文档内容
专题 06 任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式
（4 种经典基础练+3 种优选提升练）
任意角（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则 的终边落在
（ ）
A． 轴的非负半轴 B．第一象限
C． 轴的非负半轴 D．第三象限
【答案】A
【知识点】轴线角、找出终边相同的角
【分析】由对称可知 ，得终边所在位置.
【详解】角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则角 的终边与角 的终边相同，
得 ，则有 ，
所以 的终边落在 轴的非负半轴．
故选：A．
2．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合 钝角 ， 第二象限角 ， 小于 的
角 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围、判断两个集合的包含关系
【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围
，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果.
【详解】因为钝角大于 ，且小于 的角，一定是第二象限角，所以 ，故选项C正确，
又第二象限角的范围为 ，
不妨取 ，此时 是第二象限角，但 ，所以选项ABD均错误，
故选：C.
3．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知 ，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【知识点】确定已知角所在象限
【分析】 ，再根据终边相同的角的集合，判断 是第几象限角，即可求
出结果.
【详解】因为 ，又 是第三象限角，
所以 是第三象限角，
故选：C.
4．（23-24高一上·内蒙古·期末）若角 与角 的终边相同，则 可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】找出终边相同的角
【分析】根据 观察选项得答案.
【详解】由已知
观察选项可得只有 ，所以 可能是 .
故选：D.
5．（22-23高一上·广东深圳·期末）概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习
学科网（北京）股份有限公司数学十分重要．现有如下三个集合， {钝角}， {第二象限角}， {小于180°的角}，则下列
说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围、确定已知角所在象限、判断两个集合的包含关系
【分析】利用钝角和第二象限角的定义即可判断.
【详解】钝角是大于 ，且小于 的角，一定是第二象限角，故 ；
第二象限角的范围是 ，即第二象限角不一定小于 ，
故ABD错误，C正确；
故选：C
二、多选题
6．（23-24高一上·湖北·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若函数 是R上的奇函数，则
B．函数 与 为同一个函数
C．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
D．若 是第二象限角，则 是第一象限角
【答案】ABC
【知识点】全称命题的否定及其真假判断、判断两个函数是否相等、函数奇偶性的应用、确定n分
角所在象限
【分析】由奇函数的性质可判断A；根据函数的三要素是否相同判断B；根据含有一个量词的命题
的否定判断C；根据 的范围，可写出 的取值范围，即可判断D.
【详解】对于A，函数 是R上的奇函数，则有 ，故正确；
对于B，因为 定义域为R，且 ，
学科网（北京）股份有限公司的定义域为R，二者定义域相同，对应关系相同，值域均为 ，
所以 与 是同一函数，故正确；
对于C：命题“ ， ”为全称量词命题，
则其否定为存在量词命题：“ ， ”，正确；
对于D：由题知 是第二象限角，即 ， ，
∴ ， ，即 是第一或第三象限角，D不正确．
故选：ABC
7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）下列各命题中正确的是（ ）
A． 与 （ 且 ）互为反函数
B．函数 的定义域为
C．已知 为第一象限的角，则 是第一、三象限的角
D．时针转过4小时，则时针转过的弧度数为
【答案】AC
【知识点】确定n分角所在象限、任意角的概念、反函数的性质应用、具体函数的定义域
【分析】利用反函数的定义判断A；利用偶次根式被开方数大于等于0列不等式求解判断B；利用
象限角的范围列不等式求 的范围判断C，利用正负角的意义判断D.
【详解】对于A， 与 （ 且 ）互为反函数，正确；
对于B，要使函数 有意义，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，错误；
对于C，若 是第一象限角，则 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司为偶数时， 是第一象限角； 为奇数时， 是第三象限角，正确；
对于D，钟表的时针是顺时针旋转，所以经过4小时，时针转过的弧度数为 ，错误.
故选：AC
三、填空题
8．（23-24高一上·浙江台州·期末） 角是第 象限角.
【答案】二
【知识点】确定已知角所在象限
【分析】直接由象限角的概念得答案．
【详解】由象限角的定义可知， 的角是第二象限角．
故答案为：二.
9．（23-24高一上·天津河西·期末）已知角 ，则角 的终边落在第 象限．
【答案】三
【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角
【分析】
根据终边相同的角的表示，将 化为 ，即可判断答案.
【详解】由题意得 ，
由于 的终边在第三象限内，故角 的终边落在第三象限内，
故答案为：三
10．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知 ，若将角 的终边顺时针旋转 ，所得的角
的终边与角 的终边重合.则角 .
【答案】
【知识点】找出终边相同的角
【分析】角 的终边顺时针旋转 得到 ，根据终边相同的角的关系列出方程，根据
学科网（北京）股份有限公司求得 的值.
【详解】角 的终边顺时针旋转 得到 ，它与 边重合，所以 ，
所以 ，
又 ，所以只能令 ， .
故答案为：
弧度制（共16题）
一、单选题
1．（23-24高一上·广东·期末）要在半径 厘米的圆形金属板上截取一块扇形板 ，使其
弧 的长为120厘米，则圆心角 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧度的概念
【分析】根据角弧度制的定义，可得答案.
【详解】设扇形弧长为 ，圆心角为 ，半径为 ，则 .
故选：B.
2．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的
微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗
略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧 所对的圆心角 为 ，弦 的
长为 ，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧 的长为（ ）（单
位： ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的有关计算
【分析】根据扇形弧长公式 代入求解即可.
【详解】因为圆弧 所对的圆心角 ，所以 为等边三角形，
如图所示：
所以 ，即圆弧的半径 ，
所以圆弧 的长为 .
