湖南省雅礼中学2025届高三月考（六）数学+答案_2025年2月_250206湖南省长沙市雅礼中学2025届高三月考试卷（六）

雅礼中学 2025届高三月考试卷(六) 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目的. 1.设集合P=y∣y=ex+1  ,M= x∣y=log 2x-2    ，则集合M与集合P的关系是 ( ) A. M=P B. P∈M C. M⊆P D. P⊆M 2.抛物线x2=-2 2y的焦点坐标为 ( ) A. - 2,0  2 B. - ,0 2  C. 0,- 2  2 D. 0,- 2   3.已知向量a=1,2   ,b=2,-2   ,c=m,-1     ，若c∥2a+b  ，则m= ( ) 1 1 A. -2 B. -1 C. - D. 2 2 4.已知等差数列a n  的前n项和为S ，且S =0,S =2S +18，则a = ( ) n 10 6 3 1 A. 1 B. -9 C. 10 D. -10 5.已知sinα-β  =2cosα+β  ,tanα-β  1 = ，则tanα-tanβ= ( ) 2 3 5 4 6 A. B. C. D. 5 3 5 5 6.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为 ( ) 1 2 4 5 A. B. C. D. 3 3 9 9 7.已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为16π，上下底面面积之比为1:9，则该球 的表面积为 ( ) A. 12π B. 14π C. 10π D. 18π 8.已知函数fx  xlnx =  ,x>0,   若函数gx -xex,x<0,  =fx  -x2-kx  恰有3个零点，则实数k的取值范围为 ( ) A. -∞,-1  ∪1,+∞  B. 1,+∞  C. -∞,-1  ∪1,+∞  D. -∞,-1  ∪1,+∞  二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列关于(1- x)10的说法，正确的是 ( ) A. 展开式的各二项式系数之和是1024 B. 展开式各项系数之和是1024 C. 展开式的第5项的二项式系数最大 D. 展开式的第3项为45x 10.已知函数fx  π =asinx+cosx的图象关于直线x= 对称，下列结论正确的是 ( ) 3 【数学试卷 第1页（共13页）】π A. fx- 6  是奇函数 π B. f 4  6+ 2 = 4 C. 若fx  在-m,m  π 上单调递增，则00,b>0 a2 b2  的左、右支分别交于A,B两点，F 是双曲线C的焦点，若△ABF的面积大于 6a2a2+b2  ，则双曲线C的离心率的取值可以是 ( ) 3 5 A. B. 5 C. D. 3 2 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2+i 12.已知复数z= ，其中i为虚数单位，则z i  = . a2 13.已知log b+4loga=4，则 的值为 . a b 2b 14.如图，在正方体ABCD-ABCD 中，延长DC至E使得CE=DC，点P在平面ABD 上，过点D作DH 1 1 1 1 1 1 ⊥PE于点H，满足PH=3,HE=15，则AP= . 1 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明 过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知数列a n  和b n  11 1 1 满足a a =a +2,a = , =b - . n n+1 n 1 7 a -2 n 3 n (1)证明：数列b n  是等比数列； 1 (2)设x = n log 4b n  ⋅log 4b n+1  ，求数列x n  的前n项和S . n 【数学试卷 第2页（共13页）】16.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cos2C+cos2B-cos2A=1-sinCsinB. (1)求角A的大小； 3 (2)若点D是边BC中点，且csin∠BAD+bsin∠CAD= bc，求△ABC面积的最大值. 2 17.(本小题满分15分) 2π 如图1，在△ABC中，AB=BC=2,∠B= ,E为AC的中点，现将△ABC及其内部以边AB为轴进行 3 旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O为点C在旋转过程中形成的圆的圆心，点C为圆O上任意一 点. (1)求新的几何体的体积； (2)记EC与底面OCC所成角为θ，求sinθ的取值范围； π (3)当∠COC= 时，求点A关于平面BEC的对称点M到平面BCC的距离. 2 【数学试卷 第3页（共13页）】18.