2011年高考数学试卷（理）（广东）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（广东）数学高考真题

试卷类型：A 2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、 试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答 题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试 卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。 漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高 线性回归方程y =bx+a 中系数计算公式 其中x,y表示样本均值。 N是正整数，则an -bn =a-b (an-1+an-2b+…abn-2 +bn-1） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 第1页 | 共27页1. 设复数z满足1+iz =2，其中i为虚数单位，则z= A．1+i B. 1-i C. 2+2i Ｄ．2-2i 2．已知集合A= x,y ∣x,y为实数，且x2 + y2 =1 ，B= x,y x,y为实数，且 y = x，则AÇB的元素个数为 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则c(a+2b)= Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0 4. 设函数 f x和gx分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ． f x+ gx 是偶函数 Ｂ． f x- gx 是奇函数 Ｃ． f x +gx是偶函数 Ｄ． f x -gx是奇函数 ì0£ x£ 2 ï 5. 在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 íy£2 给定。若M(x,y)为 ï x£ 2y î uuuur uuur D上的动点，点A的坐标为( 2,1)，则z =OM ON的最大值为 g A．4 2 B．3 2 C．4 D．3 6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要 再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 1 3 2 3 A． B． C． D． 2 5 3 4 7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯 视图都是矩形，则该几何体的体积为 第2页 | 共27页A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 3 8.设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS,有abS ，则称S关于数的乘法是封闭 的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T ÈU =Z,且a,b,cT,有 abcT;x,y,zV,有xyzV ，则下列结论恒成立的是 A. T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题） 9. 不等式 x+1- x-3 ³0的解集是 . 7 æ 2ö 10. x x- 的展开式中，x4的系数是 （用数字作答） ç ÷ è xø 11. 等差数列 a 前9项的和等于前4项的和. n a =1,a +a =0 若 1 k 4 ，则k=____________. f(x)= x-3x2 +1 12. 函数 在x=____________处取得极小值。 13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身 高为_____cm. 第3页 | 共27页（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为 ì 5 ìïx= 5cos ïx= t2 í (0£) 和í 4 (tR)，它们的交点坐标为___________. ïîy =sin ï îy =t 15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点 p分别作圆的切线 和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5， ∠BAC =∠APB, 则AB= 。 三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算 步骤。 （1） （本小题满分12分） 1  已知函数 f(x)=2sin( x- ),xR. 3 6 5 (1)求 f( )的值； 4    10 6 (2)设, 0, , f(3a+ )= , f(3+2)= ,求cos(+)的值.    2 2 13 5 17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中 分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是 乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 第4页 | 共27页y 75 80 77 70 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用 上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等 品数的分布列极其均值（即数学期望）。 18.(本小题满分13分) 如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形， 且∠DAB=60°，PA= PD= 2,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD ^平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值. 19.(本小题满分14分) 设圆C与两圆(x+ 5)2 + y2 =4,(x- 5)2 + y2 =4中的一个内切，另一个外切。 （1）求圆C的圆心轨迹L的方程; 3 5 4 5 （2）已知点M( , ),F( 5,0)，且P为L上动点，求 MP - FP 的最大值及此 5 5 时点P的坐标. 20.（本小题共14分） nba 设b>0,数列a 满足a=b，a = n-1 (n³2) n 1 n a +2n-2 n-1 . （1）求数列a 的通项公式； n 第5页 | 共27页bn+1 （2）证明：对于一切正整数n，a £ +1. n 2n+1 21.（本小题满分14分） 1 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y = x2 实数p，q满足 p2 -4q³0，x，x 1 2 4 . 是方程x2 - px+q=0的两根，记(p,q)=max  x , x 。 1 2 1 （1）过点A(p , p 2)(p ¹0)作L的切线教y轴于点B. 0 4 0 0 p 证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有(p,q)= 0 ; 2 （2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0. 1 1 过M(a，b)作L的两条切线l ,l ，切点分别为E(p , p2),E¢(p , p 2)，l ,l 与y轴分 1 2 1 4 1 2 4 2 1 2 别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) p XÛ P > P Û(a,b) = 1 1 2 2 ; 1 （3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥ (x+1)2- 4 5 }.当点(p,q)取遍D时，求(p,q)的最小值 4 （记为 ）和最大值（记为 ）. min max 2011年广东高考理科数学参考答案 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B C D A C D B A 第6页 | 共27页二、填空题 ９. [1,+¥)； 10. 84； 11. 10； 12. 2； 13. 185； 2 5 14. (1, )； 15. 35； 5 三、解答题 5 5   16．解：(1) f( ) = 2sin( - ) = 2sin = 2 ; 4 12 6 4  10 5  12 (2) f(3+ ) = 2sin= ，\sin= ，又[0, ]，\cos= ， 2 13 13 2 13  6 3 f(3+2) = 2sin(+ ) = 2cos= ，\cos= ， 2 5 5  4 又[0, ]，\sin= ， 2 5 16 cos(+) =coscos-sinsin= . 65 14 17．解：（1）乙厂生产的产品总数为5¸ =35； 98 2 2 （2）样品中优等品的频率为 ，乙厂生产的优等品的数量为35´ =14； 5 5 CiC2-i （3）=0,1,2， P(=i) = 2 3 (i =0,1,2)，的分布列为 C2 5  0 1 2 P 3 3 1 10 5 10 3 1 4 均值E() =1´ +2´ = . PP 5 10 5 18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，\PG ^ AD， FF 由题意知ΔABC是等边三角形，\BG ^ AD， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线， \AD ^平面PGB， DD CC G ＳＳ E ＳＳ Q EF / /PB, DE / /GB， AA BB \平面DEF//平面PGB， ＳＳ ＳＳ \AD ^平面DEF (2) 由（1）知ÐPGB为二面角P- AD-B的平面角， 第7页 | 共27页2 1 7 1 3 在RtDPGA中，PG2 = 2 -( )2 = ；在RtDBGA中，BG2 =12 -( )2 = ； 2 4 2 4 PG2 +BG2 -PB2 21 在DPGB中，cosÐPGB = = - . 2PG×BG 7 19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F(- 5,0)、F ( 5,0)， 1 2 由题意得R=|CF |-2=|CF |+2或R=|CF |-2=|CF |+2， 1 2 2 1 \||CF |-|CF ||=42 5 =|FF |， 1 2 1 2 x2 y2 可知圆心C的轨迹是以F, F 为焦点的双曲线，设方程为 - =1，则 1 2 a2 b2 x2 2a=4,a=2,c= 5,b2 =c2 -a2 =1,b=1，所以轨迹L的方程为 - y2 =1． 4 uuuur uuur （２）∵||MP|-|FP||£|MF |=2，仅当PM =lPF(l>0)时，取＂＝＂， x2 由k = -2知直线l : y =-2(x- 5)，联立 - y2 =1并整理得 MF MF 4 6 5 14 5 6 5 2 5 15x2 -32 5x+9=0解得x= 或x= (舍去），此时P( ,- ) 5 15 5 5 3 5 4 5 所以||MP|-| FP||最大值等于2，此时P( , )． 5 5 a ba n a +2(n-1) 1 2 n-1 20．解（１）法一： n = n-1 ，得 = n-1 = + × ， n a +2(n-1) a ba b b a n-1 n n-1 n-1 n 2 1 设 =b ，则b = ×b + (n³ 2)， a n n b n-1 b n 1 1 （ⅰ）当b=2时，b 是以 为首项， 为公差的等差数列， n 2 2 1 1 1 即b = +(n-1)´ = n，∴a =2 n 2 2 2 n 2 2 2 （ⅱ）当b¹2时，设b +l= ×(b +l)，则b = ×b +l( -1)， n b n-1 n b n-1 b 2 1 1 1 2 1 令l( -1) = ，得l= ，\b + = ×(b + ) (n³ 2)， b b 2-b n 2-b b n-1 2-b 1 1 1 2 1 知b + 是等比数列，\b + =(b + )×( )n-1，又b = ， n 2-b n 2-b 1 2-b b 1 b 第8页 | 共27页1 2 1 1 2n -bn nbn(2-b) \b = ×( )n - = × ，\a = ． n 2-b b 2-b 2-b bn n 2n -bn 1 1 法二：（ⅰ）当b=2时，b 是以 为首项， 为公差的等差数列， n 2 2 1 1 1 即b = +(n-1)´ = n，∴a =2 n 2 2 2 n 2b2 2b2(b-2) 3b3 3b3(b-2) （ⅱ）当b¹2时，a =b，a = = ，a = = ， 1 2 b+2 b2 -22 2 b2 +2b+4 b3 -23 nbn(b-2) 猜想a = ，下面用数学归纳法证明： n bn -2n ①当n =1时，猜想显然成立； kbk(b-2) ②假设当n = k时，a = ，则 k bk -2k (k +1)b×a (k +1)b×kbk(b-2) (k +1)bk+1(b-2) a = k = = ， k+1 a +2(n-1) kbk(b-2)+2k×(bk -2k) bk+1 -2k+1 k 所以当n = k +1时，猜想成立， nbn(b-2) 由①②知，nN*，a = ． n bn -2n 2n+1 （２）（ⅰ）当b=2时， a =2= +1，故b=2时，命题成立； n 2n+1 （ⅱ）当b¹2时，b2n +22n ³ 2 b2n ×22n = 2n+1bn， b2n-1×2+b×22n-1 ³ 2 b2n ×22n = 2n+1bn， ,bn+1×2n-1 +bn-1×2n+1 ³ 2 b2n ×22n = 2n+1bn，以上n个式子相加得 LL b2n +b2n-1×2+ +bn+1×2n-1 +bn-1×2n+1 + +b×22n-1 +22n ³ n×2n+1bn， L L n×2n+1bn(b-2) [(b2n +b2n-1×2+ +b×22n-1 +22n)-bn ×2n](b-2) L a = £ n 2n+1(bn -2n) 2n+1(bn -2n) (b2n +b2n-1×2+ +b×22n-1 +22n)(b-2)-bn ×2n(b-2) L = 2n+1(bn -2n) (b2n+1 -22n+1)-bn+1×2n +bn ×2n+1 = 2n+1(bn -2n) (b2n+1 -bn+1×2n)+(bn ×2n+1 -22n+1) bn+1 = = +1．故当b¹2时，命题成立； 2n+1(bn -2n) 2n+1 第9页 | 共27页综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立． 1 1 21．解：（１）k = y'| =( x)| = p ， AB x=p 0 2 x=p 0 2 0 1 1 1 1 直线AB的方程为y- p 2 = p (x- p )，即y = p x- p 2， 4 0 2 0 0 2 0 4 0 1 1 \q = p p- p 2，方程x2 - px+q =0的判别式D = p2 -4q =(p- p )2， 2 0 4 0 0 p±| p - p| p p 两根x = 0 = 0 或 p- 0 ， 1,2 2 2 2 p p p× p ³0，\| p- 0 |=|| p|-| 0 ||，又0£| p|£| p |， Q 0 2 2 0 p p p p p p \-| 0 |£| p|-| 0 |£| 0 |，得\| p- 0 |=|| p|-| 0 ||£| 0 |， 2 2 2 2 2 2 p \(p, q) =| 0 |． 2 （２）由a2 -4b >0知点M(a,b)在抛物线L的下方， ①当a >0,b ³0时，作图可知，若M(a,b)X ，则 p > p ³0，得| p |>| p |； 1 2 1 2 若| p |>| p |，显然有点M(a,b)X ； \M(a,b)X Û| p |>| p |． 1 2 1 2 ②当a >0,b 0时，点M(a,b)在第二象限， 作图可知，若M(a,b)X ，则 p >0 > p ，且| p |>| p |； 1 2 1 2 若| p |>| p |，显然有点M(a,b)X ； 1 2 \M(a,b)X Û| p |>| p |． 1 2 根据曲线的对称性可知，当a 0时，M(a,b)X Û| p |>| p |， 1 2 综上所述，M(a,b)X Û| p |>| p |（*）； 1 2 p p 由（１）知点M在直线EF上，方程x2 -ax+b =0的两根x = 1 或a- 1 ， 1,2 2 2 p p 同理点M在直线E'F'上，方程x2 -ax+b =0的两根x = 2 或a- 2 ， 1,2 2 2 p p p p p 若(a,b) =| 1 |，则| 1 |不比|a- 1 |、| 2 |、|a- 2 |小， 2 2 2 2 2 \| p |>| p |，又| p |>| p | Þ M(a,b)X ， 1 2 1 2 第10页 | 共27页p p \(a,b) =| 1 |Þ M(a,b)X ；又由（１）知，M(a,b)X Þ(a,b) =| 1 |； 2 2 p \(a,b) =| 1 |Û M(a,b)X ，综合（*）式，得证． 2 1 5 （３）联立y = x-1，y = (x+1)2 - 得交点(0,-1),(2,1)，可知0£ p £ 2， 4 4 1 x 2 -q 1 4 0 1 过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为(x , x 2)，则 = x ， 0 4 0 x - p 2 0 0 得x 2 -2px +4q =0，解得x = p+ p2 -4q ， 0 0 0 1 5 又q ³ (p+1)2 - ，即 p2 -4q £ 4-2p， 4 4 1 1 5 \x £ p+ 4-2p ，设 4-2p =t ，\x £ - t2 +t +2 = - (t -1)2 + ， 0 0 2 2 2 x 5 5  =| 0 | ，又x £ ，\ = ； Q max 2 max 0 2 max 4 q £ p-1，\x ³ p+ p2 -4p+4 = p+| p-2|= 2， Q 0 x \ =| 0 | =1． min 2 min 2011年普通高等学校招生全国统一考试 第11页 | 共27页【广东卷】（理科数学） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第 4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一、选择题：（每小题5分，共60分） 【2011×广东理，1】1．设复数z满足(1+i)z =2，其中i为虚数单位，则z = ( )． A．1+i B．1-i C．2+2i D．2-2i 【答案】B． 2 【解析】依题意得z = =1-i，故选B． 1+i 【2011×广东理，2】2．已知集合A={(x,y)| x,y为实数,且x2 + y2 =1  ,B={(x,y)| x,y为实数,且y = x,则A B的元素个数为( )． I A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C． 