故选：C
3．（23-24高一上·安徽安庆·期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市
举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征
亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环
半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为 ，则该扇面的面积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.
【详解】依题意，该扇面的面积为 .
故选：B
4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】首先求出扇形的半径，再由面积公式计算可得.
【详解】设扇形的半径为 ，因为扇形的圆心角 ，扇形的周长为 ，
则 ，解得 ，
所以此扇形的面积 .
故选：B
5．（23-24高一上·山西·期末）已知扇形的圆心角为 ，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】弧长的有关计算
【分析】根据扇形弧长公式计算可得.
【详解】因为扇形的圆心角为 ，半径为4，
学科网（北京）股份有限公司所以由弧长公式得扇形的弧长为 ．
故选：D
6．（23-24高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看
作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为 的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含
弓形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的
面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积.
【详解】
可得：扇形面积 ，
三角形面积 ，
可得弓形面积 ，
故选：C
7．（23-24高一上·云南昆明·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺
术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活
的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和
艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长
为a，则窗花的面积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】利用扇形三角形面积公式，利用整体减去部分即可.
【详解】根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积：
，
， ，则 ，
即S ．
故“窗花”面积为 ．
故选：A．
二、多选题
8．（23-24高一上·河北沧州·期末）下列说法正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．若一个扇形弧长的值与面积的值都是5，则这个扇形圆心角的大小是
B．已知 ，则
C．函数 在其定义域上单调递减
D．若幂函数 的图象过点 ，则
【答案】AB
【知识点】对数的运算性质的应用、求幂函数的解析式、扇形面积的有关计算、根据解析式直接判
断函数的单调性
【分析】利用扇形的面积和弧长公式，计算圆心角判断选项A；由指数式与对数式的互化和对数式
的运算规则求值，判断选项B；由反比例函数的单调性判断选项C；由幂函数的定义判断选项D.
【详解】对于A，设这个扇形的圆心角为 ，半径为r，
其弧长的值与面积的值都是5， ， ，解得 ，故A选项正确；
对于B， ， ， ，则 ，故B选项
正确；
对于C， ， 其定义域为 ，
由反比例函数的单调性可知， 在 和 上都单调递减，但在定义域上不是单调递减
的，故C选项不正确；
对于D，幂函数 的图象过点 ，则有 ，
解得 ，故D选项不正确．
故选：AB．
9．（23-24高一上·吉林长春·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看
学科网（北京）股份有限公司作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为 ，其圆心角为 ，圆面中剩余部
分的面积为 ，当 与 的比值为 时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，扇形的半径 ，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，半径 ，则扇形面积为
【答案】ACD
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得 的值，利用公式计
算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得 的值，利用公式计算即
可.
【详解】对于A, 所在的扇形的圆心角分别为 ,
所以 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，又 ，
则 ，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司对于C，若 ，
所以 ，故C正确；
对于D,若 ， ，又 ，
所以 ，
故D正确，
故选：ACD.
三、填空题
10．（23-24高一上·甘肃陇南·期末） 用弧度制表示为 ．
【答案】 /
【知识点】角度化为弧度
【分析】利用弧度制与角度值的转化即可得到答案.
【详解】因为 弧度，所以 （弧度）．
故答案为：
11．（23-24高一上·福建·期末）若扇形的周长为 ，面积为 ，则它的圆心角的弧度数为
.
【答案】
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算
【分析】
由扇形的面积公式和周长公式列方程，再由弧长公式解出即可.
【详解】设扇形的弧长为 ，半径为 ，
由题意可知 ，解得 ，
设扇形的圆心角为 ，则 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
12．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知扇形的面积为 ，圆心角弧度数为 ，则其弧长为
；
【答案】6
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算
【分析】
根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.
【详解】设弧长为 ，半径为 ，圆心角为 ，
故 ，
故 ，
故答案为：6
13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是 ，半径为 ，则该扇形的面积为
．
【答案】
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.
【详解】由扇形的圆心角是 ，半径为 ，则该扇形的面积为 .
故答案为： .
14．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，已知 是等腰直角三角形， ， ，
在平面内 绕点 逆时针旋转到 ，使C，B， 在同一直线上，则图中阴影部分的面
积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的有关计算
学科网（北京）股份有限公司【分析】由图可知 ，分别计算即可.
【详解】如图：
由 是等腰直角三角形， ， ，
所以 ， ，
， ，
所以
.
故答案为：
15．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发
现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆
B处于图1的状态，简化后如图2， ， ， .则S = .
阴影
【答案】
【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用
【分析】阴影部分的面积为 的半圆面积减去 中圆心角为 的弓形面积，利用已知数据计算
即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，则 为⊙A的直径，连接 ，如图所示，
， ，则 为等边三角形， ，
的半径为2， 的半径为4，
阴影部分的面积为 的半圆面积减去 中圆心角为 的弓形面积，
则阴影部分的面积为 .
故答案为：
四、解答题
16．（23-24高一上·陕西西安·期末）某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱
笆的长度为24米.
(1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积；
(2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？
【答案】(1) 平方米.
(2)该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36.
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】（1）根据弧长公式及扇形面积公式即可求解；
（2）结合扇形面积公式及二次函数的最值即可求解.
【详解】（1）设该扇形菜地的半径为 ，弧长为 ，
则 ，解得 ，
故该扇形菜地的面积 平方米.
（2）因为 ，所以 ，
则 .
学科网（北京）股份有限公司当 时， 取得最大值36，
此时 ，从而 .
故该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36.
