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2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）
数学（理科）
一、
选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
x x
x x
1.若集合A={ -2＜ ＜1}，B={ 0＜ ＜2}则集合A ∩ B=
x x
x x
A. { -1＜ ＜1} B. { -2＜ ＜1}
x x
x x
C. { -2＜ ＜2} D. { 0＜ ＜1}
2.若复数z =1+i，z =3-i，则z·z =
1 2 1 2
A．4 B. 2+ i C. 2+2 i D.3
3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
A．f（x）与g（x）均为奇函数 B. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
{a } a ×a =2a
4. 4.已知 n 为等比数列，S 是它的前n项和。若 2 3 1，
n
5
a a S
4
且 4与2 7的等差中项为 ，则 5=
A．35 B.33 C.31 D.29
1
m<
4 x2 +x+m=0
5. “ ”是“一元二次方程 ”有实数解“的
A．充分非必要条件 B.充分必要条件
C．必要非充分条件 D.非充分必要条件
3
6.如图1，△
ABC为三角形，AA¢ //BB¢
//
CC¢
,
CC¢
⊥平面ABC 且3
AA¢
=
2 BB¢
=
CC¢
A¢B¢C¢
=AB,则多面体△ABC - 的正视图（也称主视图）是
A B C D
w_w w.k*s_5 u.c o_m
第1页 | 共11页7已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且p(2 ≤X ≤4)=0.6826，则p（X>4）=
A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585
8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯
闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同
。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮
，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）
w_w w.k*s_5 u.c o_m
f(x) x
9. 函数 =lg( -2)的定义域是 .
r r r r r r
a b c (c-a)×(2b) x
10.若向量 =（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件 =-2,则 = .
3
11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b= , A+C=2B,则sinC= .
2
12.已知圆心在x轴上，半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
w_w w.k*s_5 u.c o_m
13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了
抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x …x (单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n
1 n
=2,且x x 分别为1,2，则输出地结果s为 .
1， 2
w_w w.k*s_5 u.c o_m
14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交
2a
于AB的中点P，PD= 3 ，∠OAP=30°，则CP＝______.
w_w w.k*s_5 u.c o_m
第2页 | 共11页15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=
2sinq 与 pcosq=-1 的交点的极坐标为______。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算
步骤。
16、（本小题满分14分）
p
x=
已知函数 f(x)= Asin(3x+j)(A>0,xÎ(-¥,+¥),0<j<p 在 12时取得最大值4
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 求f(x)的解析式；
2 p 12
(3) 若f(3 α +12)= 5 ,求sinα
w_w w.k*s_5 u.c o_m
17.(本小题满分12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算
495 500 515
出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490, ，（495, ，……（510, ，
由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。
（1） 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。
第3页 | 共11页（2）
在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分
布列。
（3） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。
18.（本小题满分14分）
w_w w.k*s_5 u.c o_m
¼ »
ABC AC
如图5， 是半径为a的半圆，AC为直径，点E为 的中点，点B和点C为线段AD的三等分
5 6
点。平面AEC外一点F满足FB=FD= a，FE= a
图5
（1） 证明：EB⊥FD；
2 2
3 3
（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ= FE,FR= FB,求平面BED与平面RQD所成
二面角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单
位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和
10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单
位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费
最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
w_w w.k*s_5 u.c o_m
20．（本小题满分为14分）
第4页 | 共11页x2
- y2 =1
2
一直双曲线
p(x ,y ) Q(x ,-y )
的左、右顶点分别为A ,A ，点 1 1 ， 1 1 是双曲线上不同的两个动点
1 2
（1） 求直线A与A Q交点的轨迹E的方程式；
2
l ^l
（2） 若点H(O, h)（h>1）的两条直线l 和l 与轨迹E都只有一个交点，且 1 2 求h的值。
1 2 ,
21．（本小题满分14分）
x ,y x ,y
设A( 1 1),B( 2 2)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,
B)为
w_w w.k*s_5 u.c o_m
x -x y -y
P(A,B)= 2 1 + 2 1 .
xOy x ,y x ,y
对于平面 上给定的不同的两点A( 1 1),B( 2 2)
xOy (A,C) (C,B) (A,B)
(1) 若点C（x, y）是平面 上的点，试证明P +P ³ P ;
xOy
(2) 在平面 上是否存在点C(x, y),同时满足
(A,C) (C,B) (A,B) (A,C) (C,B)
1. ①P +P = P ②P = P
若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。
第5页 | 共11页2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1．D．【解析】AI B={x|-2< x<1}I {x|0< x<2}={x|0< x<1}．
2．A．【解析】z ×z =(1+i)×(3-i)=1´3+1´1+(3-1)i =4+2i
1 2
3．B．【解析】 f(-x)=3-x +3x = f(x),g(-x)=3-x -3x =-g(x)．
4．C．【解析】设{a }的公比为q，则由等比数列的性质知，a ×a =a ×a =2a ，即
n 2 3 1 4 1
a =2。
4
5 5 1 5 1
由a 与2a 的等差中项为 知，a +2a =2´ ，\a = (2´ -a ) = ．
4 7 4 4 7 4 7 2 4 4 4
1
16(1- )
a 1 1 1 25
∴q3 = 7 = ，即q= ．a =aq3 =a ´ =2，\a =16，S = =31.
