湖南省雅礼中学2025届高三月考（六）数学+答案_2025年2月_250206湖南省长沙市雅礼中学2025届高三月考试卷（六）

雅礼中学 2025届高三月考试卷(六)
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目的.
1.设集合P=y∣y=ex+1  ,M= x∣y=log 2x-2    ，则集合M与集合P的关系是 ( )
A. M=P B. P∈M C. M⊆P D. P⊆M
2.抛物线x2=-2 2y的焦点坐标为 ( )
A. - 2,0 
2
B. - ,0
2
 C. 0,- 2 
2
D. 0,-
2


3.已知向量a=1,2 

,b=2,-2 

,c=m,-1 
  
，若c∥2a+b  ，则m= ( )
1 1
A. -2 B. -1 C. - D.
2 2
4.已知等差数列a
n
 的前n项和为S ，且S =0,S =2S +18，则a = ( )
n 10 6 3 1
A. 1 B. -9 C. 10 D. -10
5.已知sinα-β  =2cosα+β  ,tanα-β 
1
= ，则tanα-tanβ= ( )
2
3 5 4 6
A. B. C. D.
5 3 5 5
6.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为 ( )
1 2 4 5
A. B. C. D.
3 3 9 9
7.已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为16π，上下底面面积之比为1:9，则该球
的表面积为 ( )
A. 12π B. 14π C. 10π D. 18π
8.已知函数fx 
xlnx
=
 ,x>0, 
 若函数gx
-xex,x<0,
 =fx  -x2-kx  恰有3个零点，则实数k的取值范围为
( )
A. -∞,-1  ∪1,+∞  B. 1,+∞ 
C. -∞,-1  ∪1,+∞  D. -∞,-1  ∪1,+∞ 
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于(1- x)10的说法，正确的是 ( )
A. 展开式的各二项式系数之和是1024 B. 展开式各项系数之和是1024
C. 展开式的第5项的二项式系数最大 D. 展开式的第3项为45x
10.已知函数fx 
π
=asinx+cosx的图象关于直线x= 对称，下列结论正确的是 ( )
3
【数学试卷 第1页（共13页）】π
A. fx-
6
 是奇函数
π
B. f
4

6+ 2
=
4
C. 若fx  在-m,m 
π
上单调递增，则0<m≤
3
D. fx 
π
的图象与直线y=2x+ 只有一个公共点
3
x2 y2
11.设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
 的左、右支分别交于A,B两点，F
是双曲线C的焦点，若△ABF的面积大于 6a2a2+b2  ，则双曲线C的离心率的取值可以是 ( )
3 5
A. B. 5 C. D. 3
2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
2+i
12.已知复数z= ，其中i为虚数单位，则z
i
 = .
a2
13.已知log b+4loga=4，则 的值为 .
a b 2b
14.如图，在正方体ABCD-ABCD 中，延长DC至E使得CE=DC，点P在平面ABD 上，过点D作DH
1 1 1 1 1 1
⊥PE于点H，满足PH=3,HE=15，则AP= .
1
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明
过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知数列a
n
 和b
n

11 1 1
满足a a =a +2,a = , =b - .
n n+1 n 1 7 a -2 n 3
n
(1)证明：数列b
n
 是等比数列；
1
(2)设x =
n log 4b n  ⋅log 4b n+1 
，求数列x
n
 的前n项和S .
n
【数学试卷 第2页（共13页）】16.(本小题满分15分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cos2C+cos2B-cos2A=1-sinCsinB.
(1)求角A的大小；
3
(2)若点D是边BC中点，且csin∠BAD+bsin∠CAD= bc，求△ABC面积的最大值.
2
17.(本小题满分15分)
2π
如图1，在△ABC中，AB=BC=2,∠B= ,E为AC的中点，现将△ABC及其内部以边AB为轴进行
3
旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O为点C在旋转过程中形成的圆的圆心，点C为圆O上任意一
点.
(1)求新的几何体的体积；
(2)记EC与底面OCC所成角为θ，求sinθ的取值范围；
π
(3)当∠COC= 时，求点A关于平面BEC的对称点M到平面BCC的距离.
2
【数学试卷 第3页（共13页）】18.(本小题满分17分)
有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：n
=2时，共有4朵花，以1,2,3,4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1，2所示.
(1)当n=3时，求满足要求的绑缎带方法总数；
1
(2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如n=2时，出现图1和图2所示方法的概率均为 .
2
记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起.
(i)当n=4时，求Y的分布列和期望；
(ii)已知：对任意随机变量X ii=1,2,⋯,m,m∈N* 
m
，有EX i
i=1