三角函数的概念（共11题）
一、单选题
1．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知角 满足 ， ，且 ，则角 属
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.
【详解】由 ， ，得出 为第四象限角，
所以 ，
则 为第二象限角或第四象限角，又因为 ，
所以 ，则 为第二象限角.
故选：B.
二、多选题
2．（22-23高一上·河北保定·期末）已知角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边在直线 上，
则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由三角函数定义得 ，再由同角三角函数的基本关系建立方程组求解正、余弦，代
入式子化简可得.
【详解】由角 的终边在直线 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司联立 解得 或 ；
终边落在第一象限时， ，此时 ，
则 ；
终边落在第三象限时， ，此时 ，
则 ；
综上所述， 的值为 或 .
故选：BD.
三、填空题
3．（23-24高一上·云南昭通·期末） 为 终边上一点，则 .
【答案】 /0.8
【分析】由余弦的定义可直接求解.
【详解】 .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若 为第二象限角，则 可化简为 ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系化简即可.
【详解】因为 为第二象限角，所以 ， ，
所以原式
.
故答案为： .
四、解答题
5．（23-24高一上·四川达州·期末）（1）已知 是第一象限角， ，求 ， 的值；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】（1）根据同角三角关系分析求解；
（2）根据齐次式问题分析求解.
【详解】（1）因为 是第一象限角， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ；
（2）因为 ，
所以 .
6．（23-24高一上·四川成都·期末）已知 .
(1)求 ；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）上下同除 ，将正余弦化成正切即可计算；
（2）借助 ，将原式化为齐次分式后上下同除 ，将正余弦化成正切后借助
的值即可计算.
【详解】（1） ， ，
解得 ；
（2）
.
7．（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知 .
(1)求 的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意整理可得 ，进而可得结果；
（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.
【详解】（1）因为 ，整理得 ，
所以 ；
（2）因为 ，
所以
.
8．（23-24高一上·广东中山·期末）已知 ，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）利用“ 的代换”的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】（1） .
（2）
学科网（北京）股份有限公司.
9．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知 是第二象限角，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）根据诱导公式和同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 是第二象限角，所以 ，
则 .
（2）
.
10．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角 的终边与单位圆交于
点 ，射线OA绕点O按逆时针方向旋转 后交单位圆于点B，点B的横坐标为 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的表达式，并求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由题意可知 ，结合任意角三角函数的定义分析求解；
（2）由题意可得 ，结合同角三角关系运算求解.
【详解】（1）因为锐角 的终边与单位圆交于点 ，
则 ，可知 ，
又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转 后交单位圆于点B，
所以 ，可得 .
（2）若 ， ，则 ，
所以 .
11．（23-24高一上·江苏南京·期末）如图，有一条宽为 的笔直的河道（假设河道足够长），
学科网（北京）股份有限公司规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中 ）种植荷花用于观赏， 两点分别在两岸
上， ，顶点 到河两岸的距离 ，设 .
(1)若 ，求荷花种植面积（单位： ）的最大值；
(2)若 ，且荷花的种植面积为 ，求 .
【答案】(1)
(2) 或 .
【分析】（1）表达出 ，表达出 ，结合 ，由
基本不等式求出最值，得到答案；
（2）求出 ，根据荷花的种植面积求出 ，结合同角三角函数关系得到
，所以 和 为一元二次方程 的两个实数根，求出答案.
【详解】（1） .
当 时， ，
所以 .
又因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 时取等号.
所以荷花种植区域面积的最大值为 .
（2）因为 ，所以 ，
故 ，
从而 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，
所以 和 为一元二次方程 的两个实数根，
解得 或 ，
故 为 或 .
诱导公式（共16题）
一、单选题
1．（23-24高一上·山东菏泽·期末） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.
【详解】 .
故选：C.
2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用诱导公式 ，求解即可.
【详解】由诱导公式 ，且 ，
可得 ，即 .
故选：D.
二、多选题
3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若角 是 的三个内角，则下列结论中一定成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】结合三角形的内角与利用诱导公式逐项判断.
【详解】对于A： ，故A正确；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，故C错误；
学科网（北京）股份有限公司对于D： ，故D正确.
故选：AD.
4．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断.
【详解】由 .故A正确；
，故C正确；
，故D错误；
因为 ，所以 为第一或第三象限角.
若 为第一象限角，则 ，所以 ；
若 为第三象限角，则 ，所以 .
所以B错误.
故选：AC
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·福建福州·期末）若 ，则 ．
【答案】 /
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】由 ，
所以 .
故答案为：
6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若 ，则 ．
【答案】 /
【分析】利用角的变换结合诱导公式可求
【详解】因为 ，
所以
故答案为：
7．（23-24高一上·浙江丽水·期末）化简 ．
【答案】1
【分析】利用诱导公式化简求值.
【详解】 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为：1.
8．（23-24高一上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 ，线段
绕点 顺时针方向旋转 后，得到线段 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】先判断出以 为终边的角的大小，然后顺时针旋转 ，判断以 为终边的角的大小即
可得出答案.
【详解】因为 ，所以点 在单位圆 上，
且点 在 角的终边所在的直线上，
则点 的初始位置坐标 ，
线段 绕点 顺时针转动 后，点 在 角的终边所在的直线上，
所以点 所在位置的坐标为 ．
故答案为： ．
四、解答题
9．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知 ，且 为第三象限角．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解；
（2）利用诱导公式化简求值.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，又 为第三象限角，
所以 ，所以 ；
（2）由诱导公式化简得：
．
10．（23-24高一上·河南漯河·期末）（1）化简： ；
（2）化简： ．
【答案】（1）17；（2）
【分析】（1）由指数、对数运算性质运算即可；（2）由诱导公式化简即可求解.
