文档内容
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号
填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴
在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目悬想的答案信息点涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.
费选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个项目指定区域内相
应位置上；如需改动，先花掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液。不按以上要求作答的答案无效。
4.
作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，在作答。漏涂、错涂、
多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
1
锥体的体积公式V= Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
3
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—
1，0，1｝和N=｛x x2 +1=0｝关系的韦恩（Venn）图是
第1页 | 共8页2．下列n的取值中，使in =1(i是虚数单位)的是
A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5
3．已知平面向量a =(x，1)，b =(—x，x2 )，则向量a+b
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
4．若函数y＝f(x)是函数y＝axa＞0，且a¹1的反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)＝
1
A．log x B． C． log x D．2x-2
2 2x 1
2
5．已知等比数列a 的公比为正数，且a ·a =2a2，a＝1，则a＝
n 3 9 5 2 1
1 2
A． B． C． 2 D．2
2 2
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
7．已知DABC中，ÐA，ÐB，ÐC的对边分别为a，b，c。若a＝c＝ 6＋ 2 ，且
ÐA＝75o，则b＝
A．2 B．4＋2 3 C． 4－2 3 D． 6－ 2
8．函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是
A．-¥,2 B．（0，3） C．（1，4） D．2,+¥
æ pö
9．函数y =2cos2
ç
x-
÷
-1是
è 4ø
A．最小正周期为p的奇函数 B．最小正周期为p的偶函数
第2页 | 共8页p p
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
2 2
10．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线
距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那
么火炬传递的最短路线距离是
A．20.6 B．21 C．22 D．23
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
(一)必做题(11~13题)
11．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填
，输出的s= 。
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“¬”或“：=”)
12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样
法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6~10号，
L
，196
~200号)。若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是
第3页 | 共8页。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。
13．以点（2，－1）为圆心且与直线x+ y =6相切的圆的方程是______________________
_。
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
{x=1-2t,
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线 y=2+3t. （t为参数）与直线 4x+ky =1垂
直，则常数k=________。
15．(几何证明选讲选做题)如图3，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，ÐACB=30o，
则圆O的面积等于__________________。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
æ pö
已知向量a＝sinq,－2与b＝1，cosq互相垂直，其中q＝ ç 0， ÷.
è 2ø
（1） 求sinq和cosq的值；
p
（2） 若5cosq－j＝3 5cosj,0＜j＜ ，求cosj的值。
2
第4页 | 共8页17．（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥
P-EFGH ，下半部分是长方体ABCD-EFGH 。图5、图6分别是该标识墩的正（主）
视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD^平面PEG.
第5页 | 共8页18．（本小题满分13分）
随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的
茎叶图如图7。
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm
的同学被抽中的概率。
19．（本小题满分14分）
第6页 | 共8页3
已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，两个焦点分别为F
1
和F ，
2 2
椭圆G上一点到F 和F 的距离之和为12。圆C ：x2 + y2 +2ky-4y-21=0(kÎR)的圆
1 2 k
心为点A 。
k
（1）求椭圆G的方程；
（2）求D A FF 面积；
k 1 2
（3）问是否存在圆C 包围椭圆G？请说明理由。
k
20．（本小题满分14分）
1
已知点(1, )是函数 f(x)=ax(a >0,且a ¹1)的图像上一点。等比数列a 的前n项
3 n
和为 f(n)-c。数列b (b >0)的首项为c，且前n项和s 满足
n n n
s -s = s + s (n≥2)
n n-1 n n-1
（1）求数列a 和b 的通项公式；
n n
ì 1 ü 1000
（2）若数列í ý的前n项和为T ，问满足T ＞ 的最小正整数n是多少？
b b n n 2009
î þ
n n+1
第7页 | 共8页21．（本小题满分14分）
已知二次函数y = g(x) 的导函数的图像与直线y =2x平行，且y = g(x)在x=-1处取
g(x)
得极小值m-1(m¹0)。设函数 f(x)= 。
x
（1）若曲线y = f(x)上的点 p到点Q(0,2)的距离的最小值为 2 ，求m的值；
（2）k(kÎR)如何取值时，函数y = f(x)-kx存在零点，并求出零点。
第8页 | 共8页
