2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
文科数学
一． 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本
大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设a,b是向量，命题“若a¹-b，则∣a∣= ∣b∣”的逆命题是【】
（A）若a¹-b，则∣a∣¹∣b∣
（B）若a=b，则∣a∣¹∣b∣
（C）若∣a∣¹∣b∣，则∣a∣¹∣b∣ （D）若∣a∣=∣b∣，则a=
-b
2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是 【】
（A）y2 =-8x （B）y2 =8x (C) y2 =-4x (D) y2 =4x
3.设0<a<b，则下列不等式中正确的是 【】
ab a+b
（A） a<b< ab < （B）a< ab < <b
2 2
a+b a+b
（c）a< ab <b< (D) ab <a< <b
2 2
1
4. 函数y = x3的图像是 【】
5. 某几何体的三视图如图所示，则 它的体积
是【】
2p
(A)8-
3
p
(B)8-
3
(C)8-2π
2p
(D)
3
6.方程 x =cosx在-¥,+¥内【】
第1页 | 共8页(A)没有根 (B)有且仅有一个根
(C) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根
7.如右框图，当x =6,x =9, p=8.5时，x 等于 【】
1 2 3
(A) 7 (B) 8 (C)10 （D）11
8.设集合M={y|cos2 x—sin2
x|,x∈R},
1
N={x||x—i |< 2 ,i为虚数单位，x∈R},则M∩N为【】
(A)(0,1)
(B)(0,1]
(C)[0,1)
(D)[0,1]
9.设(x ,y ),(x ,y ),···
1 1 2 2
，(x ,y )是变量x和 y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘
n n
法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）
(A) 直线l过点(x,y)
（B）x和 y的相关系数为直线l的斜率
第2页 | 共8页（C）x和 y的相关系数在0到1之间
（D）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
10.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相
距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号
，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置
的两个最佳坑位的编号为（ ）
（A）(1)和（20） （B）(9)和（10） (C) （9）和（11） (D)
（10）和（11）
B. 填空题。（ 共5道小题，每小题5分，共25分）
ìlgx,x>0
11．设 f(x)=í ，则 f(f(-2))=______.
î10x,x„ 0
11. 如图，点（x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动，
那么2x-y的最小值为________.
12. 观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律，第五个等式应为__________________.
13. 设n∈ N + ,一元二次方程x2- 4x+n=0有整数根的充要条件是n=_____.
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
评分）
x+1+ x-2 a
A.（不等式选做题）若不等式 对任意xR恒成立，则a的取值
第3页 | 共8页范围是__________。
B.（几何证明选做题）如图，
B=D,AE BC,ACD=900
且AB=6，AC+4，AD+12，则AE=_______.
C.
（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴
ìx=3+cos
C :í
为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线
1 îy =sin
（为参数）和曲线
C :=1 AB
2 上，则 的最小值为________.
三．解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，
共75分）
P. （本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD高，沿AD把是BC上的△AB
D折起，使∠BDC=90°。
（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；
（Ⅱ ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。
第4页 | 共8页17.（本小题满分12分）
x2 y2 3
设椭圆C: + =1a >b>0过点（0，4），离心率为
a2 b2 5
（Ⅰ）求C的方程；
4
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标
5
18.（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理。
第5页 | 共8页19.（本小题满分12分）
如图，从点P(0,0)做x轴的垂线交曲线y =ex于点Q (0,1),曲线在Q 点处的切线
1 1 1
与x轴交于点P ，再从P 做x轴的垂线交曲线于点Q ，依次重复上述过程得到一
2 2 2
系列点：P ,Q;P ,Q ......;P,Q ,记P 点的坐标为(x ,0)(k =1,2,...,n).
1 1 2 2 n n k k
（Ⅰ）试求x 与x 的关系(2£k £n)
1 k-1
（ Ⅱ）求 PQ + PQ + PQ +...+ PQ
1 1 2 2 3 3 n n
20.（本小题满分13分）
如图，A地到火车站共有两条路径L和L，现随机抽取100位从A地到火车站
1 2
的人进行调查，调查结果如下：
第6页 | 共8页（Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
（Ⅱ ）分别求通过路径L和L所用时间落在上表中各时间段内的频率;
1 2
（Ⅲ ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽
量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自
的路径。
21.（本小题满分14分）
设 f(x)=lnx.g(x)= f(x)+ f¢(x)。
（Ⅰ）求g(x)的单调区间和最小值；
1
（Ⅱ）讨论g(x)与g( )的大小关系；
x
1
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g(a)-g(x)＜ 对任意x＞0成立。
a
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