2011年高考数学试卷（文）（广东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（广东）数学高考真题

试卷类型：B
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形
码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错
涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
1
参考公式：锥体体积公式V = Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
3
n
å(x -x)(y - y)
i i
线性回归方程y =bx+a 中系数计算公式b = i=1 ，a = y-bx，
n
å(x -x)2
i
i=1
1
样本数据x ,x , ,x 的标准差，s = [(x -x)2 +(x -x)2 + +(x -x)2]，
1 2 L n n 1 2 L n
其中x，y表示样本均值．
n是正整数，则an -bn =(a-b)(an-1+an-2b+ +abn-2 +bn-1)．
L
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设复数z满足iz =1，其中i为虚数单位，则z =
A．-i B．i C．-1 D．1
1 -i
【解析】A.由题得z = = =-i所以选A.
i i´(-i)
2．已知集合A={(x,y)|x,y为实数，且x2 + y2 =1}，B={(x,y)|x,y为实数，且x+ y =1}，
则AÇB的元素个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
第1页 | 共13页x2 + y2 =1 x =1 x =0
【解析】C.方法一：由题得  或  ，A  B ={(x,y)|(1,0),(0,1)}，所
x+ y =1 y =0 y =1
以选C.
方法二：直接作出单位圆x2 + y2 =1和直线x+ y =1，观察得两曲线有两个交点，所以选C.
3．已知向量a =(1,2),b=(1,0),c =(3,4)．若l为实数，(a+lb)∥c，则l=
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
r r r
【解析】B.a+lb =(1,2)+(l,0) =(1+l,2)，(a+lb)//c
1
(1+l)´4-2´3=0 l=
2
所以选B.
1
4．函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是
1-x
A．(-¥,-1) B．(1,+¥) C．(-1,1)È(1,+¥) D．(-¥,+¥)
1-x  0
【解析】C.由题得 x  -1且x 1 函数的定义域为（-1,1）  （1，+¥），所以选
x+10
C.
5．不等式2x2 -x-10的解集是
1 1
A．(- ,1) B．(1,+¥) C．(-¥,1)È(2,+¥) D．(-¥,- )È(1,+¥)
2 2
1
【解析】D由题得2x2 -x-10Þ(x-1)(2x+1)0Þ x<- 或x1，则不等式的解集为
2
1
(-¥,- )È(1,+¥)
2
0≤x≤ 2
ï
6．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组y≤2 给定．若M(x,y)为D上的动
ï
x≤ 2y

uuuur uuur
点，点A 的坐标为( 2,1)，则z =OM ×OA的最大值为
A．3 B．4 C．3 2 D．4 2
【解析】B由题知不等式组表示的平面区域D是如图中的梯形OABC,
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
z =OM ×OA=|OM |×|OA|cosÐAOM = 3|OM |cosÐAOM = 3|ON |，所以就是求|ON |
第2页 | 共13页的最大值，|ON |表示OM在OA方向上的投影，数形结合观察得当点M在点B的地方时，|ON |才
最大。
2 2
2 2 3 + 6 -12 2
在DAOM中，OA= 2 +1= 3,OB= 2 +4= 6,AB=2-1=1,cosÐAOM = = 2
2 3 6 3
g g
2
,所以z = 3 6 2 = 4，所以选择B
max 3
7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正
五棱柱对角线的条数共有
A．20 B．15 C．12 D．10
【解析】D正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个
正五棱柱对角线的条数共有5´2=10条
8．设圆C与圆x2 +(y-3)2 =1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
【解析】A.设圆C圆心C(x,y)，半径为R,A(0,3),点C到直线y=0的距离为|CB|，由题得
1
|CA|= R+1= y+1  x2 +(y-3)2 = y+1 y = x2 +1,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，
8
所以选A.
9．如图1 ~
3，某几何体的正视图（主视图），侧视图 （左视图）和俯视图分别
是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该 几何体的
体积为
2 3
A．4 3 B．4
C．2 3 D．2
2
正视图 侧视图
图1 图2
2
第3页 | 共13页
俯视图
图3【解析】C.由题得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，
2 1 1
AO = 22 -1 = 3，棱锥的高h = PO = 2 3 -3 = 12-3 =3 V = ´ ´2´ 3´2´3= 2 3，
3 2
所以选择C.