(本小题满分17分) 有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：n =2时，共有4朵花，以1,2,3,4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1，2所示. (1)当n=3时，求满足要求的绑缎带方法总数； 1 (2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如n=2时，出现图1和图2所示方法的概率均为 . 2 记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起. (i)当n=4时，求Y的分布列和期望； (ii)已知：对任意随机变量X ii=1,2,⋯,m,m∈N*  m ，有EX i i=1  m =EX i i=1  ..记满足条件的绑缎带方法 总数为a ,Y的期望为E .求E ⋅E ⋅⋯⋅E (用n和a 表示). 2n 2n 2 4 2n 2n 19.(本小题满分17分) 已知函数fx  =ax3+bx2+cx，其中a,b,c是常数. (1)当a=1,b=0,c=-1时，求y=fx  单调性及对称中心； (2)当a=c=0,b=1时，正方形ABCD有三个顶点在函数y=fx  的图象上，求正方形ABCD面积的最 小值； (3)当a=1,b=0时，函数y=fx  的图象上有且仅有一个内接正方形，求c的值与正方形的边长. 【数学试卷 第4页（共13页）】雅礼中学2025届高三月考试卷(六) 数学 第I卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A B C D A A AD ACD BC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目的. 1.C 【解析】由y=ex+1,x∈R，可得ex>0，则y=ex+1>1，故P=1,+∞  ，又由y=log x-2 2  有意 义，可得x-2>0，即得x>2，故M=2,+∞  ，则显然有M⊆P. 2.D p 2 【解析】因为抛物线x2=-2 2y的焦点在y轴上，且p= 2，所以- =- ，所以抛物线x2= 2 2 2 -2 2y的焦点坐标为0,- 2  . 3.A  【解析】因为a=1,2   ,b=2,-2    ，所以2a+b=4,2   ，又c=m,-1     ,c∥2a+b  ，所以2m+4= 0，解得m=-2. 4.B S 【解析】根据等差数列性质可知数列  n  n  也为等差数列，设其公差为d，首项为a ,∵S =2S +18，两边 1 6 3 S S S 同除以6得： 6 = 3 +3,∴3d=3，解得d=1，又S =0，即 10 =a +9d=0，解得a =-9. 6 3 10 10 1 1 5.C 【解析】因为sinα-β  =2cosα+β  ，所以sinαcosβ-cosαsinβ=2cosαcosβ-sinαsinβ  ，两边同 tanα-tanβ 除cosαcosβ，得到tanα-tanβ=2-2tanα⋅tanβ，即tanα⋅tanβ=1- . 2 tanα-β  tanα-tanβ tanα-tanβ 1 4 = = = ,∴tanα-tanβ= . 1+tanα⋅tanβ tanα-tanβ 2 5 1+1- 2 6.D 【解析】从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数可得基本事件为1,2,3  ,1,2,4  ,1,2,5  ,1,3,4  ， 1,3,5  ,1,4,5  ,2,3,4  ,2,3,5  ,2,4,5  ,3,4,5  ,10种情况，若这三个数之积为偶数有1,2,3  , 1,2,4  ,1,2,5  ,1,3,4  ,1,4,5  ,2,3,4  ,2,3,5  ,2,4,5  ,3,4,5  ,9种情况，它们之和大于8共有 1,4,5  ,2,3,4  ,2,3,5  ,2,4,5  ,3,4,5  ,5种情况，从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数 5 之积为偶数，则它们之和大于8的概率为P= . 9 7.A 【解析】设圆台的上，下底面半径分别为r 和r ，母线长为l，内切球的半径为R，因为上下底面面积之比为1: 1 2 πr2 1 9，所以 1 = ，得r =3r ，所以圆台的侧面积为πr +r πr2 9 2 1 1 2 2  l=4πr l=16π，得r l=4，因为球与圆台 1 1 的上下底面和侧面均相切，所以l=r +r =4r ，所以4r2=4，得r =1，所以r =3,l=4，所以(2R)2= 1 2 1 1 1 2 【数学试卷 第5页（共13页）】r +r 1 2  2-r -r 2 1  2=16-4=12，得R2=3，所以该球的表面积为4πR2=12π. 8.A fx 【解析】由题意得，方程  x  =x-k  有三个不相等的实数根. fx 而y=  x  lnx =  ,x>0,   ex,x<0, fx 分别作出函数y=  x  和y=x-k  的图象， 当k=1时，y=x-1  ； fx 当x≥1时，y=  x  1 =lnx，对其求导得y= ， x 所以 y  =1，所以曲线y=lnx在点1,0 x=1  处的切线方程为y=x-1，如图，直线y=x-1与曲线y= lnx在点1,0  相切.