试卷类型：B
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形
码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错
涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
1
参考公式：锥体体积公式V = Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
3
n
å(x -x)(y - y)
i i
线性回归方程y =bx+a 中系数计算公式b = i=1 ，a = y-bx，
n
å(x -x)2
i
i=1
1
样本数据x ,x , ,x 的标准差，s = [(x -x)2 +(x -x)2 + +(x -x)2]，
1 2 L n n 1 2 L n
其中x，y表示样本均值．
n是正整数，则an -bn =(a-b)(an-1+an-2b+ +abn-2 +bn-1)．
L
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设复数z满足iz =1，其中i为虚数单位，则z =
A．-i B．i C．-1 D．1
2．已知集合A={(x,y)|x,y为实数，且x2 + y2 =1}，B={(x,y)|x,y为实数，且x+ y =1}，
则AÇB的元素个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知向量a =(1,2),b=(1,0),c =(3,4)．若l为实数，(a+lb)∥c，则l=
第1页 | 共7页1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
1
4．函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是
1-x
A．(-¥,-1) B．(1,+¥) C．(-1,1)È(1,+¥) D．(-¥,+¥)
5．不等式2x2 -x-1>0的解集是
1 1
A．(- ,1) B．(1,+¥) C．(-¥,1)È(2,+¥) D．(-¥,- )È(1,+¥)
2 2
ì0≤x≤ 2
ï
6．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组íy≤2 给定．若M(x,y)为D上的动
ï
x≤ 2y
î
uuuur uuur
点，点A 的坐标为( 2,1)，则z =OM ×OA的最大值为
A．3 B．4 C．3 2 D．4 2
7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正
五棱柱对角线的条数共有
A．20 B．15 C．12 D．10
8．设圆C与圆x2 +(y-3)2 =1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
9．如图1 ~
3，某几何体的正视图（主视图），侧视图 （左视图）和俯视图分别
是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该 几何体的
体积为
2 3
A．4 3 B．4
C．2 3 D．2
2
正视图 侧视图
图1 图2
2
俯视图
图3
第2页 | 共7页10．设 f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(f g) (x)和(f g) (x)：对
o g
任意xÎR，(f g) (x) = f(g(x))；(f g) (x) = f(x)g(x)，则下列等式恒成立的是
o g
A．( (f g) h ) (x) = ( (f h) (g h) ) (x)
o g g o g
B．( (f g) h ) (x) = ( (f h) (g h) ) (x)
g o o g o
C．( (f g) h ) (x) = ( (f g) (g h) ) (x)
o o o o o
D．( (f g) h ) (x) = ( (f g) (g h) ) (x)
g g g g g
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（9 ~ 13题）
11．已知{a }是递增的等比数列，若a =2，a -a =4，则此数列的公比q=
n 2 4 3
．
12．设函数 f(x)= x3cosx+1．若 f(a)=11，则 f(-a)= ．
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号
每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为
；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ．
（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
ìïx = 5cosq
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为í (0≤q<p)和
ïîy = sinq
ì 5
ïx= t2
í 4 (tÎR)，它们的交点坐标为___________．
ï îy =t
D C
15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，
AB=4，CD=2，E,F分别为AD,BC上的点，且EF =3， E F
EF ∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．
A B
图4
第3页 | 共7页三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
1 p
已知函数 f(x)=2sin( x- )，xÎR．
3 6
（1）求 f(0)的值；
é pù p 10 6
（2）设a,bÎ 0, ， f(3a+ )= ， f(3b+2p)= ，求sin(a+b)的值．
ê ú
ë 2û 2 13 5
17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x 表示编号为n (n=1,2, ,6)的同学所得
n L
成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩x 70 76 72 70 72
n
（1）求第6位同学的成绩x ，及这6位同学成绩的标准差s；
6
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．
第4页 | 共7页18．（本小题满分13分）
图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面
向右水平平移后得到的．A,A¢,B,B¢分别为CD,C¢D¢,DE,D¢E¢的中点，O,O¢,O ,O¢分别
1 1 2 2
为CD,C¢D¢,
DE,D¢E¢的中点．
（1）证明：O¢,A¢,O ,B四点共面；
1 2
（2）设G为AA¢中点，延长A¢O¢到H¢，使得O¢H¢= A¢O¢．证明：BO¢ ^平面H¢B¢G
1 1 1 2
．
A¢ A¢
O¢ D¢ O¢ E¢ O¢ D¢ O¢ E¢
C¢ 1 2 C¢ 1 2
H¢ H¢
B¢ B¢
G G
A A
C O D O E C O D O E
1 2 1 2
B H B
图5
第5页 | 共7页19．（本小题满分14分）
设a>0，讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2 -2(1-a)x的单调性．
20．（本小题满分14分）
nba
设b>0，数列{a }满足a =b，a = n-1 (n≥2)．
n 1 n a +n-1
n-1
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）证明：对于一切正整数n，2a ≤bn+1+1．
n
第6页 | 共7页21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，直线l：x=-2交x轴于点A．设P是l上一点，M 是线段OP
的垂直平分线上一点，且满足ÐMPO=ÐAOP．
（1）当点P在l上运动时，求点M 的轨迹E的方程；
（2）已知T(1,-1)，设H 是E上动点，求 HO + HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；
（3）过点T(1,-1)且不平行于y轴的直线l 与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l 的
1 1
斜率k的取值范围．
第7页 | 共7页
