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2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文 科 数 学
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号
、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不
能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：
1
锥体的体积公式：V Sh。其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
3
如果事伯A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；
如果事件A、B独立，那么P(AB) P(A)P(B)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知全集U R，集合M x x2 -4£0 ，则ð M
U
（A） x -2< x < 2 （B） x -2£ x£2
（C） x x < -2或x > 2 （D） x x£-2或x³2
a+2i
b+i
（2） 已知 i (a,bÎR)，其中i为虚数单位，则a+b
（A）-1 （B）1 （C）2 （D）3
f(x)log (3x +1)
（3） 2 的值域为
（A）(0,+¥) （B）0,+¥ （C）(1,+¥) （D）1,+¥
第1页 | 共12页（4）在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面
（C）垂直于同一平面的两个平面平行
（D）垂直于同一平面的两个平面平行
（5）设 f(x)为定义在R 上的函数。当x³0时， f(x)2x +2x+b(b为常数)，
则 f(-1)
（A） -3 （B） -1 （C） 1 （D） 3
（6）在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为
（A） 92，2 （B） 92 ，2．8
（C） 93，2 （D）93，2．8
（7）设a 是首项大于零的等比数列，则“a p a ”是“数列a 是递增数列”的
n 1 2 n
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式
1
为y - x2 +81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
3
（A）13万件 （B）11万件 （C）9万件 （D）7万件
（9）已知抛物线y2 2px(p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，若
线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为
（A）x1 （B）x-1
（C）x2 （D）x-2
（10）观察(x2)' 2x，(x4)' 4x2,(cosx)'-sinx，由归纳推理可得：若定义在R上
的函数 f(x)满足 f(-x) f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)
（A） f(x) （B）-f(x) （C）g(x) （D）-g(x)
（11）函数y 2x -x2的图像大致是
（12）定义平面向量之间的一种运算“e ”如下：对任意的a(m,n)，b(p,q)，令
第2页 | 共12页ae bmq-mp．下面说法错误的是
（A）若a与b共线，则ae b0
（B）ae bbe a
（C）对任意的lÎR,有（la）e b=l(ae b)
（D）(ae b)2 +(ab)2 a 2 b 2
第Ⅱ卷
（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
（13）执行右图所示流程框图，若输入x4，则输出y的值为____________________．
x y
（14） 已知(x,yÎR+)，且满足 + 1，则xy的最大值为____________________．
3 4
a 2,b2,
（15）在DABC中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c．若
sinB+cosB 2 ,，则角A的大小为____________________．
l: y x-1
（16）已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线 被该圆所截得的
弦长为2 2，则圆C的标准方程为____________
三、解答题：本题共6小题，共74分 。
（17）（本小题满分12分）
已知函数 f(x)sin(p-wx)coswx+cos2wx(w＞0)的最小正周期为p．
（Ⅰ）求w的值．
1
（Ⅱ）将函数y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得到函数
é pù
y g(x) 的图像，求函数g(x)在区间 0, 上的最小值。
ê ú
ë 16û
（18）（本小题满分12分）
已知等差数列a 满足：a 7,a +a 26．a 的前n 项和为S
n 3 5 7 n n。
（Ⅰ）求a 及S ；
n n
第3页 | 共12页1
（Ⅱ）令b (nÎN+)，求数列a 的前n项和T ．
n a2 -1 n n
n
（19）（本小题满分12分）
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4，
（Ⅰ）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中
随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率。
（20）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，
MA平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为 MB
、PB、PC的中点，且AD PD 2MA．
（Ⅰ）求证：平面EFG 平面PDC;
（Ⅱ）求三棱锥
P-MAB与四棱锥P- ABCD的体积之比．
（21）（本小题满分12分）
1-a
已知函数 f(x) 1nx-ax+ -1(aÎR).
x
（Ⅰ）当a -1时，求曲线y f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；
第4页 | 共12页1
（Ⅱ）当a≤ 时，讨论 f(x)的单调性．
2
（22）（本小题满分14分）
x2 y2 2
如图，已知椭圆 + 1(a >b>0)过点（1， ），离心率为
a2 b2 2
2
，左右焦点分别为FF ．点P为直线l：x+ y 2上且不在x轴上的任意一点，
2 1 2
直线PF 和PF 与椭圆的交点分别为A、B和C、D,O为坐标原点．
1 2
（Ⅰ） 求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF 、PF 斜率分别为k 、k ．
1 2 1 2
1 3
(i)证明： - 2
k k
1 2
（ⅱ）问直线l上是否存在一点P，
使直线OA、OB、OC、OD的斜率
k 、k 、k 、k 满足k +k +k +k 0？若存在，求出所有满足条
OA OB OC OD OA OB OC OD
件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
第5页 | 共12页参考答案
评分说明：
1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的
评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应
得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
（1） C （2） B （3） A （4） D （5） A （6） B
（7）C （8）C （9）B （10）D （11）A （12）B
二、填空题：本题考 查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
5 p
（13）- （14）3 （15） （16）(x-3)2 + y2 4
4 6
三、解答题
（17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换
和求解的能力，满分12分。
2 p 1
f(x) sin(2x+ )+
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 2 4 2，
2 p 1
g(x) f(2x) sin(4x+ )+
所以 2 4 2。
p p p p
0£ x£ £4x+ £
当 6 时， 4 4 2
第6页 | 共12页2 p
£sin(4x+ )£1
所以 2 4
1+ 2
因此 1£ g(x)£ ，
2
é pù
故g(x) 在区间 0, 内的最小值为1．
ê ú
ë 16û
（18）本小题主要考察等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。
解：（Ⅰ）设等差数列｛a｝的首项为a，公差为d，
n 1
由于a =7，a + a =26，
3 5 7
所以 a +2d=7，2a +10d=26，
1 1
解得 a =3，d=2.
