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专题 40 带电粒子在电场运动（二）
三、解答题
46．（2023·山西·统考高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固
定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，
油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v、 ；两板间加上电压后（上板
0
为正极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大
小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a和油滴b的质量之比；
（2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。
47．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一
质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
48．（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形 区域内存
在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化， 边长为
， 边长为 ，质量为m、电荷量为 的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为 ，入
射角为 ，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。（1）当 时，若粒子能从 边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当 时，若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于d，求入射角 的范围；
（3）当 ，粒子在 为 范围内均匀射入电场，求从 边出射的粒子与入射粒子的数量
之比 。
49．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨在B点平滑连接，导
轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度
大小为 ，之后沿轨道 运动。以O为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与x轴夹
角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 。小球在运动过程中电荷量保持不变，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
50．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的
诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为 、位于
同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离 。此时给两极板加上电压U（上极板
接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离
，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的
空气阻力大小为 ，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力
加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离 电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
51．（2021·福建·统考高考真题）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为 ，
O为水平连线 的中点，M、N在 连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q
（ ）。以O为原点，竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则 上的电势 随位
置x的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（ ）的小球 以一定初动能从M点竖直下落，一段时
间后经过N点，其在 段运动的加速度大小a随位置x的变化关系如图（c）所示。图中g为重力加速度
大小，k为静电力常量。
（1）求小球 在M点所受电场力大小。
（2）当小球 运动到N点时，恰与一沿x轴负方向运动的不带电绝缘小球 发生弹性碰撞。已知 与
的质量相等，碰撞前、后 的动能均为 ，碰撞时间极短。求碰撞前 的动量大小。（3）现将 固定在N点，为保证 能运动到N点与之相碰， 从M点下落时的初动能须满足什么条件？
52．（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相
互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质
量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过
N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线
的距离为d，求该粒子离开N时的动能 。
53．（2020·天津·统考高考真题）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原
理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量
分析器由两个反射区和长为l的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次
进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进
入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的
电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为
q，不计离子重力。
（1）求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间 ；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为 的离子总飞行时间为 ，待测离子的总飞行时间为 ，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量 。
54．（2020·全国·统考高考真题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的
圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的
速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率
v 穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
0
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv，该粒子进入电场时的速度应为多大？
0
55．（2019·天津·高考真题）2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃
料，也无污染物排放．引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极
、 之间的匀强电场（初速度忽略不计）， 、 间电压为 ，使正离子加速形成离子束，在加速过程
中引擎获得恒定的推力．单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为 ，电荷量为 ，其中 是
正整数， 是元电荷．
（1）若引擎获得的推力为 ，求单位时间内飘入 、 间的正离子数目 为多少；
（2）加速正离子束所消耗的功率 不同时，引擎获得的推力 也不同，试推导 的表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使 尽量大，请提出增大 的三条建议．57．（2019·全国·高考真题）如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的
金属网G，PQG的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为 （ >0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒
子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v 平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
0
（1）求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
（2）若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
58．（2015·福建·高考真题）如图，绝缘粗糙的竖直平面 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁
场，电场方向水平向右，电场强度大小为 ，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 ．一质量为 、
电荷量为 的带正电的小滑块从 点由静止开始沿 下滑，到达 点时离开 做曲线运动． 、 两
点间距离为 ，重力加速度为 ．
（1）求小滑块运动到 点时的速度大小 ；
（2）求小滑块从 点运动到 点过程中克服摩擦力做的功 ；
（3）若 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到
点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的 点．已知小滑块在 点时的速度大小为 ，从 点
