ， ，且 为线段 的中点，
学科网（北京）股份有限公司记以点 为中心， 轴， 轴为对称轴，且过点 ， 的椭圆为 ，由此得到一系列椭圆
.
（i）求 的方程；
（ii）过点 作直线 与椭圆 分别交于 ，求证：
.
（附：若 为椭圆 上一点，则椭圆在点 处的切线方程为： ）
佩佩教育·2025 届 2 月湖南高三联考卷
数学参考答案
1.C 【解析】因为 ，由 ，解得 ，则 ，所以
，故选C.
2.A 【解析】设 ，故选A.
3.B 【解析】设 ，又 ，所以 ，
所以当 时， ，故选B.
4.D 【解析】因为 ，其中 ，
所以 ，所以 ，故选D.
学科网（北京）股份有限公司5.A 【解析】依题意得， ，所以 ，所以
，所以当 或8时， 取得最大值为 ，故选
A.
6.B 【解析】由已知函数 的最小正周期为 ，得 .
所以 ，其中 ，且 ，
又由 为奇函数知函数 图象的一个对称中心为 ，
则有 ，
解得 ，所以 ，
所以 ，即 .
画出 与 图象如图所示：由图可知，曲线 .
与交点个数为4，故选B.
7.D 【解析】由 得， .令 ，则原问题
等价于 有且仅有一个零点.因为 ，所以 为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即 ，解得 .
学科网（北京）股份有限公司当 时，则 .因为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意，故选
D.
8.B 【解析】依题意，可将四面体 补形为如图所示的直三棱柱 .
因为 与 所成的角为 ，所以 或 .设 ，外接球半径记为 ，外
接球的球心如图点 .易知 平面 ，所以点 到平面 的距离等于点 到平面
的距离，于是 ，所以 .
在 中， ，
在 中，由余弦定理得 ，所以当 时，外接球的半径
会更小，此时 ，所以 ，所以
，故它的外接球半径的最小值为2，故选B.
9.ABD 【解析】数据从小到大排列为： .
对于选项A，该组数据的极差为 ，故A正确；
对于选项B，众数为13，平均数为 ，所以众数与平均数相等，故B正
确；
学科网（北京）股份有限公司对于选项C，方差 ，
故C错误；
对于选项D，由 ，则第25百分位数为12，故D正确，故选ABD.
10.ACD 【解析】对于选项A，因为 ，故A正确；
对于选项B，当 时， 无极小值和极大值，故B错误；
对于选项C，当 时， ，设 ，则切线为 的方程为
，它与两坐标轴的交点分别为 和 ，它们围成的图形面积
，故C正确；
对于选项D，当 时， .设 ，则切线为 的方程为
，它与直线 的交点为 ，它与直线 的交点为
，它们围成的图形面积 . ，故D正确，故选ACD.
11.ACD 【解析】 可变形为 ，表示以 为圆
心，2为半径的圆的右半部分， 可变形为 ，表示以
为圆心，2为半径的圆的右半部分.
对于A选项，抛物线 过点 ，解得 ，故A正确；
对于B选项，当点 三点共线时， ，故B选项错误；
对于C选项，因为 是抛物线的焦点弦，所以当 为通径时， ；如图，直线 的方程为
学科网（北京）股份有限公司，代入抛物线 并整理得 ，
所以 ，此时弦 最长，
且 ，故C正确；
对于D选项，由对称性不妨设 ，当 在 点时， ，
所以 ，显然离 最远的点 在 上，
且 .
联立 ，整理得 ，则 ，
则 ，
所以 ，
设 ，易得 在 上单调递增，所以 的最大值为
，故D正确，故选ACD.
12. 【解析】由 及 ，得 ，解得
学科网（北京）股份有限公司.
13. 【解析】如图所示，设 是线段 之中点.
由题意可知 ，
所以 .
设双曲线 的一条渐近线 的倾斜角为 ，
则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 .
14. 【解析】因为 ，所以
，
即 ，即 .
学科网（北京）股份有限公司又 ，等号当且仅当 时成立，所以 的最大值
是 .
15.【解析】（1）由 ，及正弦定理得 ，
因为 为三角形内角，故 ，故得 ，
又 为三角形内角， 或 .
（2）由
得 ，
又 ，所以 .
由（1）得 ，故
而 为三角形内角， .
由正弦定理 ，得 ，
故 的面积 .
16.【解析】（1）设甲在一轮比赛中获胜为事件 ，甲在一轮比赛中共抢到 道题为事件
，则
，
学科网（北京）股份有限公司又 ，
，
所以
.
（2）设甲前二轮累计得分恰为4分的事件为 ，甲在一轮比赛中得 分的事件为 ，则
，
，
所以
.
17.【解析】（1）连接 .
为 中点， .
又 为 中点， ，
平面 ，
平面 .
同理可证 平面 .
又平面 平面 ，
故 四点共面.
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知 是二面角 的平面角，
设 .
又由 得 ，
又 ，
又 平面 平面 .
如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，则
，
.
设平面 的法向量为 ，
则 即
取 ，得 .
设直线 与平面 所成角为 ，
由题设知 ，即 ，
平方化简整理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 ，所以 .
故所求二面角 的余弦值为 .
18.【解析】（1） .
据题意有： ，
联立解得 .
（2）由（1）知， .
所以函数 且 ，
所以 ，因此函数 在 和 单
调递减，在 和 单调递增，
其大致图象如右，故函数 只有唯一的极大值 ，无极小值
学科网（北京）股份有限公司（3）当 时，不等式 恒成立等价于不等式 恒成立，
显然有 .
令 ，则 恒成立.
而 .
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以，当 时， ，符合题意；
当 时，记 ，则抛物线 的开口向上，对称
轴为 ，
又 ，所以，当 时， ，从而 ，
所以 在 上单调递减，故当 时， ，不符合题意.
所以 .
再令 ，则 恒成立.
而 .
当 时， ，所以 在 上单调递减，所以，当 时，
，符合题意.
学科网（北京）股份有限公司当 时，记 ，则抛物线 的开口向下，对称轴为 ，又
，所以，当 时， ，从而 ，所以 在
上单调递增，故当 时 ，不符合题意.
综上可知实数 的取值集合为 .
19.【解析】（1）依得， ，又由 得， ，
解得 ，故梢圆 方程为 .
又梢圆 在点 处的切线 方程为 ，则 .
又 ，因此 .
（2）（i）设 ，则 ，代入 的楠圆方程得： .
又直线 的斜率 ，而 .
则由（1）可知 ，可知 .
因此 ，即 ，可得 ，
又 ，因此 .
同理可知： ，即 .
故 .
学科网（北京）股份有限公司（ii）①若直线 的斜率不为0时，则设直线 ，与椭圆 联
立可知， ，可得 ，即
.
因此 .
从而
.
.
②若直线 的斜率为0，则 ，
故 .
学科网（北京）股份有限公司