【解析】 题意等价于求直线y= x与圆x2 + y2 =1的交点个数,画大致图像可得答案． 【2011×广东理，3】3．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c×(a+2b)=( )． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D． 【解析】因为a∥b且a⊥c,所以b⊥c，从而c×(a+2b)=c×a+2c×b=0． 【2011×广东理，4】4．设函数 f(x)和g(x)分别是实数集R上的偶函数和奇函数，则下列结 论恒成立的是( )． A． f x+ gx 是偶函数 B． f x- gx 是奇函数 C． f x +gx是偶函数 D． f x -gx是奇函数 【答案】A． 第12页 | 共27页【解析】 依题意 f(-x)= f(x),g(-x)=-g(x),故 f(-x)+|g(-x)|= f(x)+|g(x)|,从而 f(x)+|g(x)| 是偶函数，故选A． ì0£ x£ 2 ï 【2011×广东理，5】5．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组íy£2 给定． ï x£ 2y î 若M(x,y)为D上的动点，点A的坐标为( 2,1)，则 y uuuur uuur z =OM ×OA的最大值为 ( )． 2 A．4 2 B．3 2 C．4 D．3 A 【答案】C． 【解析】 目标函数即z = 2x+ y,画出可行域如图所示， O 2 x 代入端点比较之，易得当x= 2,y =2时z取得最大值4,故 选C． 【2011×广东理，6】6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军 ，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． 1 3 2 3 A． B． C． D． 2 5 3 4 【答案】D． 【解析】设甲队获得冠军为事件A,则A包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜 1 1 1 3 ;故所求概率P(A)= + ´ = ,从而选D． 2 2 2 4 【2011×广东理，7】7．如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图 ）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )． 第13页 | 共27页A．6 3 B．9 3 C．12 3 D．18 3 【答案】B． 【解析】该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为3的四棱柱，又平行四边形的底 边长为3,高为 3,所以面积S =3 3,从而所求几何体的体积V =Sh=9 3,故选B． 【2011×广东理，8】8．设S是整数集Z 的非空子集，如果a,bS，有abS ，则称S关 于数的乘法是封闭的．若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集, Y V =Z ,且a,b,cT ,有abcT ；x,y,zV ,有xyzV ,则下列结论恒成立的是 ( U )． A．T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A． 【解析】 因为T V =Z ,故必有1T 或1V ,不妨设1T ,则令c=1,依题意对a,bT ,有 U abT ,从而T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A了,但为了严谨,我们往下证明可以 有一个不封闭以及可以两个都封闭),取T = N ,则V 为所有负整数组成的集合,显然T 封闭,但 第14页 | 共27页V 显然是不封闭的,如(-1)´(-2)=2ÏV ;同理,若T ={奇数}，V ={偶数}，显然两者都 封闭，从而选A． 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 【2011×广东理，9】9．不等式 x+1- x-3 ³0的解集是 ． 【答案】1,+¥． ìx£-1 ì-1x£3 ìx>3 【解析】解法一:原不等式Û í 或í 或í ， î-(x+1)-(3-x)³0 îx+1-(3-x)³0 îx+1-(x-3)³0 解得x³1,从而原不等式的解集为[1,+¥). 解法二(首选):|x+1|-|x-3|的几何意义为到点-1的距离与到点3的距离的差,画出数轴 易得x³1. 解法三:不等式即|x+1|³|x-3|,平方得x2 +2x+1³ x2 -6x+9,解得x³1.． 2 【2011×广东理，10】10．x(x- )7的展开式中x4的系数是 （用数字作答）． x 【答案】 84． 2 【解析】题意等价于求(x- )7的展开式中x3的系数T =(-2)kCkx7-2k ,k =0,1,2,3, ,7, x k+1 7 L 令7-2k =3得k =2,故所求系数为4C2 =84． 7 【2011×广东理，11】11．等差数列a 的前9项和等于前4项和，若a =1,a +a =0，则 n 1 k 4 k = ． 【答案】 10． 【解析】由S =S 得a +a +a +a +a =5a =0,a +a =0=2a =a +a ,故k =10． 9 4 5 6 7 8 9 7 k 4 7 4 10 【2011×广东理，12】12．函数 f(x)= x3-3x2 +1在x= 处取得极小值． 【答案】 2． 【解析】 f¢(x)=3x2 -6x=3x(x-2),当x0或x>2时， f¢(x)>0；当0 x2时， f¢(x)0，故当x=2时， f(x)取得极小值． 第15页 | 共27页【2011×广东理，12】13 ．某数学老师身高176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm，因儿子 的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm． 【答案】 185． 【解析】抓住“儿子的身高与父亲的身高有关”提炼数据(173,170),(170,176),(176,182),易 n n 得平均值x=173,y =176,于是å(x -x)(y - y)=3´6=18，å(x -x)2 =18， i i i i=1 i=1 从而b =1，,a =176-1´173=3，所以线性回归方程为y = x+3，当x=182时，y =185 ． 