文档内容
石家庄市第一中学 2025 届高考第一次模拟考试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量 满足 与 的夹角为 ，则实数 的值
为（ ）
A． B．2 C． D．
(π )
cos −α
4．计算 4 的值是( )
sinα+cosα
A． √2 B． −√2
√2 √2
C． D． −
2 2
5．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥
在此平面内绕圆锥顶点 滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身
恰好滚动了 周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为 ，则该圆锥的体积为
（ ）A． B． C． D．
6．当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．设 a=1.69 ， b=1.31.9 ， c=1+log 128 ，则（ ）
1024
A． c＞b＞a B． a＞c＞b C． c＞a＞b D． b＞a＞c
8．函数 的定义域均为 ，且 ， 关于
对称， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数 ， ，令 ， ，则
（ ）
A． 与 的单调区间相同 B． 与 的单调区间相同
C． 与 有相同的最小值 D． 与 有相同的最小值
10．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.
学生的体能检测结果 服从正态分布 ，其中检测结果在 以上为体能达标，
以上为体能优秀，则（ ）
附：随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， .
A．该校学生的体能检测结果的期望为
B．该校学生的体能检测结果的标准差为C．该校学生的体能达标率超过
D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等
11．在平面直角坐标系 中，动点 到两个定点 ， 的距离之积
等于1，记点 的轨迹为曲线 ，则（ ）
A．曲线 关于原点对称 B．曲线 与 轴恰有3个公共点
C． 的周长最小值为4 D． 的面积最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．如图，已知斜率为 的直线与双曲线 的右支交于A，B两
点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且 ，则该双曲线的离心率为
.
13．用3种不同的颜色给 两个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则 两个
区域颜色相同的概率是__________.
14．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为 ，已知
．为了将容器中的水倒出，以 为轴向右倾斜容器，使得水能从容器
中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）
已知正项数列 是等差数列，前 项和为 ，满足 ，且 ， ， 成等比
数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16．（15分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， .
(1)求 及 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯
一，求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分
别作答，按第一个解答计分.
17．（15分）
已知四棱锥 中， ， 平面 ，点 为 三等分点（靠近
点）， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
18．（17分）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个极值点x
1
,x
2
x
1
x
2
且 f x
1
ax
2
恒成立，求实数a的取值范
围．
19．（17分）
已知椭圆 ， 分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆上的动点，直线
交椭圆于另一点 ，直线 交椭圆于另一点 ．
(1)求 面积的最大值；
(2)求 与 面积之比的最大值．