a 8 2 4 1 1 8 1 5 1
4 1-
2
1 1-4m 1
5．A．【解析】由x2 +x+m=0知，(x+ )2 = ³0 Û m£ ．
2 4 4
1 1 1
（或由D³0得1-4m³0，\m£ 。）m< Þm£ ， 反之不成立，故选A。
4 4 4
6．D．
1 1
7．B．【解析】P(X >4)= [1-P(2< X <4)]= (1-0.6826)=0.1587.
2 2
8．C．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪
烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9． (2,+¥)．【解析】由x-2>0，得x>2，所以函数的定义域为(2,+¥)．
v v v v v
10．2．【解析】c-a=(0,0,1-x)，(c-a)×(2b)=2(0,0,1-x)×(1,2,1)=2(1-x)=-2，解
得x=2．
11．1．【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B
第6页 | 共11页1 3
=60°．由正弦定理知， = ，
sinA sin60o
1
即sin A= ．由a<b知，A< B=60o，则A=30o，C =180o-A-B =90o
2
于是sinC =sin90o =1．
|a+2´0|
12．(x+2)2 + y2 =2．【解析】设圆心为(a,0)(a<0)，则r = = 2，解得
12 +12
a =-2．
1 9
13． ． 14． a．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知， OP^ AB.
4 8
3
在RtDOPA中，BP= AP=acos30o = a. A
2
O D
由相交弦定理知，BP×AP=CP×DP，
P
3 3 2 9
即 a× a =CP× a，所以CP= a． C
2 2 3 8 B
3p ìx=-1,
15．( 2, )．【解法1】两条曲线的普通方程分别为x2 + y2 =2y,x=-1．解得í
4 îy =1.
ìx=rcosq, 3p
由í 得点(-1,1)的极坐标为( 2, )．
îy =rsinq 4
ìr=2sinq 1
【解法2】由í 得sin2q=- ，Q0£q＜2p \0£2q＜4p，
îrcosq=-1 2
3p 3p 3p 7p 3p
\2q= 或2q= +2p，\q= 或 （舍），从而r= 2，交点坐标为( 2, )
2 2 4 4 4
。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
第7页 | 共11页p 3 3 3 1 5
sin(2a+ )= ，cos2a= ，1-2sin2a= ，sin2a= ，sina=± ．
2 5 5 5 5 5
17．（1）重量超过505克的产品数量是
40´(0.05´5+0.01´5)=12件；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2；
C2 63 C1C1 56 C2 11
P(Y =0)= 28 = ，P(Y =1)= 12 28 = ，P(Y =1)= 12 = ，
C2 130 C2 130 C2 130
40 40 40
Y的分布列为
Y 0 1 2
63 56 11
P
130 130 130
（3）从流水线 上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量
超过505克的概率为
12´11 28´27´26
´
C2C3 2´1 3´2´1 21´11 231
12 28 = = = 。
C5 40´39´38´37´36 37´19 703
40
5´4´3´2´1
18．（1）证明：
¼ »
连结CF ，因为AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，所以EB^ AC
。
在RTDBCE中，EC = BC2 +BE2 = a2 +a2 = 2a。
在DBDF 中，BF = DF = 5a，DBDF 为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故
第8页 | 共11页CF ^ BD。
在DCEF 中，CE2 +CF2 =( 2a)2 +(2a)2 =6a2 = EF2，所以DCEF 为RtD，且
CF ^ EC。
因为CF ^ BD，CF ^ EC，且CEI BD=C，所以CF ^平面BED，
而EBÌ平面BED，\CF ^ EB。
因为EB^ AC，EB^CF ，且ACI CF =C，所以EB^平面BDF ，
而FDÌ平面BDF ，\EB^ FD。
（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG.
2 2
由FQ= FE ，FR= FB，知QR//EB.
3 3
而EBÌ平面BDE，∴QR//平面BDE，
而平面BDE I 平面RQD= DG，∴QR//DG//EB.