【详解】（1）
．
（2）
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11．（23-24高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系 中，点 在角 的终边上.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数定义求得 ，进而求出 ，再由
即可得出答案；
（2）由同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】（1）点 在角 的终边上， ，
， ，
所以 ， ，
所以 .
（2） .
12．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）（1）计算：
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）2.
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用指数对数运算法则即可；
（2）先利用诱导公式求出 ，然后利用同角三角函数基本关系式即可．
【详解】（1）原式 ．
（2） ， ，
所以 ．
13．（23-24高一上·河北承德·期末）已知角 的终边经过点 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求解；
（2）首先利用诱导公式化简，再转化为正切表示的式子，即可求解.
【详解】（1）由三角函数的定义可知 ，解得 .
所以 .
（2）原式
学科网（北京）股份有限公司.
14．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知 ．
(1)若 是第三象限角，求 ， 的值；
(2)先化简再求值： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平方关系、商数关系结合 是第三象限角即可求解.
（2）由诱导公式化简并化成关于 的齐次式，代入即可求解.
【详解】（1）因为 ， ，若 是第三象限角，
则解得 .
（2）由题意 ，
若 ，则原式 .
15．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）计算下列各式的值:
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由对数运算法则、指数以及分数指数幂的运算法则求解即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）由诱导公式以及特殊三角函数值即可求解.
【详解】（1） .
（2） .
16．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知 ，α是第三象限角，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解；
（2）利用诱导公式化简求值.
【详解】（1）因为 ，α是第三象限角，
则 ，
所以tan ；
（2） .
学科网（北京）股份有限公司扇形中的最值问题（共8题）
1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知扇形的半径为 ，弧长为 .若其周长的数值为面积的数值
的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该扇形面积的最小值为8
B．当扇形周长最小时，其圆心角为2
C． 的最小值为9
D． 的最小值为
【答案】BCD
【知识点】基本不等式求和的最小值、扇形面积的有关计算
【分析】由题意，知 ，则 ，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于
选项D利用二次函数可解.
【详解】由题意，知 ，则 ，
所以扇形面积
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，选项A错误；
扇形周长为
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时，圆心角为 ，选项B正确；
学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 ，即 时，等号成立，选项C正确；
,
当 时，上式取得最小值为 ，选项D正确.
故选：BCD.
2．（22-23高一上·吉林·期末）如图，在扇形OPQ中，半径 ，圆心角 ，C是扇形
弧PQ上的动点，矩形 内接于扇形，记 ．则下列说法正确的是（ ）
A．弧PQ的长为
B．扇形OPQ的面积为
C．当 时，矩形 的面积为
D．矩形 的面积的最大值为
【答案】ACD
【知识点】三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、扇形面积的有关计算、弧
长的有关计算
【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得 的长，
学科网（北京）股份有限公司即可求出矩形 的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C，D.
【详解】由题意知，在扇形OPQ中，半径 ，圆心角 ，
故弧PQ的长为 ，A正确；
扇形OPQ的面积为 ，B错误；
在 中， ，
在 中， ,
则 的面积
，
当 时，又 ，故 ，
则 ，
则 ，
则 ，
即矩形 的面积为 ，C正确；
由C的分析可知矩形 的面积 ，
当 ，即 时，矩形 的面积取最大值 ，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键C，D选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边
学科网（北京）股份有限公司的长，从而表示出矩形 的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项
的正误.
3．（23-24高一上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
角 的顶点与坐标原点 重合，始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆 交于点 ，则阴影区域的
面积的最大值为 .
【答案】
【知识点】扇形面积的有关计算、由终边或终边上的点求三角函数值、求15°等特殊角的正弦、圆
上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】连接 ，当点 距离直线 最远时，阴影区域的面积的最大值，利用三角形的面积公
式和扇形面积公式计算即可.
【详解】连接 ，当点 距离直线 最远时，阴影区域的面积的最大值，根据圆的几何特征可
得此时 且 ，如图：
设 是 的终边，则 ，所以 ，则 ，
又 ，
所以阴影区域的面积的最大值为 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
4．（23-24高一上·重庆·期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风
来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇
可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇
形展示框，则该展示框的面积最大值为 ．
【答案】 /
【知识点】扇形面积的有关计算、求二次函数的值域或最值
【分析】设该扇形的半径为 ，弧长为 ，面积为 ，由已知可得 ， ，利用扇形面
积公式结合二次函数求最值即可.
【详解】设该扇形的半径为 ，弧长为 ，面积为 ，
由已知 ，则 ， ，
所以 ，
所以当 时， 有最大值 .
故答案为： .
三、解答题
5．（22-23高一上·湖南长沙·期末）如图所示，有一块扇形钢板 ，面积是 平方米，其所在圆
学科网（北京）股份有限公司的半径为1米.
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)现在钢板 上裁下一块平行四边形钢板 ，要求使裁下的钢板面积最大.设 ，
试问如何确定 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
【答案】(1)
(2) 是 的中点， 平方米
【知识点】扇形面积的有关计算、辅助角公式、cos2x的降幂公式及应用、三角形面积公式及其应
用
【分析】（1）利用扇形面积公式列方程，从而求得扇形圆心角的大小.
（2）连接 ，设 ，将裁下的钢板的面积用 来表示，结合三角函数的性质求得面积的
最大值以及此时 点的位置.
【详解】（1）依题意， ，
设 ，则 ， ，
即扇形圆心角的大小为 .