1
1
由于 a = a +（n-1）d，S = [n(a + a ),
n 1 n 1 n
2
所以a =2n-1, S =n2+n,
n n
（Ⅱ）因为a =2n-1，
n
所以 a 2-1=4n（n+1），
n
因此 T =b + b +…+ b
n 1 2 n
1 1 1 1 1 1
= (1- + - +…+ - )
4 2 2 2 n n-1
1 1
= (1- )
4 n-1
n
=
4(n+1)
n
所以数列b 的前n项和T = 。
n n 4(n+1)
（19）本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的
能力。满分12分。
解：（I）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，
1和4，2和3，2和4，3和4，共6个。
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个。
因此所求事件的概率为1/3。
（II）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下
编号为n，其一切可能的结果（m, n）有：
（1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）, （3,3）
（3,4）,（4,1） （4,2），（4,3）（4,4），共16个
有满足条件n≥ m+2 的事件为（1,3） （1,4） （2,4），共3个
所以满足条件n ≥ m+2 的事件的概率为 P=3/16
故满足条件n0,此时f ¢(x)<0，函数 f(x)单调递减；
当xÎ(1,+¥)时，h(x)<0，此时 f ¢(x) >0,函数f(x)单调递
（2）当a ¹ 0时,由f ¢(x)=0
1
即ax2 -x+1-a 0，解得x 1,x -1
1 2 a
1
①当a 时，x x ,h(x)³0恒成立，
2 1 2
此时 f ¢(x)£0，函数 f(x)在（0，+∞）上单调递减；
1 1
②当0< a < 时, -1>1>0
2 a
xÎ(0,1)时，h(x) >0,此时f ¢(x)<0,函数f(x)单调递减；
1
xÎ(1, -1)时，h(x)<0,此时f ¢(x) >0,函数f(x)单调递增；
a
1
xÎ( -1,+¥)时,h(x) >0，此时 f ¢(x)<0，函数 f(x)单调递减；
a
1
③当a <0时，由于 -1<0
a
xÎ(0,1)时，h(x) >0，此时 f ¢(x)<0，函数 f(x)单调递减；
第9页 | 共12页xÎ(1,+¥)时，h(x)<0，此时 f ¢(x) >0，函数 f(x)单调递增。
综上所述：
当a £0时，函数 f(x)在（０，１）上单调递减；
函数 f(x)在（１，＋∞）上单调递增；
1
当a 时，函数 f(x)在（0，+∞）上单调递减；
2
1
当0< a < 时，函数 f(x)在（0，1）上单调递减；
2
1
函数 f(x)在(1, -1)上单调递增；
a
1
函数 f(x)在( -1,+¥)上单调递减，
a
（22）本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结
合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。
2 2
（Ⅰ）解：因为椭圆过点（1， ），e= ，
2 2
1 1 c 2
所以 + 1， ．
a2 2b2 a 2
又a2 b2 +c2，
所以a 2，b1，c1
x2
故 所求椭圆方程为 + y2 1．
2
（II）（1）证明：
第10页 | 共12页方法二:
y y
设P（x ,y）,则k 0 ,k 0
0 0 1 x +1 2 x -1
0 0
y ¹0
因为点P不在x轴上，所以 0
x + y 2
又 0 0
1 3 x +1 （3 x -1） 4-2x 2y
- 0 - 0 0 0 2
k k y y y y
所以 1 2 0 0 0 0
因此结论成立
（ⅱ）解：设A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )，D(x ,y )．
A A B B C C D D
第11页 | 共12页2k
x ¹0,x ¹0,k2 ¹0,1,k +k - 2
c D 2 OC OD k2 -1
2
k k
故k +k +k +k ( 1 + 2 )
OA OB OC OD k2 -1 k2 -1
1 2
k k2 -k +k2k -k
-2 1 2 1 1 2 2
(k2 -1)(k2 -1)
1 2
2(k k -1)(k +k )
- 1 2 1 2
(k2 -1)(k2 -1)
1 2
若k +k +k +k 0，须有k +k =0或k k =1．
OA OB OC OD 1 2 1 2
① 当k +k =0时，结合（ⅰ）的结论，可得k =－2，所以解得点P的坐标为（0，2）
1 2 2
；
② 当k k =1时，结合（ⅰ）的结论，可得k =3或k =－1（此时k =－1，不满足k ≠k
1 2 2 2 1 1 2
5 3
，舍去 ），此时直线CD的方程为y 3(x-1)，联立方程x+ y 2得x ，y
4 4
5 3
因此 P( , )．
4 4
5 3
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，（ ， ）。
4 4
第12页 | 共12页