由（1）知，BE ^平面BDF ，∴DG ^平面BDF ，
而DR,DBÌ平面BDF ，∴DG ^ DR，DG ^ DQ，
∴ÐRDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．
在RtDBCF 中，CF = BF2 -BC2 = ( 5a)2 -a2 =2a，
FC 2a 2 1
sinÐRBD= = = ，cosÐRBD= 1-sin2ÐRBD = ．
BF 5a 5 5
2 1 5a
在DBDR中，由FR= FB知，BR= FB= ，
3 3 3
由余弦定理得，RD= BD2 +BR2 -2BD×BRcosÐRBD
5a 5a 1 29
= (2a)2 +( )2 -2×2a× × = a
3 3 5 3
5 29
a a
BR RD 3 3
由正弦定理得， = ，即 = ，
sinÐRDB sinÐRBD sinÐRDB 2
5
2 29
sinÐRDB= 。
29
2 29
故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为 。
29
19．解：设为该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z =2.5x+4y，且
y
第9页 | 共11页满足以下条件
ì12x+8y ³64 ì3x+2y ³16
6x+6y ³ 42 x+ y ³7
í 即í 3x+2y=1
6x+10y ³54 3x+5y ³ 27 6
x+y=7
îx,y ³0 îx,y ³0
作直线l:2.5x+4y =0，平移直线l至l ，
0
3x+5y=27
当l 经过C点时，可使z达到最小值。 A
0
ì3x+5y = 27 ìx = 4 x
由í Þ í 即C(4,3)，
C
îx+ y =7 îy =3 2.5x+4y=0 B
此时z =2.5´4+4´3=22，
答: O
午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。
20．（1）解：由A,A 为双曲线的左右顶点知，A(- 2,0), A ( 2,0),
1 2 1 2
y -y -y2
AP: y = 1 (x+ 2)，AQ: y = 1 (x- 2)，两式相乘y2 = 1 (x2 -2)，
1 x + 2 2 x - 2 x2 -2
1 1 1
x2 y2 1 1
因为点P(x ,y )在双曲线上，所以 1 - y2 =1，即 1 = ，故y2 =- (x2 -2)，
1 1 2 1 x2 -2 2 2
1
x2 x2
所以 + y2 =1，即直线AP与A Q交点的轨迹E的方程为 + y2 =1.
2 1 2 2
1
（2）解法1：设l : y =kx+h，则由l ^l 知，l : y =- x+h。将l : y =kx+h代入
1 1 2 2 k 1
x2
+ y2 =1得
2
x2
+(kx+h)2 =1，即(1+2k2)x2 +4khx+2h2 -2=0，
2
由l 与E只有一个交点知，D=16k2h2 -4(1+2k2)(2h2 -2)=0，即1+2k2 =h2。
1
1 1
同理，由l 与E只有一个交点知，1+2× =h2，消去h2得 =k2，即k2 =1，
2 k2 k2
从而 h2 =1+2k2 =3，又Qh>1，\h= 3.。
[来
解法2：由题意知直线l 和l 都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为45°
1 2
第10页 | 共11页x2 x2
和135°，设其方程为y =±x+h，代入椭圆E的方程 + y2 =1得 +(±x+h)2 =1，即
2 2
3x2 ±4hx+2h2 -2=0
由D=0得16h2 -4´3´(2h2 -2)=0，即h2 =3，Qh>1，\h= 3.
21．（1）证明：由绝对值不等式知，
r(A,C)+r(C,B)=|x-x |+|x -x|+| y- y |+| y - y
1 2 1 2
³|(x-x )+(x -x)|+|(y- y )+(y - y)|
1 2 1 2
=|x -x |+| y - y |
2 1 2 1
=r(A,B)
当且仅当(x-x )×(x -x)³0且(y- y )×(y - y)³0时等号成立。
1 2 1 2
（2）解：由r(A,C)+r(C,B)=r(A,B)得
(x-x )×(x -x)³0且(y- y )×(y - y)³0 （Ⅰ）
1 2 1 2
由r(A,C)=r(C,B)得 |x-x |+| y- y |=|x -x|+| y - y| （Ⅱ）
1 1 2 2
因为A(x ,y )，B(x ,y )是不同的两点，则：
1 1 2 2
1° 若x = x 且y ¹ y ，不妨设y < y ，
1 2 1 2 1 2
y + y
由（Ⅰ）得 x= x = x 且y £ y£ y ，由（Ⅱ）得 y = 1 2 ，
1 2 1 2 2
x +x y + y
此时，点C是线段AB的中点，即只有点C( 1 2 , 1 2)满足条件；
2 2
x +x y + y
2° 若x ¹ x 且y = y ，同理可得：只有AB的中点C( 1 2 , 1 2)满足条件；
1 2 1 2 2 2
3° 若x ¹ x 且y ¹ y ，不妨设x < x 且y < y ，
1 2 1 2 1 2 1 2
由（Ⅰ）得x £ x£ x 且y £ y£ y ，
1 2 1 2
x +x y + y
由（Ⅱ）得x+ y = 1 2 + 1 2 ，
2 2
x +x y + y
此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点( 1 2 , 1 2)，斜
2 2
x +x y + y
率为-1的直线x+ y = 1 2 + 1 2 夹在矩形AABB 之间的部分，其中A(x ,y )，
2 2 1 1 1 1
A(x ,y )，B(x ,y )，B (x ,y )。
1 2 1 2 2 1 1 2
第11页 | 共11页