（2）连接 ，设 ，过 作 ，垂足为 ，
在 中， ，
所以 ，
设四边形 的面积为 ，
学科网（北京）股份有限公司则
，
由于 ， ， ，
所以当 ， 时， 取得最大值为 （平方米）.
所以当 是 的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为 平方米.
6．（23-24高一上·湖南株洲·期末）在半径为 的半圆形空地上，某小区准备设计三个矩形地块栽
种一种花草，三个扇形 ， ， 的圆心角均为 ，且矩形的地块具有对称性，按如图
所示的方案，矩形分别内接于对应的扇形，分别求扇形 和 内接矩形的最大值.
【答案】 ；
【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、扇形面积的有关计算
【分析】利用锐角三角函数定义，结合矩形面积公式分别表示两个矩形面积，根据正弦二倍角公式、
辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】在扇形 中，其内接矩形为 ，如图1：
学科网（北京）股份有限公司设 ，在直角 中，由 ，可得 ， .
又 ，
所以
.
当 ，即 时，扇形 内接矩形 的面积最大，最大值为 .
在扇形 中，其内接矩形为 ，取圆弧 的中点为 ，连接 ，
设 ， ， ，如图2：
则 ，于是 ，
又 ，
所以
学科网（北京）股份有限公司，
当 时，即 时，扇形 内接矩形 的面积最大，最大值为 .
7．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为 的扇形 中； 分别为
的中点，点 在圆弧 上且 ·
(1)若 ，求梯形 的高；
(2)求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】扇形中的最值问题、任意角的概念
【分析】（1）作出梯形 的高后结合题意计算即可得；
（2）四边形 面积为 ，设 ，结合
，即可求出面积关于 的表达式，即可得最大值.
【详解】（1）连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，
由 ， ，扇形半径为4， 分别为 的中点，
故 ， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，故 为等边三角形，
则 ， ,
故梯形 的高为 ；
（2）设 ，则 ，
且此时 ，四边形 面积为：
，
∴ 时， 取最大值 .
8．（23-24高一上·浙江台州·期末）如图是一种升降装置结构图，支柱 垂直水平地面，半径为1
的圆形轨道固定在支柱 上，轨道最低点 ， ， .液压杆 、 ，牵引杆 、
，水平横杆 均可根据长度自由伸缩，且牵引杆 、 分别与液压杆 、 垂直.当液压杆
、 同步伸缩时，铰点 在圆形轨道上滑动，铰点 在支柱 上滑动，水平横杆
作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，
学科网（北京）股份有限公司使零件之间可围绕铰点转动）.
(1)设劣弧 的长为 ，求水平横杆 的长和 离水平地面的高度 （用 表示）；
(2)在升降过程中，求铰点 距离的最大值.
【答案】(1) ；
(2)
【知识点】基本（均值）不等式的应用、三角函数在生活中的应用、弧长的有关计算
【分析】（1）轨道圆心为 ，圆的半径为1，劣弧 的长为 时，有 ，由三角函数表
示出 和 的长；
（2）证明出 ，则 ，通过换元利用基本不等式求出最
大值.
【详解】（1）记轨道圆心为 ，则 ，
设劣弧 的长为 ，则 ，
得 ，
.
学科网（北京）股份有限公司（2）由已知， ， ， ，
则 ，又 ，所以 ，
则 ，
令 ，有 ，.
则 ， ，
因为 ，当且仅当 时，取到等号，
所以铰点 距离的最大值为 .
【点睛】方法点睛：
求 的最大值时，证明 ，由已知的 和 ，有 ，通过换元
，有 ，借助基本不等式可求最大值.
同角三角函数的基本关系综合应用（共9题）
1．（23-24高一上·河北唐山·期末）如图，已知直线 ， 分别在直线 ， 上， 是 ， 之
学科网（北京）股份有限公司间的定点，点 到 ， 的距离分别为 ， ， .设 .
(1)用 表示边 ， 的长度；
(2)若 为等腰三角形，求 的面积；
(3)设 ，问：是否存在 ，使得 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1) ， ；
(2)
(3)不存在 使得
【知识点】基本（均值）不等式的应用、二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角
函数基本关系、三角函数定义的其他应用
【分析】
（1）根据三角函数得到 ， 的长度；
（2）在（1）的基础上，得到方程，得到 ，结合同角三角函数关系求出 ，求
出三角形面积；
（3）得到 ，由基本不等式和三角函数有界性得到 ，故不存在 使得 .
【详解】（1）由题意得 ，
因为 ， ，
所以 ，
故 ， ；
（2）由（1）得， ， ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ；
（3）由（1）得， ， ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
显然 与 不会同时成立，
故 ，不存在 使得 .
【点睛】三角函数的思想方法常常用来解决一些与角度有关的实际问题，原因是三角函数的有界性，
且三角函数的公式众多，比如和差公式，倍角公式，半角公式等，可以很好的表达相关量的关系，
利用相关工具，解决问题
2．（23-24高一上·山西长治·期末）已知 ．
(1)若 为锐角，求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)3
【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差
角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式
【分析】（1）化简 得 ，结合平方关系求出 ，再利用两角差
学科网（北京）股份有限公司的余弦公式，即可求得答案；
（2）由（1）可得 ，化简 为 ，利用齐次式法求值，
即可得答案.
