2009年高考数学试卷（理）（广东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（广东）数学高考真题

绝密★启用前 试卷类型：B 2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码 粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的， 答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 1 参考公式：锥体的体积公式V  sh，其中S 是锥体的底面积，h是锥体的高 3 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． １．巳知全集U  R，集合M {x 2 x12}和N {x x2k1,k 1,2,}的关系的韦恩（Ｖenn）图如 图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 ２．设z 是复数，a(z)表示满足zn 1的最小正整数n，则对虚数 单位i，a(i) Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２ ３．若函数y  f(x)是函数y ax(a 0,且a 1)的反函数，其图像经过点( a,a)，则 f(x) log x 1 Ａ．log x Ｂ． 1 Ｃ． Ｄ．x2 2 2 2x 3。 ４．巳知等比数列{a }满足a 0,n1,2,，且a a 22n(n3)，则当n1时， n n 5 2n5 log a log a log a  2 1 2 3 2 2n1 Ａ．n(2n1) Ｂ．(n1)2 Ｃ．n2 Ｄ．(n1)2 4 5．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④ 6．一质点受到平面上的三个力F,F ,F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F,F 成600角，且F,F 1 2 3 1 2 1 2 的大小分别为２和４，则F 的大小为 3 第1页 | 共11页Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．2 5 Ｄ．2 7 A 7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小 F 罗、小王五名志 1 愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不 D 同工作，若其中 小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四 C F 3 O 项工作，则不同 F 的选派方案共有 2 B Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种 8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为 直线）行驶． 甲车、乙车的速度曲线分别为v 和v （如图2所示）．那么对 于图中给定的 甲 乙 t 和t ，下列判断中一定正确的是 0 1 A．在t 时刻，甲车在乙车前面 1 B．t 时刻后，甲车在乙车后面 1 C．在t 时刻，两车的位置相同 0 D．t 时刻后，乙车在甲车前面 0 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题） ９．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a ,a ,,a ，则图3所示的程序框图输出的s ，表示的样本 1 2 n 的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”“： =”） １０．若平面向量a,b满足 ab 1，ab平行于x轴， b(2,1)，则a ． 11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率 为 ， 且 上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方 程为 _________________ ． 12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若EX 0，DX 1，则a ，b ． （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线 x12t, xs, l : (t为参数)与直线l : （s为参 数）垂直， 1 y 2kt. 2 y 12s. 则k  ． x1 14．（不等式选讲选做题）不等式 1的实数解为 ． x2 15．(几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点， 且 AB4,ACB450，则圆O的面积等于 ． 第2页 | 共11页三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16．(本小题满分12分）  已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直，其中(0, )． 2 （1）求sin和cos的值； 10  （2）若sin() ,0 ，求 cos 的值． 10 2 17．