10．设 f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(f g) (x)和(f g) (x)：对
o g
任意xÎR，(f g) (x) = f(g(x))；(f g) (x) = f(x)g(x)，则下列等式恒成立的是
o g
A．( (f g) h ) (x) = ( (f h) (g h) ) (x)
o g g o g
B．( (f g) h ) (x) = ( (f h) (g h) ) (x)
g o o g o
C．( (f g) h ) (x) = ( (f g) (g h) ) (x)
o o o o o
D．( (f g) h ) (x) = ( (f g) (g h) ) (x)
g g g g g
【解析】B.对A选项 ( (f g) h ) (x) = (f g) (x)h(x) = f(g(x))h(x)
o g o
( (f h) (g h) ) (x) = (f h) ( (g h)(x) ) = (f h) ( (g(x) h(x) )
g o g g g g g
= f(g(x) h(x))h(g(x) h(x))，故排除A
g g
对B选项 ( (f g) h ) (x) = (f g)(h(x))= f(h(x))g(h(x))
g o g
( (f h) (g h) ) (x) = (f h)(x)(g h)(x) = f(h(x))g(h(x))，故选B
o g o o o
对C选项 ( (f g) h ) (x) = (f g)(h(x)) = f(g(h(x)))
o o o
( (f g) (g h) ) (x) = (f g)((g h)(x))=(f g)(g(h(x)))
o o o o o o
= f(g(g(h(x))))，故排除C
对D选项 ( (f g) h ) (x) = (f g)(x)h(x)= f(x)g(x)h(x)
g g g
( (f g) (g h) ) (x) = (f g)(x)(g h)(x)= f(x)g(x)g(x)h(x)，故排除D
g g g g g
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（9 ~ 13题）
第4页 | 共13页11．已知{a }是递增的等比数列，若a =2，a -a =4，则此数列的公比q=
n 2 4 3
．
【解析】2．
a -a =4Þa q2 -a q =4Þ2q2 -2q-4=0Þ2(q-2)(q+1)=0 Þq =2或q=-1
4 3 2 2
∵{a }是递增的等比数列，∴q=2
n
12．设函数 f(x)= x3cosx+1．若 f(a)=11，则 f(-a)= ．
【解析】-9
f(a)=a3cosa+1=11，即 f(a)=a3cosa =10，
则 f(-a)=(-a)3cos(-a)+1=-a3cosa+1=-10+1=-9
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号
每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为
；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ．
0.4+0.5+0.6+0.6+0.4
【解析】0.5;0.53由题得小李这 5天的平均投篮命中率为 =0.5
5
1+2+3+4+5 0.4+0.5+0.6+0.6+0.4
x = =3,y = =0.5
5 5
Ù (1-3)(0.4-0.5)+(2-3)(0.5-0.5)+(3-3)(0.6-0.5)+(4-3)(0.6-0.5)+(5-3)(0.4-0.5)
b= =0.01
(1-3)2 +(2-3)2 +(3-3)2 +(4-3)2 +(5-3)2
Ù Ù Ù Ù Ù Ù
a= y-bx=0.5-0.013=0.47 y =bx+a=0.01x+0.47 x=6时，y =0.016+0.47=0.53
g g
第6个同学6号打篮球6个小时投篮的命中率为0.53.
