文档内容
恩施州 2026 届高三第一次质量监测暨 9 月起点考试
数学
本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设全集 ， ， ，则 （ ）
A B. C. D.
2. 已知 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
3. 复数 满足 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
4. 根据分类变量 与 的观测数据，计算得到 ，依据小概率值 （ ）的独立
性检验，则（ ）
A. 变量 与 不独立
B 变量 与 独立
C. 变量 与 不独立，这个结论犯错误 概率不超过 0.1
D. 变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.1
5. 将函数 的图象向左平移 （ ）个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则 的最小
第 1页/共 5页值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，当 时， 的最小值是 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 抛物线 与直线 交于 两点， 坐标原点，且满足 ，则
（ ）
A. B. 1 C. D.
8. 已知 a，b 为正实数，且 ，若 恒成立，则 m 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分.
9. 已知 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当 B 最大时， 成立
C. 若 ，则
D. 若 ，则
10. 正方体 中， ， 是棱 上的动点（含端点），则（ ）
A. 的最小值为
B. 若 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为
C. 记四棱锥 外接球的球心为 ，则直线 与平面 所成角的正切值的取值范围为
第 2页/共 5页D. 若 ， 分别是棱 ， 的中点，则 在 上的投影向量的模长为定值
11. 已知函数 ，方程 有三个不同的实根 ， ， ，则（ ）
A. 方程 有两个不同的实根
B.
C. 是方程 的一个根
D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 等差数列 的公差为 2，记前 n 项的和为 ，若 ，则 __________.
13. 平面直角坐标系中，直线 与 y 轴和曲线 的交点分别为 ，若曲线 在 点处
的切线交 轴于 点，则 __________.
14. 已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，直线 与 C
的右支交于 A，B 两点，P，Q 分别为 ， 的内心，若 ，则 C 的离心率为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直三棱柱 中， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
16. 如图，正方形 ABCD 的边长为 ，取正方形 ABCD 各边的中点 E，F，G，H，作第 2 个正方形 EFGH，
第 3页/共 5页其边长记为 ；然后再取正方形 EFGH 各边的中点 I，J，K，L，作第 3 个正方形 IJKL，其边长记为 ；
依此方法一直继续下去，则记第 个正方形的边长为 .已知 ， .
（1）求 ， ；
（2）记第 n 个正方形区域未被第 个正方形区域覆盖的面积为 ，求使得 成立
的 n 的最小值.
17 已知函数 ， .
（1）判断函数 的单调性；
（2）若 ，证明： ；
（3）证明： （ ， ）.
18. 已知一个大盒子内装有 6 个黄乒乓球， 个白乒乓球.
（1）现甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两
人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回，且甲乙摸球相互独立.已知乙在第 1 次
恰好摸到白乒乓球的概率为 .
（i）求 x 的值；
（ii）记 表示游戏结束时甲摸球的次数，求 的分布列和期望.
（2）整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻.记不超过
3 个黄乒乓球排在一起的概率为 p，若 ，求 x 的最小值.
第 4页/共 5页19. 已知 O 为坐标原点，椭圆 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 交 于 A，B 两点，P 是
上一动点，且 的面积最大值为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 C 是 上的另一点，满足四边形 OACB 为平行四边形.
（i）求平行四边形 OACB 的面积；
（ii）设 C 关于 O 的对称点为 D，求证：A，B，C，D 四点共圆.
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