m
=EX i
i=1
 ..记满足条件的绑缎带方法
总数为a ,Y的期望为E .求E ⋅E ⋅⋯⋅E (用n和a 表示).
2n 2n 2 4 2n 2n
19.(本小题满分17分)
已知函数fx  =ax3+bx2+cx，其中a,b,c是常数.
(1)当a=1,b=0,c=-1时，求y=fx  单调性及对称中心；
(2)当a=c=0,b=1时，正方形ABCD有三个顶点在函数y=fx  的图象上，求正方形ABCD面积的最
小值；
(3)当a=1,b=0时，函数y=fx  的图象上有且仅有一个内接正方形，求c的值与正方形的边长.
【数学试卷 第4页（共13页）】雅礼中学2025届高三月考试卷(六)
数学
第I卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A B C D A A AD ACD BC
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目的.
1.C
【解析】由y=ex+1,x∈R，可得ex>0，则y=ex+1>1，故P=1,+∞  ，又由y=log x-2
2
 有意
义，可得x-2>0，即得x>2，故M=2,+∞  ，则显然有M⊆P.
2.D
p 2
【解析】因为抛物线x2=-2 2y的焦点在y轴上，且p= 2，所以- =- ，所以抛物线x2=
2 2
2
-2 2y的焦点坐标为0,-
2
 .
3.A

【解析】因为a=1,2 

,b=2,-2 
 
，所以2a+b=4,2 

，又c=m,-1 
  
,c∥2a+b  ，所以2m+4=
0，解得m=-2.
4.B
S
【解析】根据等差数列性质可知数列  n
 n
 也为等差数列，设其公差为d，首项为a ,∵S =2S +18，两边
1 6 3
S S S
同除以6得： 6 = 3 +3,∴3d=3，解得d=1，又S =0，即 10 =a +9d=0，解得a =-9.
6 3 10 10 1 1
5.C
【解析】因为sinα-β  =2cosα+β  ，所以sinαcosβ-cosαsinβ=2cosαcosβ-sinαsinβ  ，两边同
tanα-tanβ
除cosαcosβ，得到tanα-tanβ=2-2tanα⋅tanβ，即tanα⋅tanβ=1- .
2
tanα-β 
tanα-tanβ tanα-tanβ 1 4
= = = ,∴tanα-tanβ= .
1+tanα⋅tanβ tanα-tanβ 2 5
1+1-
2
6.D
【解析】从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数可得基本事件为1,2,3  ,1,2,4  ,1,2,5  ,1,3,4  ，
1,3,5  ,1,4,5  ,2,3,4  ,2,3,5  ,2,4,5  ,3,4,5  ,10种情况，若这三个数之积为偶数有1,2,3  ,
1,2,4  ,1,2,5  ,1,3,4  ,1,4,5  ,2,3,4  ,2,3,5  ,2,4,5  ,3,4,5  ,9种情况，它们之和大于8共有
1,4,5  ,2,3,4  ,2,3,5  ,2,4,5  ,3,4,5  ,5种情况，从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数
5
之积为偶数，则它们之和大于8的概率为P= .
9
7.A
【解析】设圆台的上，下底面半径分别为r 和r ，母线长为l，内切球的半径为R，因为上下底面面积之比为1:
1 2
πr2 1
9，所以 1 = ，得r =3r ，所以圆台的侧面积为πr +r
πr2 9 2 1 1 2
2
 l=4πr l=16π，得r l=4，因为球与圆台
1 1
的上下底面和侧面均相切，所以l=r +r =4r ，所以4r2=4，得r =1，所以r =3,l=4，所以(2R)2=
1 2 1 1 1 2
【数学试卷 第5页（共13页）】r +r
1 2
 2-r -r
2 1
 2=16-4=12，得R2=3，所以该球的表面积为4πR2=12π.
8.A
fx
【解析】由题意得，方程

