2011年高考数学试卷（文）（广东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（广东）数学高考真题

试卷类型：B 绝密★启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科） 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条 形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错 涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高． 线性回归方程 中系数计算公式 ， ， 样本数据 的标准差， ， 其中 ， 表示样本均值． 是正整数，则 ． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 A． B． C． D． 【解析】A.由题得 所以选A. 2．已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ， 则 的元素个数为 第1页 | 共14页A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】C.方法一：由题得 ， ，所以选C. 方法二：直接作出单位圆 和直线 ，观察得两曲线有两个交点，所以选C. 3．已知向量 ．若 为实数， ∥ ，则 A． B． C．1 D．2 【解析】B. ， 所以选B. 4．函数 的定义域是 A． B． C． D． 【解析】C.由题得 所以选C. 5．不等式 的解集是 A． B． C． D． 【解析】D由题得 或 ，则不等式的解集为 6．已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定．若 为 上的动 点，点 的坐标为 ，则 的最大值为 A．3 B．4 C． D． 【 解 析 】 B 由 题 知 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 D 是 如 图 中 的 梯 形 OABC, ，所以就是求 的最大值， 表示 数形结合观察得当点M在点B的地方时， 才最大。 第2页 | 共14页,所以 ，所以选择B 7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正 五棱柱对角线的条数共有 A．20 B．15 C．12 D．10 【解析】D正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个 正五棱柱对角线的条数共有 条 8．设圆 与圆 外切，与直线 相切，则 的圆心轨迹为 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 【解析】A.设圆 C 圆心 C ，半径为 R,A(0,3),点 C 到直线 y=0 的距离为|CB|，由题得 ,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，所 以选A. 9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形，则该几 何体的体积为 A． B． 2 3 C． D． 2 正视图 侧视图 图1 图2 2 俯视图 第3页 | 共图134页【 解 析 】 C. 由 题 得 该 几 何 体 是 如 图 所 示 的 四 棱 锥 P-ABCD ， 所以选择C. 10．设 是 上的任意实值函数，如下定义两个函数 和 ：对 任意 ， ； ，则下列等式恒成立的是 A． B． C． D． 【解析】B.对A选项 ，故排除A 对B选项 ，故选B 对C选项 ，故排除C 对D选项 ，故排除D 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（9 ~ 13题） 11．已知 是递增的等比数列，若 ， ，则此数列的公比 ． 第4页 | 共14页【解析】2． 或 ∵ 是递增的等比数列，∴ 12．设函数 ．若 ，则 ． 【解析】 ，即 ， 则 13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5 号每天打篮球时间 （单位：小时）与当天投篮命中率 之间的关系： 时间 1 2 3 4 5 命中率 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月 6号打6小时篮球的投篮命中率为 ． 【解析】0.5;0.53由题得小李这 5天的平均投篮命中率为 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 和 ，它们的交点坐标为___________． 【解析】 ． 第5页 | 共14页表示椭圆 ， 表示抛物线 或 （舍去）， D C 又因为 ，所以它们的交点坐标为 E F 15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形 中， ∥ ， ， ， 分别为 上的点，且 ， A B 图4 ∥ ，则梯形 与梯形 的面积比为________． P 【解析】 如图，延长 ， ∵ ，∴ D C ∵ ，∴ E F ∴ A B 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数 ， ． （1）求 的值； （2）设 ， ， ，求 的值． 