（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
ïx = 5cosq
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 (0≤q<p)和
ïy = sinq
 5
ïx= t2
 4 (tÎR)，它们的交点坐标为___________．
ï y =t
第5页 | 共13页2 5
【解析】(1, )．
5
 5
ïx = 5cosq x2 ïx= t2
 表示椭圆 + y2 =1(- 5 < x£ 5且0£ y£1)， 4 表示抛物线
ïy = sinq 5 ï y =t
4
y2 = x
5
x2
+ y2 =1(- 5 < x£ 5且0£ y£1)
ï
ï 5
 Þ x2 +4x-5=0Þ x=1或x=-5（舍去），
4
ï y2 = x
ï 5
D C
2 5
又因为0£ y£1，所以它们的交点坐标为(1, )
5
E F
15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，
AB=4，CD=2，E,F分别为AD,BC上的点，且EF =3，
A B
图4
EF ∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．
P
7
【解析】 如图，延长AD,BC，AD BC = P

5
CD 2 S 4
∵ = ，∴ DPCD =
EF 3 S 9
DPEF
D C
CD 2 S 4
∵ = ，∴ DPCD =
AB 4 S 16
DPEF
E F
S 7
∴ 梯形ABEF =
S 5
梯形EFCD A B
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
1 p
已知函数 f(x)=2sin( x- )，xÎR．
3 6
（1）求 f(0)的值；
é pù p 10 6
（2）设a,bÎ 0, ， f(3a+ )= ， f(3b+2p)= ，求sin(a+b)的值．
ê ú
ë 2û 2 13 5
第6页 | 共13页p
【解析】（1） f(0)=2sin(- )=-1
6
p 1 p p 10 5
（2） f(3a+ )=2sin[ (3a+ )- ]=2sina= ，即sina=
2 3 2 6 13 13
1 p p 6 3
f(3b+2p)=2sin[ (3b+2p)- ]=2sin(b+ )= ，即cosb=
3 6 2 5 5
é pù
∵a,bÎ 0, ，
ê ú
ë 2û
12 4
∴cosa= 1-sin2a= ，sinb= 1-cos2b=
13 5
5 3 12 4 63
∴sin(a+b)=sinacosb+cosasinb= ´ + ´ =
13 5 13 5 65
17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x 表示编号为n (n=1,2, ,6)的同学所得
n L
成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩x 70 76 72 70 72
n
（1）求第6位同学的成绩x ，及这6位同学成绩的标准差s；
6
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．
1
【解析】（1） (70+76+72+70+72+x )=75，解得x =90
6 6 6
1 1
标准差s = [(x -x)2 +(x -x)2 + +(x -x)2] = (52 +12 +32 +52 +32 +152) =7
6 1 2 L 6 6
（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(a,b)，a,bÎ{1,2,3,4,5}且ab
则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)
共10种
这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中
设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”
4 2
则A中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则P(A)= =
10 5
18．（本小题满分13分）
图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面
向右水平平移后得到的．A,A¢,B,B¢分别为CD,C¢D¢,DE,D¢E¢的中点，O,O¢,O ,O¢分别
1 1 2 2
为CD,C¢D¢,
DE,D¢E¢的中点．