x 
=x-k  有三个不相等的实数根.
fx
而y=

x 
lnx
=
 ,x>0, 

ex,x<0,
fx
分别作出函数y=

x 
和y=x-k  的图象，
当k=1时，y=x-1  ；
fx
当x≥1时，y=

x 
1
=lnx，对其求导得y= ，
x
所以 y  =1，所以曲线y=lnx在点1,0
x=1
 处的切线方程为y=x-1，如图，直线y=x-1与曲线y=
lnx在点1,0  相切.所以实数k的取值范围为-∞,-1  ∪1,+∞  .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AD
【解析】(1- x)10的展开式的各二项式系数之和是210=1024，A正确；
令 x=1，得(1- x)10的展开式的各项系数之和为0，B错误；
(1- x)10的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误；
(1- x)10的展开式的第3项为C2(- x)2=45x，D正确.
10
10.ACD
【解析】因为fx 
π 2π
的图象关于直线x= 对称，所以f
3 3
 =f0 
3 1
，即 a- =1，解得a= 3，所
2 2
以fx 
π
= 3sinx+cosx=2sinx+
6

π π
，验证：当x= 时，f
3 3
 =2,fx  取最大值，故fx  的
π
图象关于直线x= 对称，满足题意；
3
π
fx-
6
 =2sinx,x∈R，由2sin-x 
π
=-2sinx，则fx-
6
 是奇函数，故A正确；
π
由f
4

π π 2
= 3sin +cos =  3+1
4 4 2

6+ 2
= ，故B错误；
2
fx 
π
=2sinx+
6

π π π 2π π
，由- +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,k∈Z，解得- +2kπ≤x≤ +2kπ,
2 6 2 3 3
2π π
k∈Z，当k=0时，- ≤x≤ ，由fx
3 3
 在-m,m 
2π π
上单调递增，则- ≤-m<m≤ ，解得
3 3
【数学试卷 第6页（共13页）】π
0<m≤ ，故C正确；
3
fx 
π
=2sinx+
6

π π
的图象与直线y=2x+ 均过点- ,0
3 6
 ，由f x 
π
=2cosx+
6
 ，则
π
f-
6
 =2cos0=2，
π
故直线y=2x+
6

π
即y=2x+ 与曲线fx
3

π
=2sinx+
6
 相切，
如图可知fx 
π
的图象与直线y=2x+ 有且仅有一个公共点，故D正确.
3
11.BC
y= 3x,

【解析】不妨设F是双曲线C的左焦点，如图，由题可知，直线AB的方程为y= 3x，由 x2 y2 得
- =1,
a2 b2
ab
x=± ，且b2>3a2，
b2-3a2
3ab 3ab
所以y =- ,y = ，
A B
b2-3a2 b2-3a2
1
因为S = ⋅OF
△ABF 2
 ⋅y -y
B A

1 2 3ab 3abc
= ⋅c⋅ = ，
2 b2-3a2 b2-3a2
且S > 6a2a2+b2
△ABF

3abc
= 6ac，所以 > 6ac，
b2-3a2
b
所以 > 2，解得1<e< 7，又因为b2>3a2，
b2-3a2
解得e>2，所以2<e< 7.
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 5
2+i i2+i
【解析】z= =
i