（本小题满分12分） 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表: 对某城市一年 （365天）的 空气质量进行 监测，获得 API数据按照 区间 [0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中 x 的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天 数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻 微污染 的概率. (结果用分数表示．已知 , , ） 18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体ABCDABC D 的棱长为２， 点Ｅ是 1 1 1 1 正方形BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 1 1 C D,AA 的中点．设点E ,G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面DCC D 内的正 投影． 1 1 1 1 1 1 1 （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC D 内 1 1 的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线FG 平面FEE ； 1 1 （３）求异面直线EG与EA所成角的正弦值 1 1 19．（本小题满分１４分） 已知曲线C: y  x2与直线l:x y20交于两点A(x ,y )和 A A B(x ,y )，且x  x ．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D． B B A B 设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合． （１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M 的轨迹方程； 第3页 | 共11页51 （２）若曲线G:x2 2ax y2 4ya2  0与D有公共点，试求a的最小值． 25 20．（本小题满分１４分） 已知二次函数y  g(x)的导函数的图像与直线y 2x平行，且y  g(x)在x1处取得极小值 g(x) m1(m0)．设 f(x) ． x （１）若曲线y  f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为 2 ，求m的值； （２）k(kR)如何取值时，函数y  f(x)kx存在零点，并求出零点． 21．（本小题满分１４分） 已知曲线C :x2 2nx y2 0(n1,2,)．从点P(1,0)向曲线C 引斜率为k (k 0)的切线l ，切点 n n n n n 为P (x ,y )． n n n （１）求数列{x }与{y }的通项公式； n n 1x x （２）证明：x x x x  n  2sin n 1 3 5 2n1 1x y n n 答 案 1.解： ， ，所以 第4页 | 共11页故，选B 2. 解：因为 ， ， ，所以满足 的最小正整数n的值是4。故，选C .解：由函数y＝f(x)是函数y ax(a 0,且a 1)的反函数，可知 ， 又其图像经过点( a,a)，即 ，所以a= , 。故答B 。解：在a a 22n(n3)中，令n=5,得 ，令n=3,得 ， 5 2n5 又a 0,n1,2,，所以 ， ，从而解得，公比 ， ， n ， ， 所以log a log a log a 1+3+…+（2n-1）= 2 1 2 3 2 2n1 5.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 答 D. 6.解：依题意，可知 ，所以 ， = =28. 所以，力 的大小为 ， 答D。 7。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有 种， 若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有 种， 故， 总的不同的选派方案共有12+24=36种。 答A。 8. 解：因为速度函数 是路程函数 的导函数，即 ，所以 ， 根据定积分的定义，比较图中速度曲线v 和v 分别与x轴及直线 ， 甲 乙 围成的图形的面积，即可看出，应选A。 9.解：记 时求得的S值为 ,记初始值为 , 则 , , ,……, 故,答案为(1) ；(2) 这 n 件产品的平均长度 。 10。解：设 ，则 ，依题意，得 ，解得 或 ，所以 或 。 答： 或 。 11.解：设椭圆G的方程为 ，焦半径为c, 依题意，得2a=12，且 ， 解得a=6，c= , 所以 所以， 椭圆G的方程为 。 12。解：依题意，得 ，解得 答： ； 第5页 | 共11页x12t, 13．解：直线l : (t为参数)化为普通方程是 ， 1 y 2kt. 该直线的斜率为 ， xs, 直线l : （s为参数）化为普通方程是 ， 2 y 12s. 该直线的斜率为 ， 则由两直线垂直的充要条件，得 ， 。 x1 14。解： 1 x2 解得 且 。所以原不等式的解集为{x| 且 } 15．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O， 所以△AOB为等腰直角三角形，又AB4， 所以，圆O的半径R= ，圆O的面积等于 解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理， 得 ，解得R= ， 所以，圆O的面积等于 16．解：（1）∵ 向量 与 互相垂直， ∴ ，即 ①， 又 ② ① 代入②，整理，得 ， 由 ，可知 ， ∴ ，代入①得 故 ， 。 （2）∵ ， ∴ 将（1）的结果代入其中，得 整理，得 ③， 又 ④ ③代入④，整理，得 由 ，可知 ， 所以，解得 。 17.