【详解】（1）由 ，得 ，
因为 锐角， ，所以 ，
可得 ；
（2）由 得 ，
则
．
3．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角 的顶点与原点
重合，始边与x轴的正半轴重合，终边和单位圆交于A点，将 绕点O按逆时针方向旋转角 后，
终边在第二象限和单位圆交于B点．点A的横坐标为 ，点B的横坐标为 ．
(1)求 的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【知识点】二倍角的余弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、三角函数的化简、求值
——同角三角函数基本关系、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及诱导公式计算即可；
（2）利用诱导公式，二倍角公式计算即可；
（3）利用三角函数定义，同角三角函数的平方关系及商数关系结合余弦的差角公式计算即可.
【详解】（1）由题意及三角函数定义可知 ， ，所以 ，
由诱导公式可知 ；
（2）由（1）及二倍角公式可知
，
又 ，所以 ，故 （负值舍去）；
（3）由题意可知 ， 为第二象限角，
所以 ，
所以
学科网（北京）股份有限公司，
因为 ， 为第二象限角， ，
则 为第二象限角，即 ，
所以
4．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数的化简、求值——同角三角函
数基本关系
【分析】（1）由辅助角公式化简后结合正弦型函数的性质即可得；
（2）由题意结合象限可得 、 ，借助二倍角公式即可得 的值.
【详解】（1） ，
则 ，即函数 的最小正周期为 ；
（2） ，
故 ，又 ，故 ，
学科网（北京）股份有限公司.
5．（23-24高一上·四川广安·期末）已知 .
(1)求 和 的值；
(2)若 为第四象限角，当 时，求函数 的最小值.
【答案】(1) ；
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的正切公式、三角函数的化简、求值——同角三角函
数基本关系、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）利用两角和的正弦与余弦公式展开化简已知等式得 ，由同角三角函
数关系得 ，再由二倍角正切公式可得 ；
（2）由 为第四象限，可得 的值，确定二次函数 ，按对称轴是否在区间内分类讨
论求最小值即可.
【详解】（1）由 得，
，
所以有 ，
化简整理得 .
若 ，则 ，这与 矛盾，
故 ，所以有 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ；
（2）由 为第四象限角，得 ，
故联立 ，可得 ，
所以 ，
二次函数 的图象开口向上，对称轴为 ，
由 ， ，则 .
当 时， ， 在 上单调递减，在 单调递增，
则 ；
当 时， 在 单调递增，
则 .
综上所述， .
6．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知 ．
(1)若 为奇函数，求 的值，并解方程 ；
(2)解关于 的不等式 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】由奇偶性求参数、解含有参数的一元二次不等式、三角函数的化简、求值——同角三角
学科网（北京）股份有限公司函数基本关系、对数的运算性质的应用
【分析】（1）由 为奇函数，可令 ，求出 的值，并根据对数运算求出
，即得方程的解集；
（2）将不等式代入化简为 ，即 ，分别在
三种情况下分类讨论即可.
【详解】（1） 的定义域为R，
因为 为奇函数，则 ，
解得 ，故 ，
又 ，即 ，
所以函数 为奇函数，故 .
又 ，即 ，
解得 ，即 .
（2）因为 ， ， ，
关于 的不等式 可转化为 ，
即 ，
①当 时， ；
②当 时， ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司③当 时， 或 ，解得 或 ， ，
综上，当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 .
7．（23-24高一上·山西太原·期末）已知 ，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、
二倍角的正弦公式、给值求值型问题
【分析】（1）借助二倍角公式与三角函数基本关系将弦化为切计算即可得；
（2）结合三角函数基本关系与三角恒等变换计算即可得.
【详解】（1） ，且 ，
则 ；
（2） ，
，
， ， ，
则 ，即 ， ，
学科网（北京）股份有限公司.
8．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知第二象限角 满足________．请从下列三个条件中任选一
个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）
条件①： ， 是关于 的方程 的两个实根；条件②：角 终边上一点
，且 ；条件③： ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、
正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）选①，结合韦达定理以及一元二次方程可得 ，选②，由三角函数定义可
得 ，选③，由两角差的正切公式可得 ；代入 即可得解.
（2）利用诱导公式化简成 的齐次式即可得解.
【详解】（1）选择①
由于 ， 是关于 的方程 的两个实根，
则 ， 为第二象限角，
学科网（北京）股份有限公司解得 ， ；
则 ，
选②
因为角 终边上一点 ，且 ，
所以 ，且 为第二象限角，解得 ，
则点 ；
所以 ，
选③
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
（2） .
9．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知 ， .
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同
角三角函数基本关系
【分析】（1）利用两角差正切公式求得 ，然后化弦为切及二倍角公式，结合“1”的代换
化弦为切求解即可；
（2）先利用同角三角函数关系求得 ，然后利用两角和正切公式求值，最后根据角的范围
确定角的大小.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以
；
（2）因为 ，且 ，所以 ，所以 .
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，所以 .
诱导公式综合应用（共25题）
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·山西长治·期末）已知 ，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数
的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式
【分析】利用诱导公式化简 的表达式，可判断A，B；利用齐次式法求值，可判断C；化
为 ，求值，即可判断D.
【详解】由题意得 ，A错误，B正确；
当 时， ，C正确；
若 ，则 ，D正确．
故选：BCD．
2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
学科网（北京）股份有限公司【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系
【分析】利用诱导公式整体求值判断A,同角三角函数基本关系判断B,利用二倍角余弦公式判断CD.
【详解】已知 ，则 ,A正确；
因为 ,则 ，故 ，故B错误；
，C正确；
，故 ，D正确.