=1-2i，故z
i2
 = 12+(-2)2= 5.
【数学试卷 第7页（共13页）】1
13.
2
4
【解析】因为log b+4log a=4，所以log b+ =4，
a b a log b
a
可得log b
a
 2-4log b+4=0，即log b-2
a a

a2 a2 1
2=0，所以log b=2，即a2=b，所以 = = .
a 2b 2a2 2
14.3 6
【解析】在平面PDE中，以C为圆心，DC为半径作圆，则点H在该圆上.设正方体的边长为a，根据割线定
理知PH⋅PE=PC+a  PC-a  =PC2-a2(或根据三角形相似)，则PC2=54+a2.连结A C，与平
1
面AB D 相交于点G，则G为正△AB D 的重心，且A C⊥平面AB D ，所以A G⊥GP,A G=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3 2 2 3 1
A C= a,GC= A C= a.在Rt△CGP中，GP2=PC2-GC2=54- a2，在
3 1 3 3 1 3 3
1 1
Rt△A GP中，A P2=A G2+GP2= a2+54- a2
1 1 1 3 3
 =54，则A P=3 6.
1
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明
过程或演算步骤.
a +2 1 1
15.【解析】(1)由题意知a = n ,b = + ，
n+1 a n a -2 3
n n
1 1 1 1 a 1 2 1 1 1
所以 + = + = n + = -1+ =-2 +
a -2 3 a +2 3 2-a 3 2-a 3 a -2 3
n+1 n -2 n n n
a
n
 ，
1 1
即b =-2b ，又b = + =-2，
n+1 n 1 a -2 3
1
所以数列b
n
 是首项为-2，公比为-2的等比数列.
(2)由(1)知b =(-2)n，
n
1 4
所以x = =
n log 2n⋅log 2n+1 nn+1
4 4

1 1
=4 -
n n+1
 ，
所以S =x +x +⋯+x
n 1 2 n
1
=41-
2

1 1
+4 -
2 3

1 1
+⋯+4 -
n n+1

1 1 1 1 1
=41- + - +⋯+ -
2 2 3 n n+1

1
=41-
n+1

4n
= .
n+1
16.【解析】(1)cos2C+cos2B-cos2A=1-sinCsinB，
即sin2A-sin2B-sin2C=-sinCsinB，
由正弦定理，得a2-b2-c2=-bc，即b2+c2-a2=bc，
【数学试卷 第8页（共13页）】b2+c2-a2 1
所以cosA= = ，
2bc 2
因为A∈0,π 
π
，所以A= .
3
(2)因为S =S +S ，
△ABC △ABD △ACD
1 3 1 1
所以 bc× = c⋅AD⋅sin∠BAD+ b⋅AD⋅sin∠CAD，
2 2 2 2
3
因为csin∠BAD+bsin∠CAD= bc，所以AD=1，
2
  
1 1
由BD=DC，所以AD= AB+ AC，
2 2
      
所以4AD 2 =(AB+AC)2=AB2+2AB⋅AC +AC 2 ，则4=c2+b2+bc≥3bc,
4 2 3
所以bc≤ ，当且仅当b=c= 时，等号成立，
3 3
1 π 1 4 3 3
所以S = bcsin ≤ × × = .
△ABC 2 3 2 3 2 3
3
即△ABC面积的最大值为 .
3
17.【解析】(1)连接AO,CO，
π π π
在△AOC中，由题可得AO=AB+BCcos =3,BO=BCcos =1,CO=BCsin = 3，
3 3 3
因为新的几何体是以AO为高的圆锥减去以BO为高的圆锥后剩余的部分，
1
所以新的几何体的体积V= ×π×( 3)2×AO-BO
3
 =2π.
(2)如图，取OC的中点F，连接EF,CF，
1 3
因为E,F分别为AC,CO的中点，所以EF∥AO,EF= AO= ，
2 2
因为AO⊥平面OCC，所以EF⊥平面OCC，
所以∠ECF为EC与底面OCC所成的角，
EF EF
所以sinθ=sin∠ECF= = ，
CE EF2+CF2
1 3 3 3 3 3 3
又因为OF= OC= ，所以CF = 3+ = ,CF = 3- = ，
2 2 max 2 2 min 2 2
所以CF∈   3 , 3 3
 2 2
 1 1  1 3 ，所以sinθ= = ∈ ,
CF2 4CF2  2 2
1+ 1+
EF2 9
 .
【数学试卷 第9页（共13页）】(3)以O为原点，分别以OC,OC,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,3  ,B0,0,1  ,
C0, 3,0  ,C  3,0,0 
3 3
,E0, ,
2 2
 ，