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 二、填空题：（每小题5分，共25分） 【2011×广东理，14】14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 ì 5 ìïx= 5cos ïx= t2 í （0≤ ＜ 和í 4 （t∈R），它们的交点坐标为 ． ïîy =sin ï îy =t 2 5 【答案】(1, )． 5 x2 4 【解析】对应普通方程为 + y2 =1(- 5  x£ 5,0£ y£1),y2 = x,联立方程消去y得 5 5 2 5 x2 +4x-5=0,解得x=1或x=-5(舍去),于是x=1,y = ,故所求交点坐标为 5 2 5 (1, )． 5 【2011×广东理，15】15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分别做圆的切线 和割线交圆于A，B两点，且PB=7，C是圆上一点使得BC =5，ÐBAC =ÐAPB，则 AB= ． 【答案】 35． AB PB 【解析】结合弦切角定理易得DABP DCBA,于是 = , : BC AB 代入数据解得AB= 35． 第16页 | 共27页三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 1  【2011×广东理，16】16．（本小题满分12分）已知函数 f(x)=2sin( x- ),xR． 3 6 5 (Ⅰ) 求 f( )的值； 4   10 6 (Ⅱ) 设,[0, ]， f(3+ )= ， f(3+2)= ，求cos(+)的值． 2 2 13 5 【解析】 ． 5 1 5   (Ⅰ) f( ) =2sin( × - )=2sin = 2 ； 4 3 4 6 4    10 5 (Ⅱ) 因为 f(3+ )=2sin(+ - )=2sin= ，所以sin= ， 2 6 6 13 13 2   6 3 因为 f(3+2)=2sin(+ - )=2sin(+ )=2cos= ,所以cos= ， 3 6 2 5 5   12 4 又, 0, ,所以cos= 1-sin2= ，sin= 1-cos2= ，    2 13 5 12 3 5 4 16 所以cos(+)=coscos-sinsin= ´ - ´ = ． 13 5 13 5 65 【2011×广东理，17】17．（本小题满分13分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样 的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x,y的含量（单位： 毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 (Ⅰ) 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； (Ⅱ) 当产品中微量元素x,y满足x³175且y³75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂 生产的优等品的数量； (Ⅲ) 从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数的分布列及其均 值（即数学期望）． 【解析】 ． 5 解：(Ⅰ) 乙厂生产的产品数量为98´ =35件； 14 (Ⅱ) 2 样本中满足x³175，且y³75的产品有2件,故样本频率为 ,则可估计乙厂生产的优等品数 5 第17页 | 共27页2 量为35´ =14件； 5 C2 3 C1C1 3 (Ⅲ) 的可能取值为0,1,2,且P(=0)= 3 = ,P(=1)= 3 2 = , C2 10 C2 5 5 5 C2 1 CiC2-i P(=2)= 2 = ．【或者P(=i) = 2 3 (i =0,1,2)】 C2 10 C2 5 5 故的分布列为  0 1 2 3 3 1 P 10 5 10 3 3 1 4 的数学期望E=0´ +1´ +2´ = ． 10 5 10 5 【2011×广东理，18】18．（本小题满分13分）如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长 为1的菱形，且ÐDBA=60o，PA= PD= 2，PB=2，E，F 分别是BC，PC的中点 ． (Ⅰ) 证明：AD⊥平面DEF ； (Ⅱ) 求二面角P-AD-B的平面角． 【解析】 ． (Ⅰ)取AD的中点G，又PA=PD，\PG ^ AD， 由题意知ΔABC是等边三角形，\BG ^ AD， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线， \AD ^平面PGB， EF//PB, DE//GB， Q \平面DEF//平面PGB， \AD ^平面DEF (Ⅱ)由（1）知ÐPGB为二面角P- AD-B的平面角， 2 1 7 1 3 在RtDPGA中，PG2 = 2 -( )2 = ；在RtDBGA中，BG2 =12 -( )2 = ； 2 4 2 4 PG2 +BG2 -PB2 21 在DPGB中，cosÐPGB= =- ． 2PG×BG 7 第18页 | 共27页另解：（Ⅰ）连接AE，BD， 因为ABCD是边长为1的菱形，且ÐDAB=60°， E是BC的中点，所以DABD,DBCD均为正三角形， z 3 1 且DE = ,BE = ,ÐABE =120°， 2 2 7 所以AE2 = AB2 +BE2 -2AB×BE×cosÐABE = M 4 y 3 7 x 所以AD2 +DE2 =1+ = = AE2，从而AD^ DE， 4 4 取AD的中点M ，连接PM,BM ，因为PA= PD，BA= BD，所以 PM ^ AD,BM ^ AD, 又PM BM =M ，所以AD^平面PBM ，所以AD^ PB， I 在DBCP中，因为E,F分别是BC, PC的中点，所以EF//PB，所以AD^ EF 又EF DE = E，所以AD^平面DEF . I （Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知ÐBMP为二面角P-AD-B的平面角, 3 1 7 易得BM = ,PM = ( 2)2 -( )2 = , 2 2 2 BM2 +PM2 -PB2 21 在DBPM 中,PB=2,由余弦定理得cosÐBMP= =- 2BM ×PM 7 21 所以二面角P-AD-B的余弦值为- ． 