（1）证明：O¢,A¢,O ,B四点共面；
1 2
第7页 | 共13页（2）设G为AA¢中点，延长A¢O¢到H¢，使得O¢H¢= A¢O¢．证明：BO¢ ^平面H¢B¢G
1 1 1 2
．
A¢ A¢
O¢ D¢ O¢ E¢ O¢ D¢ O¢ E¢
C¢ 1 2 C¢ 1 2
H¢ H¢
B¢ B¢
G G
A A
C O D O E C O D O E
1 2 1 2
B H B
图5
【解析】证明：（1）连接BO , O O¢,
2 2 2
依题意得O,O¢,O ,O¢是圆柱底面圆的圆心
1 1 2 2
∴CD,C¢D¢,DE,D¢E¢是圆柱底面圆的直径
∵A¢,B,B¢分别为C¢D¢,DE,D¢E¢的中点
∴ÐA¢O¢D¢=ÐB¢O¢D¢=90o
1 2
∴A¢O¢∥BO¢
1 2
∵BB¢ //O O¢，四边形O O¢B¢B是平行四边形
2 2 2 2
∴BO ∥BO¢
2 2
∴A¢O¢∥BO
1 2
∴O¢,A¢,O ,B四点共面
1 2
（2）延长A¢O 到H ，使得O¢H = AO¢，连接HH¢,HO¢,HB
1 1 1 1
∵O¢H¢= A¢O¢
1 1
∴O¢H¢//O¢B¢，四边形O¢O¢B¢H¢是平行四边形
1 2 1 2
第8页 | 共13页∴O¢O¢∥H¢B¢
1 2
∵O¢O¢ ^O O¢，O¢O¢ ^ B¢O¢，O O¢ B¢O¢ =O¢
1 2 2 2 1 2 2 2 2  2 2
∴O¢O¢ ^面O O¢B¢B
1 2 2 2
∴H¢B¢^面O O¢B¢B，BO¢ Ì面O O¢B¢B
2 2 2 2 2
∴BO¢ ^ H¢B¢
2
易知四边形AA¢H¢H 是正方形，且边长AA¢=2
HH¢ A¢G 1
∵tanÐHO¢H¢= =2，tanÐA¢H¢G = =
1 O¢H¢ A¢H¢ 2
1
∴tanÐHO¢H¢×tanÐA¢H¢G =1
1
∴ÐHO¢H¢+ÐA¢H¢G =90o
1
∴HO¢ ^ H¢G
1
易知O¢O¢ //HB，四边形O¢O¢BH 是平行四边形
1 2 1 2
∴BO¢∥HO¢
2 1
∴BO¢ ^ H¢G，H¢G H¢B¢= H¢
2 
∴BO¢ ^平面H¢B¢G．
2
19．（本小题满分14分）
设a0，讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2 -2(1-a)x的单调性．
【解析】解：函数 f(x)的定义域为(0,+¥)
1 2a(1-a)x2 -2(1-a)x+1
f¢(x)= +2a(1-a)x-2(1-a)=
x x
令g(x)=2a(1-a)x2 -2(1-a)x+1
D=4(1-a)2 -8a(1-a)=12a2 -16a+4=4(3a-1)(a-1)
1 1-a± (3a-1)(a-1)
① 当0<a< 时，D0，令 f¢(x)=0，解得x=
3 2a(1-a)
第9页 | 共13页1-a- (3a-1)(a-1) 1-a+ (3a-1)(a-1)
则当0< x< 或x 时， f¢(x)0
2a(1-a) 2a(1-a)
1-a- (3a-1)(a-1) 1-a+ (3a-1)(a-1)
当 < x< 时， f¢(x)<0
2a(1-a) 2a(1-a)
1-a- (3a-1)(a-1) 1-a+ (3a-1)(a-1)
则 f(x)在(0, )，( ,+¥)上单调递增，
2a(1-a) 2a(1-a)
1-a- (3a-1)(a-1) 1-a+ (3a-1)(a-1)
在( , )上单调递减
2a(1-a) 2a(1-a)
1
② 当 £a£1时，D£0， f¢(x)³0，则 f(x)在(0,+¥)上单调递增
3
1-a± (3a-1)(a-1)
③ 当a1时，D0，令 f¢(x)=0，解得x=
2a(1-a)
1-a- (3a-1)(a-1)
∵x0，∴x=
2a(1-a)
1-a- (3a-1)(a-1)
则当0< x< 时， f¢(x)0
2a(1-a)
1-a- (3a-1)(a-1)
当x 时， f¢(x)<0
2a(1-a)
1-a- (3a-1)(a-1) 1-a- (3a-1)(a-1)
则 f(x)在(0, )上单调递增，在( ,+¥)上单
2a(1-a) 2a(1-a)
调递减
20．（本小题满分14分）
nba
设b0，数列{a }满足a =b，a = n-1 (n≥2)．
n 1 n a +n-1
n-1
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）证明：对于一切正整数n，2a ≤bn+1+1．
n
nba
【解析】（1）解：∵a = n-1
n a +n-1
n-1
a ba
∴ n = n-1
n a +n-1
n-1
第10页 | 共13页n 1 n-1 1
∴ = × +
a b a b
n n-1
n n-1 n