3 1
所以BE=0, ,
2 2


,BC= 3,0,-1  ，

易求得平面BEC的法向量为n=1,-1, 3  ，


若AM⊥平面BEC于点L，设AL=λn=λ,-λ, 3λ  ，
  
则BL=BA+AL=0,0,2  +λ,-λ, 3λ  =λ,-λ,2+ 3λ  ，
 
2 3
则根据BL⋅AL=0可求得λ=- ，
5
  
BM =BL+AL=2λ,-2λ,2+2 3λ 
4 3 4 3 2
=- , ,-
5 5 5
 ，

由条件可求得平面BCC的法向量为m=1,1, 3  ，
 
BM⋅m
所以点M到平面BCC的距离为d=


m 
2 3
-
5
=
5

2 15
= .
25
18.【解析】(1)当n=3时，有6朵花围绕在一个圆形花围周围.以1,2,3,4,5,6表示，由题意可知，满足要求
的绑缎带方法，任意一条缎带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，故1必不与奇数3，5配对.
按花朵1的配对情况，分为三类：
①1与2配对：另4朵3,4,5,6的配对情况，同n=2时共有4朵花的配对方法数相同，故有2种方法；
②1与6配对：由对称性可知同1与2配对的方法数，故有2种方法；
③1与4配对：2必与3配对，6必与5配对，故只有1种方法.
综上，完成这件事的方法数共有2+2+1=5种方法，
列举如下：
(12)(34)(56);(12)(36)(45);(16)(23)(45);(16)(25)(34);(14)(23)(56).
即满足要求的绑缎带方法总数为5.
(2)(i)当n=4时，有8朵花围绕在一个圆形花圃周围.以1,2,3,4,5,6,7,8表示，
由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条缎带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，故1不能与3，5，7配对.
【数学试卷 第10页（共13页）】故按花朵1的配对情况，可分为两类：
①1与2或1与8配对：
若1与2配对，则另6朵3,4,5,6,7,8的配对情况，同n=3时共有6朵花的配对方法数相同，故有5种方法；
若1与8配对，由对称性可知和1与2配对方法相同，故也有5种方法；故有2×5=10种方法；
②1与4或1与6配对：由对称性，这两类配对方法也相同.
不妨设1与4配对，由题意，2与3必配对.而另外5,6,7,8的配对情况，即同n=2时共有4朵花的配对方法
数，有2种方法；
故有2×2=4种方法；
综上，完成这件事的方法数共有10+4=14种方法.
已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，
1
则每一种方法的概率均为 ，
14
记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起，
14种方法中Y=2的有2×2=4种方法；Y=3的有2×4=8种；Y=4的有2×1=2种；
则Y的所有可能值为2,3,4，
PY=2 
4 2
= = ;PY=3
14 7

8 4
= = ;PY=4
14 7

2 1
= = .
14 7
故Y的分布列为
Y 2 3 4
2 4 1
P
7 7 7
EY 
2 4 1 20 20
=2× +3× +4× = ，故Y的期望为 .
7 7 7 7 7
(ii)当n=1时，显然有a =1，此时Y=1,E =1，
2 2
当n≥2时，若第i朵花与相邻花相连，记随机变量X =1，
i
则PX =1
i