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1， 依题意，得 又 所以 。 第6页 | 共11页（2）一年中空气质量为良和的天数为 （天）； 一年中空气质量为轻微污染的天数为 （天）； （3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是 ， 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7， ） ，（k=0,1,2,…,7） 设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则 = = = . 18.(1)解：∵点D,E ,G 分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面DCC D 内的正投影． 1 1 1 1 ∴四边形FGAE在平面DCC D 内的正投影为四边形 1 1 又 ⊥平面 DCC D ，且 1 1 所以，所求锥体的体积为 = （２）证明：∵ ⊥平面 DCC D ， 平面 DCC D ， 1 1 1 1 ∴ ⊥ ∵在正方形DCC D 中， 分别是 的中点， 1 1 ∴ ， ∴ ∴ ⊥ 又 ∩ = ∴FG 平面FEE ； 1 1 （３）设 的中点为H，连结EH， 则EH∥ ∥CD，且EH= =CD=2， ∠AEH就是异面直线EG与EA所成角 1 1 又CD⊥平面 ， ∴EH⊥平面 在RT△AEH中，EH =2，AH= ，所以EA= 所以，异面直线EG与EA所成角的正弦值为 。 1 1 解法2：（1）依题作点 、 在平面DCC D 内的正投影 、 ，则 、 分别为 、 的中点，连结 1 1 、 、 、 ，则所求为四棱锥 的体积，其底面 面积为 ， 又 面 ， ，∴ . （2）以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别作 轴， 轴， 轴，得 、 ，又 第7页 | 共11页， ， ，则 ， ， ， ∴ ， ，即 ， ， 又 ，∴ 平面 . （3） ， ，则 ，设异面直线EG与EA所 1 1 成角为 ，则 . 19.解：（1）解曲线C与直线 的联立方程组 ,得 , , 又x  x ，所以点A，B的坐标分别为 A B ∵点Q是线段AB的中点 ∴点Q的坐标为 ∵点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合． ∴ ， 即 ，且 设线段PQ的中点为M (x,y), 则点M的轨迹的参数方程为 （s为参数，且 ）； 消去s 整理，得 ，且 所以，线段PQ的中点M 的轨迹方程是 ， ； 51 （２）曲线G:x2 2ax y2 4ya2  0可化为 ， 25 它是以G(a,2)为圆心，以 为半径的圆， 设直线l:x y20与y轴相交于点E，则E点的坐标为E(0,2)； 自点A做直线l:x y20的垂线，交直线y=2 于点F， 在RT△EAF中，∠AEF= ， ，所以 ， ∵ ， ∴当 且圆G与直线 相切时，圆心G必定在线段FE上， 且切点必定在线段AE上， 于是，此时的a的值就是所求的最小值。 当圆G与直线l:x y20相切时 ， 解得 ，或者 （舍去） 所以，使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是 ． （备注： 讨论圆 G 与直线 切点的位置的必要性。若圆G的半径大于|AF|,则圆G与直线 的切点将落在线段 EA的延长线上，此时，圆G与平面区域D没有公共点，这时令圆G过点A，求出的a 的两个值，其中的那个较小 的数，才是所求。） 20.解：设二次函数 的解析式为 则它的导函数为 ， ∵ 函数 的图像与直线 平行， ∴ 2a=2，解得a=1, 第8页 | 共11页所以 ， ∵ 在 处取得极小值 ∴ ，即 ，解得 。 所以 ， = （ ） （1）设点点P （ ， ）为曲线 上的任意一点 则点P到点 的距离为 由基本不等式定理可知 ， 当且仅当 时，等号“=”成立，此时 = 又已知点P到点 的距离的最小值为 ，所以令 两边平方整理， 得 当 时， ，解得 当 时， ，解得 所以， 的值为 或者 ； （2）函数令 = （ ） 令 ，即 （ ）， 整理，得 （ ），① 函数 存在零点，等价于方程①有非零实数根， 由 可知，方程①不可能有零根， 当k=1 时，方程①变为 ，解得 ，方程①有唯一实数根， 此时， 函数 存在唯一的零点 ； 当k≠1 时，方程①根的判别式为 ， 令 =0，解得 ， 方程①有两个相等的实数根 ， 此时， 函数 存在唯一的零点 ； 令 >0，得m(1-k)<1 , 当m>0时，解得 ， 当m<0时，解得 ， 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根 ， 此时， 函数 存在两个零点 ， 第9页 | 共11页综上所述，函数 存在零点的情况可概括为 当k=1 时，函数 存在唯一的零点 ； 当 时，函数 存在唯一的零点 ； 当 m>0且 ，或者m<0且 时，函数 存在两个零点 ， 。 21.（1）解：曲线C :x2 2nx y2 0(n1,2,)可化为 ， n 所以，它表示以 为圆心，以n 为半径的圆， 切线l 的方程为 ， n 联立 ，消去y 整理，得 ，① ， 令 ，解得 ， 此时，方程①化为 整理，得 ，解得 ， 所以 ∴数列 的通项公式为 数列 的通项公式为 。 （２）证明：∵ ， ∴ = = ∵ = ，又 令 ，则 ， 要证明 ，只需证明当 时， 恒成立即可。 设函数 ， 则 ， 第10页 | 共11页∵ 在区间 上 为增函数， ∴当 时， ， ∴ 在区间 上为单调递减函数， ∴ 对于一切 很成立， ∴ ，即 = 1x x 综上，得x x x x  n  2sin n 1 3 5 2n1 1x y n n 第11页 | 共11页