7 解法二:先证明DF ^平面ABCD，即证明DF ^ DE即可， 12+( 5)2-( 2)2 2 在RtDPBC中，PC= 22+12 = 5；在DPDC中，cosÐDCP= = 2´1´ 5 5 ， 5 5 2 1 1 所以在DFDC中，DF2 =12 +( )2 -2´1´ ´ = ，DF = ． 2 2 5 4 2 3 1 在DDEF 中，DE2 +DF2 =( )2 + =1= EF2，故DDEF 为直角三角形，从而 2 4 DF ^ DE. 1 3 建立空间直角坐标系D-xyz如图所示,则D(0,0,0),A(1,0,0),P(- ,- ,1), 2 2 uuur uuur 1 3 所以DA=(1,0,0),DP=(- ,- ,1),设平面PAD的一个法向量为n =(x,y,z)，则 2 2 1 uuur ìx=0 ìx=0 ì ïn ×DA=0 ï ï í 1 uuur ，从而í 1 3 ，解得í 3 ，令y =2得n 1 =(0,2, 3) ïî n ×DP=0 ï- x- y+z =0 ïz = y 1 î 2 2 î 2 显然平面DAB的一个法向量为n =(0,0,1)， 2 第19页 | 共27页n ×n 3 21 21 从而cosn,n >= 1 2 = = ，所以二面角P-AD-B的余弦值为- ． 1 2 |n ||n | 7×1 7 7 1 2 【2011×广东理，19】19．（本小题满分14分）设圆C与两圆 (x+ 5)2 + y2 =4,(x- 5)2 + y2 =4中的一个内切，另一个外切． (Ⅰ) 求圆C的圆心轨迹L的方程； (Ⅱ) 3 5 4 5 已知点M ( , ),F( 5,0),且P为L上动点，求 MP - FP 的最大值及此时点 5 5 P的坐标． 【解析】 ． （Ⅰ）设圆C的圆心为C(x,y)，半径为r，圆(x+ 5)2 + y2 =4的圆心为F(- 5,0),半径 1 ì|CF |=r+2 为2；圆(x- 5)2 + y2 =4的圆心为F ( 5,0),半径为2；依题意,有í 1 或 2 |CF |=r-2 î 2 ì|CF |=r-2 í 1 ，所以||CF |-|CF ||=42 5 =|FF |． |CF |=r+2 1 2 1 2 î 2 所以圆C的圆心轨迹L是以原点为中心,焦点在x轴上,焦距为2c=2 5,实轴长为2a=4的 x2 双曲线,因此a=2,c= 5,b=1,故轨迹L的方程为 - y2 =1. 4 3 5 4 5 （Ⅱ）易得过点M ( , ),F( 5,0)的直线l的方程为y =-2(x- 5), 5 5 ìx2 ï -y2 =1 6 5 14 5 联立方程í 4 ，消去y得15x2 -32 5x+84=0,解得x = ,x = , 1 5 2 15 ï îy=-2(x- 5) 6 5 2 5 14 5 2 5 则直线l与双曲线L的交点为P( ,- ),P( , ), 1 5 5 2 15 15 2 5 4 5 因为P在线段MF外,所以||MP|-|FP||=|MF|= ( )2+( )2 =2, 1 1 1 5 5 因为P 在线段MF内,所以||MP |-|FP |||MF |, 2 1 1 若点P不住MF上,则||MP|-|FP|||MF |, 6 5 2 5 综上, MP - FP 的最大值为2,此时点P的坐标为( ,- ). 5 5 解析二： 第20页 | 共27页(Ⅰ) 两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F(- 5,0)、F ( 5,0)， 1 2 由题意得R=|CF |-2=|CF |+2或R=|CF |-2=|CF |+2， 1 2 2 1 \||CF |-|CF ||=42 5 =|FF |， 1 2 1 2 x2 y2 可知圆心C的轨迹是以F, F 为焦点的双曲线，设方程为 - =1，则 1 2 a2 b2 x2 2a=4,a=2,c= 5,b2 =c2 -a2 =1,b=1，所以轨迹L的方程为 - y2 =1． 4 uuuur uuur (Ⅱ) ∵||MP|-|FP||£|MF |=2，仅当PM =lPF(l>0)时，取＂＝＂， x2 由k = -2知直线l : y =-2(x- 5)，联立 - y2 =1并整理得 MF MF 4 6 5 14 5 6 5 2 5 15x2 -32 5x+9=0解得x= 或x= (舍去)，此时P( ,- )． 5 15 5 5 3 5 4 5 所以||MP|-| FP||最大值等于2，此时P( , )． 5 5 【2011×广东理，20】20．（本小题满分14分）设b>0，数列{a }满足,a =b n 1 nba a = n-1 (n³2)． n a +2n-2 n-1 (Ⅰ) 求数列{a }的通项公式； n bn+1 (Ⅱ) 证明：对于一切正整数n，a £ +1． n 2n+1 【解析】 ． nba n 2 n-1 1 （Ⅰ）由a = n-1 得 = × + , n a +2n-2 a b a b n-1 n n-1 n n-1 1 n 1 1 1 当b=2时, - = , 所以{ }是以首项为 = ,公差为 的等差数列, a a 2 a a 2 2 n n-1 n 1 n 1 1 n 所以 = +(n-1)× = ,从而a =2. a 2 2 2 n n n 1 2 n-1 1 n 1 1 1 2 当b¹2时, + = ( + ),所以{ + }是首项为 + = ， a 2-b b a 2-b a 2-b a 2-b b(2-b) n n-1 n 1 2 n 1 2 2 2n 公比为 的等比数列,所以 + = ×( )n-1= ， b a 2-b b(2-b) b bn(2-b) n nbn(2-b) 从而a = . n 2n -bn 第21页 | 共27页ì2, b=2 ï 综上所述，数列a 的通项公式为a =ínbn(2-b) n n ,b¹2 ï î 2n -bn （Ⅱ）当b=2时,不等式显然成立； bn+1 nbn(2-b) bn+1 当b¹2时,要证a £ +1,只需证 £ +1,即证 n 2n+1 2n -bn 2n+1 bn-2n n×2n+1×bn £(2n+1+bn+1)× (*) b-2 bn -2n 因为(2n+1+bn+1)× =(2n+1+bn+1)(bn-1+2bn-2 +22bn-3 + +2n-1) L b-2 =(2n+1bn-1+2n+2bn-2 + +22n)+(b2n +2b2n-1+ +2n-1bn+1) L L 1 2 2n-1 bn bn-1 b =2n+1bn[( + + + )+( + + + )] L L b b2 bn 2n+1 2n 22 1 b 2 b2 2n-1 bn =2n+1bn[( + )+( + )+ +( + )] L b 22 b2 23 bn 2n+1 1 b 2 b2 2n-1 bn ³2n+1bn(2 × +2 × + +2 × )=2n+1bn(1+1+ +1)=n2n+1bn L L b 22 b2 23 bn 2n+1 所以不等式（*）成立，从而原不等式成立； bn+1 综上所述，当b>0时，对于一切正整数n,a £ +1. n 2n+1 解析二： a ba n a +2(n-1) 1 2 n-1 (Ⅰ) 解法一： n = n-1 ，得 = n-1 = + × ， n a +2(n-1) a ba b b a n-1 n n-1 n-1 n 2 1 设 =b ，则b = ×b + (n³ 2)， a n n b n-1 b n 1 1 （ⅰ）当b=2时，b 是以 为首项， 为公差的等差数列， n 2 2 1 1 1 即b = +(n-1)´ = n，∴a =2 n 2 2 2 n 2 2 2 （ⅱ）当b¹2时，设b +l= ×(b +l)，则b = ×b +l( -1)， n b n-1 n b n-1 b 2 1 1 1 2 1 令l( -1) = ，得l= ，\b + = ×(b + ) (n³ 2)， b b 2-b n 2-b b n-1 2-b 1 1 1 2 1 知b + 是等比数列，\b + =(b + )×( )n-1，又b = ， n 2-b n 2-b 1 2-b b 1 b 1 2 1 1 2n -bn nbn(2-b) \b = ×( )n - = × ，\a = ． n 2-b b 2-b 2-b bn n 2n -bn 第22页 | 共27页1 1 解法二：（ⅰ）当b=2时，b 是以 为首项， 为公差的等差数列， n 2 2 1 1 1 即b = +(n-1)´ = n，∴a =2 n 2 2 2 n 2b2 2b2(b-2) 3b3 3b3(b-2) （ⅱ）当b¹2时，a =b，a = = ，a = = ， 1 2 b+2 b2 -22 2 b2 +2b+4 b3 -23 nbn(b-2) 猜想a = ，下面用数学归纳法证明： n bn -2n ①当n =1时，猜想显然成立； kbk(b-2) ②假设当n = k时，a = ，则 k bk -2k (k +1)b×a (k +1)b×kbk(b-2) (k +1)bk+1(b-2) a = k = = ， k+1 a +2(n-1) kbk(b-2)+2k×(bk -2k) bk+1 -2k+1 k 所以当n = k +1时，猜想成立， nbn(b-2) 由①②知，nN*，a = ． n bn -2n 2n+1 (Ⅱ)（ⅰ）当b=2时， a =2= +1，故b=2时，命题成立； n 2n+1 （ⅱ）当b¹2时，b2n +22n ³ 2 b2n ×22n = 2n+1bn， b2n-1×2+b×22n-1 ³ 2 b2n ×22n = 2n+1bn， ,bn+1×2n-1 +bn-1×2n+1 ³ 2 b2n ×22n = 2n+1bn，以上n个式子相加得 LL b2n +b2n-1×2+ +bn+1×2n-1 +bn-1×2n+1 + +b×22n-1 +22n ³ n×2n+1bn， L L n×2n+1bn(b-2) [(b2n +b2n-1×2+ +b×22n-1 +22n)-bn ×2n](b-2) L a = £ n 2n+1(bn -2n) 2n+1(bn -2n) (b2n +b2n-1×2+ +b×22n-1 +22n)(b-2)-bn ×2n(b-2) L = 2n+1(bn -2n) (b2n+1 -22n+1)-bn+1×2n +bn ×2n+1 = 2n+1(bn -2n) (b2n+1 -bn+1×2n)+(bn ×2n+1 -22n+1) bn+1 = = +1．故当b¹2时，命题成立； 2n+1(bn -2n) 2n+1 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立． 【2011×广东理，21】21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线 1 L: y = x2，实数 p,q满足 p2 -4q³0，x ,x 是方程x2 - px+q=0的两根，记 4 1 2 (p,q)=max{|x |,|x |} 1 2 ． 第23页 | 共27页1 (1) 过点A(p , p 2)(p ¹0)作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点 0 4 0 0 | p | Q(p,q)，有(p,q)= 0 ； 2 (2) 设M(a,b)是定点，其中a,b满足a2 -4b>0,a¹0．过M(a,b)作L的两条切线l ,l ，切点 1 2 1 1 分别为E(p , p2),E¢(p , p 2)，l ,l 与y轴分别交于F,F¢．线段EF 上异于两端点的点 1 4 1 2 4 2 1 2 | p | 集记为X ，证明：M(a,b)X Û| p |>| p |Û(a,b)= 1 ； 1 2 2 (3) 1 5 设D={(x,y)| y£ x-1,y³ (x+1)2 - }，当点(p,q)取遍D时，求(p,q)的最小值 4 4 （记为 ）和最大值（记为 ）． min max 【解析】 ． 1 1 1 1 （Ⅰ）因为y¢= x,所以y¢| = p ,过点A的切线方程为y- p 2 = p (x- p ) 2 x=p 0 2 0 4 0 2 0 0 p p 2 p 2 p p p 2 即y = 0 x- 0 ,从而B(0,- 0 ),又Q(p,q)在直线AB上,故q= 0 - 0 ,其中 2 4 4 2 4 0£| p|£| p | 0 p p p 2 p p 所以方程为x2 - px+ 0 - 0 =0,解得x = 0 ,x = p- 0 2 4 1 2 2 2 p p p 由于0£| p|£| p |,且 p, p 同号,所以|x |=| p- 0 |=| 0 |=|x |,所以(p,q)= 0 . 