故选：ACD
3．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知函数 的部分图
象如图所示， 图象经过点 和点 ，且 在区间 上单调，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦型函数的单调性求参数、三角
学科网（北京）股份有限公司函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据图象先确定出 的值，然后根据图象所过的点以及单调性结合分类讨论确定出 的
值，则AB选项可判断；求出 的解析式，代入计算可判断出C选项；计算并化简
，即可判断出D选项.
【详解】由图象可知： ，所以 ，
因为 的图象过 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
因为 在区间 上单调，所以 ，所以 ，
①当 时， ，
因为 图象过 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
此时 ，显然 在 附近单调递增，这与图象矛盾，故B错误；
②当 时， ，
因为 图象过 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
所以 ，当 时，令 ，
此时 在 上单调递减，故A正确；
因为 ，故C正确；
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
，
所以 ，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的图象与性质的综合运用，对学生的分析与计算能力要求
较高，难度较大.解答本题的关键在于：分析出 取值并结合单调性求解出 的值后，要根据图象
对所得结果进行检验，排除一组 的取值，由此才可继续分析剩余选项.
4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）在①角 的终边与单位圆的交点为 ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答
问题．
已知 ，且 ，_________．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的
化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】（1）选条件①：根据 满足单位圆方程求解；选条件②：根据正弦的二倍角公式，
结合同角三角函数的关系求解；选条件③：根据同角三角函数的关系求解；均可得
的值，再根据诱导公式化简即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意可得 ，再根据 ，展开后根据同角三角函数的关
系结合角度范围分别求解正余弦值，从而求得 ，进而根据角度范围可得 .
【详解】（1）选条件①：因为角 的终边与单位圆的交点为 ，
可得 ，又 为锐角，所以 ，
所以由三角函数的定义可得
选条件②：
因为 ， 为锐角，所以 ；
又因为 ，得 .
选条件③：因为 ， ，
所以 得 ，
又因为 为锐角，所以 ， ， .
故
；
（2） ，
由（1） ， ，
学科网（北京）股份有限公司.
.
5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知角 的终边经过点 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值
——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）由三角函数定义得 ，进一步结合诱导公式化简求值即可；
（2）由平方关系、商数关系化成关于 的齐次式即可求解.
【详解】（1）由条件知 ，
．
（2）
．
6．（23-24高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系xOy中，角 的始边为 轴的非负半轴，终
学科网（北京）股份有限公司边经过第四象限内的点 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、
诱导公式二、三、四、诱导公式五、六
【分析】（1）利用角 的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点 ，得出
，求解 即可；
（2）利用诱导公式转化为 ，结合三角函数定义即可求值.
【详解】（1）因为角 的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点 ，
，
所以 ，且 ，
解得
（2）
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以原式
7．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数 ．
(1)化简 的解析式；
(2)若 ，且 ， ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的
化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式求出结果；
（2）利用三角函数的值和角的恒等变换求出结果．
【详解】（1）
（2）由于 ，
故 ，
所以 ，
由于 ，
故 ， ， ，
所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司故 ， ，
故
，
所以 ．
8．（23-24高一上·安徽安庆·期末）（1）求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【知识点】诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、对数的运算性质
的应用、对数的运算
【分析】（1）根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可；
（2）由已知条件可得 ，再利用诱导公式及同角的商数关系化简原不等式即可得答案．
【详解】（1）
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，即 或 ，
又 ， 为第二象限角，所以 ，所以 ；
学科网（北京）股份有限公司所以 .
9．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系 中，角 的终边 与单位圆交于
点 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解.
（2）利用诱导公式化简即可求解.
【详解】（1）由三角函数的定义知：
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）因为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，
所以 ．
10．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知 ，
(1)求 的值
(2) .
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系
【分析】（1）利用同角三角函数的关系结合诱导公式求解即可.
（2）利用同角三角函数的关系求解即可.
【详解】（1）因为 ，
又因为 ，所以 .
（2）
11．（23-24高一上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系xoy中，角 与 的顶点均为坐标原点O，
学科网（北京）股份有限公司始边均为x轴的非负半轴．若角 的终边OP与单位圆交于点 ，将OP绕原点O
按逆时针方向旋转 后与角 的终边OQ重合．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系、正、余弦齐次式的计算、由单位圆求三角函数值
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义结合同角三角关系可得 ， ，进而
结合诱导公式运算求解；
（2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解.
【详解】（1）由题意可知： ， ，
因为 ，即 ，且 ，解得 ，
即 ， ．
又因为 ，
可得 ，
学科网（北京）股份有限公司．
所以 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ．
12．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数 ， ．
(1)若角 顶点在坐标原点，始边为 正半轴，终边与单位圆交点的横坐标为 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系、已知正（余）弦求余（正）弦、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系化简函数 的解析式，由已知条件求出 的值，
结合同角三角函数的基本关系可求得 的值；
（2）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得 的值.
【详解】（1）解：由
，
学科网（北京）股份有限公司因为 ， ， ，
所以 ，
因为角 的终边与单位圆交点的横坐标为 ，且 ，
由三角函数的定义可得 ，则 ，
因此， .
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以
.
13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系 中，锐角 和钝角 的顶角与
坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于 两点，且 .
(1)求 的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、诱导公式五、
六
【分析】（1）依题意 ，利用诱导公式化简可得 ；
（2）由 可得 ，由同角三角函数之间的基本关系可得结果.
【详解】（1）由题意可知钝角 ，
所以 .
（2）由 可得 ,
即 ，可得 ，
即 ，所以 ；
可得 ，即 ，
解得 或 .
而 为钝角，且 ，故 ，故 ,
故 .