所以实数k的取值范围为-∞,-1  ∪1,+∞  . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD 【解析】(1- x)10的展开式的各二项式系数之和是210=1024，A正确； 令 x=1，得(1- x)10的展开式的各项系数之和为0，B错误； (1- x)10的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误； (1- x)10的展开式的第3项为C2(- x)2=45x，D正确. 10 10.ACD 【解析】因为fx  π 2π 的图象关于直线x= 对称，所以f 3 3  =f0  3 1 ，即 a- =1，解得a= 3，所 2 2 以fx  π = 3sinx+cosx=2sinx+ 6  π π ，验证：当x= 时，f 3 3  =2,fx  取最大值，故fx  的 π 图象关于直线x= 对称，满足题意； 3 π fx- 6  =2sinx,x∈R，由2sin-x  π =-2sinx，则fx- 6  是奇函数，故A正确； π 由f 4  π π 2 = 3sin +cos =  3+1 4 4 2  6+ 2 = ，故B错误； 2 fx  π =2sinx+ 6  π π π 2π π ，由- +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,k∈Z，解得- +2kπ≤x≤ +2kπ, 2 6 2 3 3 2π π k∈Z，当k=0时，- ≤x≤ ，由fx 3 3  在-m,m  2π π 上单调递增，则- ≤-m3a2， b2-3a2 3ab 3ab 所以y =- ,y = ， A B b2-3a2 b2-3a2 1 因为S = ⋅OF △ABF 2  ⋅y -y B A  1 2 3ab 3abc = ⋅c⋅ = ， 2 b2-3a2 b2-3a2 且S > 6a2a2+b2 △ABF  3abc = 6ac，所以 > 6ac， b2-3a2 b 所以 > 2，解得13a2， b2-3a2 解得e>2，所以20  ， 则有y -y =kx -x 3 2 3 2  1 ,y -y =- x -x 1 2 k 1 2  . 又A,B,C三点在函数fx  =x2的图象上， 所以y =x2,y =x2,y =x2， 1 1 2 2 3 3 1 代入上面两式得：x =k-x ,x =- -x . 3 2 1 k 2 由于AB  =BC  ， 即 x -x 1 2  2+y -y 1 2  2= x -x 3 2  2+y -y 3 2  2， 1 所以 1+ x -x k2 2 1  = 1+k2x -x 3 2  ，即x -x =kx -x 2 1 3 2  ， 1 所以 +2x =kk-2x k 2 2  1 ,k2- =2k+2 k  x ≥0， 2 k3-1 所以k3≥1,k≥1，且有x = 2 k2k+2  . 所以正方形边长为 1+k2x -x 3 2  = 1+k2k-2x 2  k3-1 = 1+k2 k- kk+1       k2+1 =  1 (1+k)2 1+k2 2k 2 ⋅ ≥ ⋅ = 2， k k+1 k k+1 当且仅当k=1时，即点B为原点时等号成立. 所以正方形面积的最小值为2. (3)假设内接正方形ABCD的对称中心不是坐标原点O，设A,B,C,D四点关于原点的对称点分别为A, B,C,D，则点A,B,C,D在三次曲线上，且ABCD是正方形，与已知条件矛盾，从而内接正方形的对 【数学试卷 第12页（共13页）】称中心为坐标原点. 不妨设A在第一象限，B在第二象限， 因为OA=OB且OA⊥OB，所以设As,t  ,B-t,s  t ,k=k = >0， OA s t s2+c= =k,  s3+cs=t,  s 因为 -t3-ct=s, 所以 s 1 t2+c=- =- , t k 1 从而t=sk，所以- -c=t2=s2k2=k-c k  k2>0， 1 所以k>c且k- k  2 1 -ck- k  +2=0， 由于内接正方形只有一个，所以Δ=c2-8=0,c=±2 2， 1 c 2+ 6 当c=2 2时，k- = = 2，解得k= <2 2=c不满足k>c， k 2 2 1 c - 2+ 6 当c=-2 2时，k- = =- 2，解得k= >-2 2=c，满足k>c， k 2 2 1 从而s2+t2=k- -2c=3 2，所以AB k  = 2OA  = 6 2 ， 综上，c=-2 2，正方形的边长AB  = 6 2. 【数学试卷 第13页（共13页）】