【解析】（1） （2） ，即 第6页 | 共14页，即 ∵ ， ∴ ， ∴ 17．（本小题满分13分） 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用 表示编号为 的同学所 得成绩，且前5位同学的成绩如下： 编号 1 2 3 4 5 成绩 70 76 72 70 72 （1）求第6位同学的成绩 ，及这6位同学成绩的标准差 ； （2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率． 【解析】（1） ，解得 标准差 （2）前5位同学中随机选出的2位同学记为 ， 且 则基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种 这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中 设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75） 中” 则A中的基本事件有 、 、 、 共4种，则 18．（本小题满分13分） 图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切 面向右水平平移后得到的． 分别为 , , , 的中点， 分 别为 , , , 的中点． （1）证明： 四点共面； （2）设 为 中点，延长 到 ，使得 ．证明： 平面 ． 第7页 | 共14页A A     O O E O D O E C 1 2 C 1 2 H H B B G G A A C O D O E C O D O E 1 2 1 2 B H B 图5 【解析】证明：（1）连接 依题意得 是圆柱底面圆的圆心 ∴ 是圆柱底面圆的直径 ∵ 分别为 , , 的中点 ∴ ∴ ∥ ∵ ，四边形 是平行四边形 第8页 | 共14页∴ ∥ ∴ ∥ ∴ 四点共面 （2）延长 到 ，使得 ，连接 ∵ ∴ ，四边形 是平行四边形 ∴ ∥ ∵ ， ， ∴ 面 ∴ 面 ， 面 ∴ 易知四边形 是正方形，且边长 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 易知 ，四边形 是平行四边形 ∴ ∥ ∴ ， ∴ 平面 ． 19．（本小题满分14分） 设 ，讨论函数 的单调性． 第9页 | 共14页【解析】解：函数 的定义域为 令 ① 当 时， ，令 ，解得 则当 或 时， 当 时， 则 在 ， 上单调递增， 在 上单调递减 ② 当 时， ， ，则 在 上单调递增 ③ 当 时， ，令 ，解得 ∵ ，∴ 则当 时， 当 时， 则 在 上单调递增，在 上单 调递减 20．（本小题满分14分） 第10页 | 共14页设 ，数列 满足 ， ≥ ． （1）求数列 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数 ， ≤ ． 【解析】（1）解：∵ ∴ ∴ ① 当 时， ，则 是以1为首项，1为公差的等差数列 ∴ ，即 ② 当 且 时， 当 时， ∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列 ∴ ∴ ∴ 综上所述 第11页 | 共14页（2）证明：① 当 时， ； ② 当 且 时， 要证 ，只需证 ， 即证 即证 即证 即证 ∵ ，∴原不等式成立 ∴对于一切正整数 ， ≤ ． 21．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系 上，直线 ： 交 轴于点 ．设 是 上一点， 是线段 的垂直平分线上一点，且满足 ． （1）当点 在 上运动时，求点 的轨迹 的方程； （2）已知 ，设 是 上动点，求 的最小值，并给出此时点 的坐标； （3）过点 且不平行于 轴的直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点，求直线 的 斜率 的取值范围． 【解析】解：（1）如图所示，连接 ，则 l y ∵ ， P M ∴动点 满足 或 在 的负半轴上，设 M x ① 当 时， ， A O ，化简得 x  2 第12页 | 共14页② 当 在 的负半轴上时， 综上所述，点 的轨迹 的方程为 或 （2）由（1）知 的轨迹是顶点为 ，焦点为原点的抛物线和 的负半轴 ① 若 是抛物线上的动点，过 作 于 由于 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有 l y H N 则 H  当 三 点 共 线 时 ， 有 最 小 值 O x N T H x  2 求得此时 的坐标为 ② 若 是 的负半轴 上的动点 显然有 综上所述， 的最小值为 3，此时点 的坐标为 l y 1 l 1 l 1 （3）如图，设抛物线顶点 ，则直线 的斜率 x AO T ∵点 在抛物线内部， ∴过点 且不平行于 轴的直线 必与抛物线有两个交点 则直线 与轨迹 的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当 时，直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点 ② 当 时，直线 与轨迹 有且只有三个不同的交点 ③ 当 时，直线 与轨迹 有且只有一个交点 第13页 | 共14页④ 当 时，直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点 综上所述，直线 的斜率 的取值范围是 第14页 | 共14页