0 0 2 2 2 1 2 1 p p2 （Ⅱ）过点M(a,b)且切点为E(p , p2)的L的切线l 方程为EF :y = 1 x- 1 1 4 1 1 2 4 p p2 1 因为M(a,b)l ,所以b= 1 a- 1 且0|a|| p |,因为E¢(p , p 2), 1 2 4 1 2 4 2 1 p p2 p 2 -( 1 a- 1 ) 所以k = 4 2 2 4 = p 2 ,即 1 p 2 -( p 1 a- p 1 2 )= p 2 (p -a) ME¢ p -a 2 4 2 2 4 2 2 2 p2 p 2 p p p2 p 2 p p p p 即 1 - 2 = 1 a- 2 a,所以 1 - 2 =( 1 + 2 -a)( 1 - 2)=0,所以 p =2a- p 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 1 因为0|a|| p |,且a, p 同号,所以| p |=|2a- p ||2p - p |=| p | 1 1 2 1 1 1 1 反之也成立,所以M(a,b) X Û | p |>| p |, 1 2 | p | 由（Ⅰ）可知,M(a,b) X Þ(a,b)= 1 ,反之,逆推也成立,所以M(a,b) X 2 第24页 | 共27页| p | Û(a,b)= 1 ， 2 p 综上,M(a,b) X Û | p |>| p | Û(a,b) = 1 . 1 2 2 （Ⅲ）此题即求当点(p,q)取遍D时,方程x2-px+q=0的绝对值较大的根的最大值与最 小值, p± p2 -4q 1 5 解方程得x= ,因为D={(x,y)| y£ x-1,y³ (x+1)2 - }, 2 4 4 1 5 p+ p2-4q 令x-1= (x+1)2- ,解得x=0或x=2，所以0£ p£2，(p,q)= ， 4 4 2 1 5 因为(p,q)D，所以 (p+1)2 - £q£ p-1，于是(p+1)2 -5£4q£4p-4， 4 4 p+ p2 -4q p+ -2p+4 所以(p-2)2 £ p2 -4q£-2p+4，所以(p,q)= [1, ]， 2 2 p+ -2p+4 4-t2 设 f(p)= （0£ p£2），令t = -2p+4 ，则 p= (0£t £2)， 2 2 1 1 1 5 5 则 f(p)= g(t)=- t2 + t+1=- (t-1)2 + ，所以 f(p)[1, ]． 4 2 4 4 4 3 5 5 综上，当 p=2,q=1或 p=0,q=-1时， =1；当 p= ,q= 时， = ． min 2 16 max 4 1 5 (Ⅲ) 联立y = x-1，y = (x+1)2 - 得交点(0,-1),(2,1)，可知0£ p £ 2， 4 4 1 x 2 -q 1 4 0 1 过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为(x , x 2)，则 = x ， 0 4 0 x - p 2 0 0 得x 2 -2px +4q =0，解得x = p+ p2 -4q ， 0 0 0 1 5 又q ³ (p+1)2 - ，即 p2 -4q £ 4-2p， 4 4 1 1 5 \x £ p+ 4-2p ，设 4-2p =t ，\x £ - t2 +t +2 = - (t -1)2 + ， 0 0 2 2 2 x 5 5  =| 0 | ，又x £ ，\ = ； Q max 2 max 0 2 max 4 q £ p-1，\x ³ p+ p2 -4p+4 = p+| p-2|= 2， Q 0 x \ =| 0 | =1． min 2 min 第25页 | 共27页解析二： 1 1 (1) k = y'| =( x)| = p ， AB x=p 0 2 x=p 0 2 0 1 1 1 1 直线AB的方程为y- p 2 = p (x- p )，即y = p x- p 2， 4 0 2 0 0 2 0 4 0 1 1 \q = p p- p 2，方程x2 - px+q =0的判别式D = p2 -4q =(p- p )2， 2 0 4 0 0 p±| p - p| p p 两根x = 0 = 0 或 p- 0 ， 1,2 2 2 2 p p p× p ³0，\| p- 0 |=|| p|-| 0 ||，又0£| p|£| p |， Q 0 2 2 0 p p p p p p \-| 0 |£| p|-| 0 |£| 0 |，得\| p- 0 |=|| p|-| 0 ||£| 0 |， 2 2 2 2 2 2 p \(p, q) =| 0 |． 2 (2) 由a2 -4b >0知点M(a,b)在抛物线L的下方， ①当a >0,b ³0时，作图可知，若M(a,b)X ，则 p > p ³0，得| p |>| p |； 1 2 1 2 若| p |>| p |，显然有点M(a,b)X ； \M(a,b)X Û| p |>| p |． 1 2 1 2 ②当a >0,b 0时，点M(a,b)在第二象限， 作图可知，若M(a,b)X ，则 p >0 > p ，且| p |>| p |； 1 2 1 2 若| p |>| p |，显然有点M(a,b)X ； 1 2 \M(a,b)X Û| p |>| p |． 1 2 根据曲线的对称性可知，当a 0时，M(a,b)X Û| p |>| p |， 1 2 综上所述，M(a,b)X Û| p |>| p |（*）； 1 2 p p 由（１）知点M在直线EF上，方程x2 -ax+b =0的两根x = 1 或a- 1 ， 1,2 2 2 p p 同理点M在直线E¢F¢上，方程x2 -ax+b =0的两根x = 2 或a- 2 ， 1,2 2 2 p p p p p 若(a,b) =| 1 |，则| 1 |不比|a- 1 |、| 2 |、|a- 2 |小， 2 2 2 2 2 \| p |>| p |，又| p |>| p | Þ M(a,b)X ， 1 2 1 2 p p \(a,b) =| 1 |Þ M(a,b)X ；又由（１）知，M(a,b)X Þ(a,b) =| 1 |； 2 2 第26页 | 共27页p \(a,b) =| 1 |Û M(a,b)X ，综合（*）式，得证． 2 1 5 (3) 联立y = x-1，y = (x+1)2 - 得交点(0,-1),(2,1)，可知0£ p £ 2， 4 4 1 x 2 -q 1 4 0 1 过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为(x , x 2)，则 = x ， 0 4 0 x - p 2 0 0 得x 2 -2px +4q =0，解得x = p+ p2 -4q ， 0 0 0 1 5 又q ³ (p+1)2 - ，即 p2 -4q £ 4-2p， 4 4 1 1 5 \x £ p+ 4-2p ，设 4-2p =t ，\x £ - t2 +t +2 = - (t -1)2 + ， 0 0 2 2 2 x 5 5  =| 0 | ，又x £ ，\ = ； Q max 2 max 0 2 max 4 q £ p-1，\x ³ p+ p2 -4p+4 = p+| p-2|= 2， Q 0 x \ =| 0 | =1． min 2 min 第27页 | 共27页