① 当b=1时， - =1，则{ }是以1为首项，1为公差的等差数列
a a a
n n-1 n
n
∴ =1+(n-1)´1=n，即a =1
a n
n
n 1 1 n-1 1
② 当b0且b1时， + = ( + )
a 1-b b a 1-b
n n-1
n 1 1
当n=1时， + =
a 1-b b(1-b)
n
n 1 1 1
∴{ + }是以 为首项， 为公比的等比数列
a 1-b b(1-b) b
n
n 1 1 1
∴ + = ×( )n
a 1-b 1-b b
n
n 1 1 1-bn
∴ = - =
a (1-b)bn 1-b (1-b)bn
n
n(1-b)bn
∴a =
n 1-bn
n(1-b)bn
ï , b0且b1
综上所述a = 1-bn
n
ï 1， b=1
（2）证明：① 当b=1时，2a =bn+1+1=2；
n
② 当b0且b1时，1-bn =(1-b)(1+b+ +bn-2 +bn-1)
L
2n(1-b)bn
要证2a £bn+1+1，只需证 £bn+1+1，
n 1-bn
2n(1-b) 1
即证 £b+
1-bn bn
2n 1
即证 £b+
1+b+ +bn-2 +bn-1 bn
L
1
即证(b+ )(1+b+ +bn-2 +bn-1)³2n
L
bn
第11页 | 共13页1 1 1 1
即证(b+b2 + +bn-1+bn)+( + + + + )³2n
L L
bn bn-1 b2 b
1 1 1 1
∵(b+b2 + +bn-1+bn)+( + + + + )
L L
bn bn-1 b2 b
1 1 1 1
=(b+ )+(b2 + )+ +(bn-1+ )+(bn + )
L
b b2 bn-1 bn
1 1 1 1
³2 b× +2 b2× + +2 bn-1× +2 bn× =2n，∴原不等式成立
L
b b2 bn-1 bn
∴对于一切正整数n，2a ≤bn+1+1．
n
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，直线l：x=-2交x轴于点A．设P是l上一点，M 是线段OP
的垂直平分线上一点，且满足ÐMPO=ÐAOP．
（1）当点P在l上运动时，求点M 的轨迹E的方程；
（2）已知T(1,-1)，设H 是E上动点，求 HO + HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；
（3）过点T(1,-1)且不平行于y轴的直线l 与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l 的
1 1
斜率k的取值范围．
【解析】解：（1）如图所示，连接OM ，则 PM = OM
l
y
∵ÐMPO=ÐAOP，
P
M
∴动点M 满足MP^l 或M 在x的负半轴上，设M(x,y)
M
① 当MP^l 时， MP = x+2 ， OM = x2 + y2 A O x
x+2 = x2 + y2 ，化简得y2 =4x+4 (x³-1) x=-2
② 当M 在x的负半轴上时，y =0 (x<-1)
综上所述，点M 的轨迹E的方程为y2 =4x+4 (x³-1)或y =0 (x<-1)
（2）由（1）知M 的轨迹是顶点为(-1,0)，焦点为原点的抛物线和x的负半轴y =0
(x<-1)
① 若H 是抛物线上的动点，过H 作HN ^l于N
由于l是抛物线的准线，根据抛物线的定义有 HO = HN
l
y
则 HO + HT = HN + HT N H
当N,H,T 三点共线时， HN + HT 有最小值TN =3
H

O x
第12页 | 共13页 N g T
H
x=-23
求得此时H 的坐标为(- ,-1)
4
② 若H 是x的负半轴y =0 (x<-1)上的动点
显然有 HO + HT 3
3
综上所述， HO + HT 的最小值为3，此时点H 的坐标为(- ,-1)
4 l
y 1
1
l
（3）如图，设抛物线顶点A(-1,0)，则直线AT 的斜率k =-
1
AT 2
l
∵点T(1,-1)在抛物线内部， 1
A O x
T
g
∴过点T 且不平行于x,y轴的直线l 必与抛物线有两个交点
1
则直线l 与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：
1
1
① 当k £- 时，直线l 与轨迹E有且只有两个不同的交点
2 1
1
② 当- <k <0时，直线l 与轨迹E有且只有三个不同的交点
2 1
③ 当k =0时，直线l 与轨迹E有且只有一个交点
1
④ 当k 0时，直线l 与轨迹E有且只有两个不同的交点
1
1
综上所述，直线l 的斜率k的取值范围是(-¥,- ] (0,+¥)
1 2 
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