2a
= 2n-2 ，
a
2n
若第i朵花不与相邻花相连，记随机变量X =0，则PX =0
i i

2a
=1- 2n-2 ，由于有Y对相邻的两朵花，
a
2n
【数学试卷 第11页（共13页）】2n
1
则Y= X，
2 i
i=1
2n 1
则E =E(Y)= EX
2n 2 i
i=1

2na
= 2n-2 (n≥2)，
a
2n
4a 6a 2na 2n-1n!
综上所述，E ⋅E ⋅⋯⋅E =1× 2 × 4 ×⋯× 2n-2 = .
2 4 2n a a a a
4 6 2n 2n
19.【解析】(1)因为fx  =x3-x，
所以f x  =3x2-1，令f x 
3
=0，则x=± ，
3
所以fx 
3
在区间-∞,-
3

3
, ,+∞
3

3 3
上单调递增，在区间- ,
3 3
 上单调递减，
因为f-x  =-fx  ，所以fx  的对称中心为0,0  .
(2)如图，不妨设三个顶点中有两个在y轴右侧(包括y轴)，且设A,B,C三点的坐标分别为x ,y
1 1
 ,
x ,y
2 2
 ,x ,y
3 3
 ，直线BC的斜率为kk>0  ，
则有y -y =kx -x
3 2 3 2

1
,y -y =- x -x
1 2 k 1 2
 .
又A,B,C三点在函数fx  =x2的图象上，
所以y =x2,y =x2,y =x2，
1 1 2 2 3 3
1
代入上面两式得：x =k-x ,x =- -x .
3 2 1 k 2
由于AB  =BC  ，
即 x -x
1 2
 2+y -y
1 2
 2= x -x
3 2
 2+y -y
3 2
 2，
1
所以 1+ x -x
k2 2 1
 = 1+k2x -x
3 2
 ，即x -x =kx -x
2 1 3 2
 ，
1
所以 +2x =kk-2x
k 2 2

1
,k2- =2k+2
k
 x ≥0，
2
k3-1
所以k3≥1,k≥1，且有x =
2 k2k+2 
.
所以正方形边长为 1+k2x -x 3 2  = 1+k2k-2x 2 
k3-1
= 1+k2 k- kk+1 

  

k2+1
=

1
(1+k)2
1+k2 2k 2
⋅ ≥ ⋅ = 2，
k k+1 k k+1
当且仅当k=1时，即点B为原点时等号成立.
所以正方形面积的最小值为2.
(3)假设内接正方形ABCD的对称中心不是坐标原点O，设A,B,C,D四点关于原点的对称点分别为A,
B,C,D，则点A,B,C,D在三次曲线上，且ABCD是正方形，与已知条件矛盾，从而内接正方形的对
【数学试卷 第12页（共13页）】称中心为坐标原点.
不妨设A在第一象限，B在第二象限，
因为OA=OB且OA⊥OB，所以设As,t  ,B-t,s 
t
,k=k = >0，
OA s
t
s2+c= =k,
 s3+cs=t,  s
因为
-t3-ct=s,
所以
s 1
t2+c=- =- ,
t k
1
从而t=sk，所以- -c=t2=s2k2=k-c
k
 k2>0，
1
所以k>c且k-
k

2 1
-ck-
k
 +2=0，
由于内接正方形只有一个，所以Δ=c2-8=0,c=±2 2，
1 c 2+ 6
当c=2 2时，k- = = 2，解得k= <2 2=c不满足k>c，
k 2 2
1 c - 2+ 6
当c=-2 2时，k- = =- 2，解得k= >-2 2=c，满足k>c，
k 2 2
1
从而s2+t2=k- -2c=3 2，所以AB
k
 = 2OA  = 6 2 ，
综上，c=-2 2，正方形的边长AB  = 6 2.
【数学试卷 第13页（共13页）】