运动到 点的时间为 ，求小滑块运动到 点时速度的大小 .
59．（2015·安徽·高考真题）在xOy平面内，有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E（图中未画出），
由A点斜射出一质量为m，带电荷量为+q的粒子，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l 为
0
常数，粒子所受重力忽略不计，求：（1）粒子从A到C过程中电场力对它做的功；
（2）粒子从A到C过程所经历的时间；
（3）粒子经过C点时的速率。
60．（2014·安徽·高考真题）如图所示，充电后的平行板电容器水平放置，电容为C，极板间的距离为d，
上板正中有一小孔．质量为m、电荷量为+q的小球从小孔正上方高h处由静止开始下落，穿过小孔到达下
极板处速度恰为零（空气阻力忽略不计，极板间电场可视为匀强电场，重力加速度为g）．求：
（1）小球到达小孔处的速度；
（2）极板间电场强度的大小和电容器所带电荷量；
（3）小球从开始下落运动到下极板处的时间．
61．（2014·全国·高考真题）如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面（xy平面）向
外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负向．在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v 的速
0
度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在（d，0）点沿垂直于x轴的方向进入电场．不计重力．若该粒子离
开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，求：
（1）电场强度大小与磁感应强度大小的比值；
（2）该粒子在电场中运动的时间．
63．（2018·浙江·高考真题）如图所示，AMB是一条长L=10m的绝缘水平轨道，固定在离水平地面高
h=1.25m处，A、B为端点，M为中点，轨道MB处在方向竖直向上，大小E=5×103N/C的匀强电场中，一质量m=0.1kg，电荷量q=+1.3×10-4C的可视为质点的滑块以初速度v=6m/s在轨道上自A点开始向右运动，
0
经M点进入电场，从B点离开电场，已知滑块与轨道间动摩擦因数μ=0.2，求滑块
（1）到达M点时的速度大小
（2）从M点运动到B点所用的时间
（3）落地点距B点的水平距离
64．（2017·全国·高考真题）真空中存在电场强度大小为E 的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上
1
做匀速直线运动，速度大小为v ， 在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其
0
方向不变．持续一段时间t 后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运
1
动到B点．重力加速度大小为g。
（1）油滴运动到B点时的速度；
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t 和v 应满足的条
1 0
件．已知不存在电场时，油滴以初速度v 做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
0
65．（2017·全国·高考真题）如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的
匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和–q（q>0）的带电小球M、N先后以相同
的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N
离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能
的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
（2）A点距电场上边界的高度；
（3）该电场的电场强度大小。
66．（2016·四川·高考真题）如图所示，图面内有竖直线DD′，过DD′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、
Ⅱ两区域．区域Ⅰ有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场B（图中未画出）；区域Ⅱ有固定在水平地面上高h＝2l、倾角α＝ 的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD′距离s＝4l，区域Ⅱ可加竖
直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)；C点在DD′上，距地面高H＝3l．零时刻，质量为m、带电荷
量为q的小球P在K点具有大小 、方向与水平面夹角θ＝ 的速度，在区域Ⅰ内做半径 的
匀速圆周运动，经C点水平进入区域Ⅱ．某时刻，不带电的绝缘小球A由斜面顶端静止释放，在某处与刚
运动到斜面的小球P相遇．小球视为质点，不计空气阻力及小球P所带电量对空间电磁场的影响．l已知，
g为重力加速度．
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)若小球A、P在斜面底端相遇，求释放小球A的时刻tA；
(3)若小球A、P在时刻t＝β (β为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域Ⅱ的匀强电场的场强E，并讨
论场强E的极大值和极小值及相应的方向．
67．（2016·四川·高考真题）中国科学家2015年10月宣布中国将在2020年开始建造世界上最大的粒子加
速器．加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用．如
图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管）组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电
源的两极．质子从K点沿轴线进入加速器并依此向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移
管间被电场加速，加速电压视为不变．设质子进入漂移管B时速度为8×106m/s，进入漂移管E时速度为
1×107m/s，电源频率为1×107Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的 ．质子
的荷质比取1×108C/kg．求：（1）漂移管B的长度；
（2）相邻漂移管间的加速电压．
68．（2016·北京·高考真题）如图所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于板面的方向射入偏
转电场，并从另一侧射出。已知电子质量为 ，电荷量为 ，加速电场电压为 。偏转电场可看作匀强电
场，极板间电压为 ，极板长度为 ，板间距为 。
（1）忽略电子所受重力，求电子射入偏转电场时的初速度 和从电场射出时沿垂直板面方向的偏转距离
；
（2）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。在解决（1）问时忽略了电子所受重力，请利用
下列数据分析说明其原因。已知 ， ， ， ，
。
（3）极板间既有静电场也有重力场。电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势 的定义式。类比电
势的定义方法，在重力场中建立“重力势” 的概念，并简要说明电势和“重力势”的共同特点。
69．（2015·四川·高考真题）如图所示，粗糙、绝缘的直轨道OB固定在水平桌面上，B端与桌面边缘对齐，
A是轨道上一点，过A点并垂直于轨道的竖直面右侧有大小E＝1.5×106N/C，方向水平向右的匀强电场．
带负电的小物体P电荷量是2.0×10－6C，质量m＝0.25kg，与轨道间动摩擦因数μ＝0.4，P从O点由静止开
始向右运动，经过0.55s到达A点，到达B点时速度是5m/s，到达空间D点时速度与竖直方向的夹角为
α，且tanα＝1.2。P在整个运动过程中始终受到水平向右的某外力F作用，F大小与P的速率v的关系如表
所示．P视为质点，电荷量保持不变，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，求：（1）小物体P从开始运动至速率为2m/s所用的时间；
（2）小物体P从A运动至D的过程，电场力做的功。
70．（2015·北京·高考真题）真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示，光照前两板都
不带电，以光照射A板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出。假设所有逸出的电子都垂直于A板向B
板运动，忽略电子之间的相互作用，保持光照条件不变，a和b为接线柱。已知单位时间内从A板逸出的
电子数为N，电子逸出时的最大动能为 ，元电荷为e。
（1）求A板和B板之间的最大电势差 ，以及将a，b短接时回路中的电流 。
（2）图示装置可看作直流电源，求其电动势E和内阻r。
（3）在a和b之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U，外电阻上消耗的电功率设为P；单位时间
内到达B板的电子，在从A板运动到B板的过程中损失的动能之和设为 ，请推导证明： 。（注
意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明）
71．（2014·上海·统考高考真题）如图，一对平行金属板水平放置，板间距为d，上极板始终接地．长度为
、质量均匀的绝缘杆，上端可绕上板中央的固定轴0在竖直平面内转动，下端固定一带正电的轻质小球，
其电荷量为q．当两板间电压为U 时，杆静止在与竖直方向 夹角 的位置；若两金属板在竖直平
1
面内同时绕O、O′顺时针旋转 至图中虚线位置时，为使杆仍在原位置静止，需改变两板间电压．假
定两板间始终为匀强电场．求:（1）绝缘杆所受的重力G；
（2）两板旋转后板间电压U．
2
（3）在求前后两种情况中带电小球的电势能W 与W 时，某同学认为由于在两板旋转过程中带电小球位置
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未变，电场力不做功，因此带电小球的电势能不变．你若认为该同学的结论正确，计算该电势能；你若认
为该同学的结论错误，说明理由并求W 与W
1 2．