14．（23-24高一上·湖北恩施·期末）（1）已知 ，求
学科网（北京）股份有限公司的值；
（2）已知 为第二象限角， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关
系、正、余弦齐次式的计算、sinα±cosα和sinα·cosα的关系
【分析】（1）利用诱导公式化简，可得 ，然后把原式化成齐次式，利用以求的正切函数求值；
（2）利用同角的三角函数的基本关系求值.
【详解】解：（1）∵ ，
∴由诱导公式化简得： ，
∴ ，
∴
.
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为第二象限角，∴ ，
∴ ，∴ .
15．（23-24高一上·江苏连云港·期末）求值
(1)已知 是第三象限角，且 ，求 的值；
(2)已知 ，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六、三角函数
的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到 ，再利用诱导公式即可求出结果；
（2）根据条件得到 ，从而得到 ，通过求出 ，联立
，求出 ，即可求出结果.
【详解】（1）因为 是第三象限角，且 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）因为 ①，得到 ，即 ，
又 ，所以 ，由 ，
得到 ②，联立①②得到 ，
所以 .
16．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2) 或
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同
角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式结合同角三角函数关系化简已知等式，即可求得答案；
（2）判断角所在象限，分类讨论，根据同角三角函数关系求出 的值，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
.
得 ，即 ;
（2）由 ，知 ，则 为第一象限角或第三象限角，
代入 ，得 ，
当 为第一象限角时， ， ，
所以
当 为第三象限角时， ， ，
所以
综上所述， 或
17．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（1）计算：
：
学科网（北京）股份有限公司（2）已知 是第三象限角，且
①求 的值；
②求 的值．
（3）化简： ．
【答案】（1） ；（2）① ；② ；（3） ．
【知识点】对数的运算性质的应用、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、
二倍角的余弦公式
【分析】（1）运用对数换底公式、对数的运算性质、指数幂的运算性质化简计算即得；
（2）①利用三角诱导公式和同角的基本关系式化简已知式求得 ，再根据角的象限确定
值；②将所求的弦的二次齐次式通过构造分母化弦为切即得；
（3）利用二倍角公式化单角为半角，再逆用二倍角公式，最后根据角的范围去掉根号，化简即得.
【详解】（1）
．
（2）由题意可得：①
，
即 是第三象限角， ．
② 是第三象限角， ，
学科网（北京）股份有限公司（3）由
，
原式 ．
18．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知
.
(1)化简 ；
(2)若 ，且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数
的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）先由 求得 ，再结合二倍角公式以及两角和与差的正弦公式即可求得答
案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）∵ ，∴ .
又 ，∴ ，
∴ ， ，
∴ .
19．（23-24高一上·重庆·期末）化简或计算下列各式：
(1) ；
(2)
【答案】(1)18
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、对数的运算性质的应用、指数幂的运算
【分析】（1）由指数函数和对数函数的运算性质得到结果.
（2）由半角和全角公式化简得到结果.
【详解】（1）
学科网（北京）股份有限公司（2）
20．（23-24高一上·福建莆田·期末）（1）化简求值
（2）已知 为锐角，且满足 求 的值;
【答案】（1） ；（2）
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算、对数的运算性质的应用、
对数的运算
【分析】（1）根据对数的运算法则，即可求得答案；
（2）解方程求出 ，利用诱导公式化简 ，结合齐次式法求值，即可得
答案.
【详解】（1）
；
（2）因为 为锐角，且满足 ，
解得 ，（负值舍），
故 .
21．（23-24高一上·陕西西安·期末）（1）证明差角的余弦公式
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、利用平方关系求参数、由三角函数值求终边上的
点或参数
【分析】（1）在单位圆中作角 ，利用三角函数定义写出相应点的坐标，再由
关系利用两点间的距离公式代入整理可证；
（2）根据整体角间的关系利用诱导公式求解可得.
【详解】（1）不妨令 .
如图，
设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ，
以 轴非负半轴为始边作角 ，
则它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ， .
连接 .若把扇形 绕着点 旋转 角，
则点 分别与点 重合.
学科网（北京）股份有限公司根据圆的旋转对称性可知， 与 重合，
从而 ＝ ，∴ .
根据两点间的距离公式，得：
，
化简得：
当 时，上式仍然成立.
∴对于任意角 有： .
（2）由 ，
则 ；
且 ；
，
故 .
22．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）已知角 为第四象限角，且角 的终边与单位圆交于点
.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.
（2）利用诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）在单位圆中 ，解得 ，
因为 第四象限角，所以
（2） 第四象限角
.
23．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知集合 .
(1)判断元素 ， 与集合 的关系，并说明理由；
(2)求 .
【答案】(1) ， .
(2)
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、交集的概念及运算、判断元素与集合的关系
【分析】（1）由元素与集合的关系求解即可；
（2）由 结合诱导公式求出 ，再由交集的定义求解即可.
【详解】（1）令 ，解得： ，故 ；
学科网（北京）股份有限公司令 ，解得： ，故 ；
故 ， .
（2）因为 ， ，
当 为偶数，则 ，
当 为奇数，则 ，
所以 ，所以 .
24．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与
轴非负半轴重合，终边过点 ．
(1)求 的值；
(2)已知 为锐角， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】给值求角型问题、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算、由终
边或终边上的点求三角函数值
【分析】（1）利用三角函数的定义求出 的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的
值；
（2）求出 的值，利用两角差的正弦公式求出 的值，结合角 的范围可求得角 的
值.
【详解】（1）解：因为角 的终边过点 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ．
．
（2）解：因为角 的终边过点 ，所以 为第四象限角，即 ，
又因为 为锐角，则 ，可得 ，
因为 ，则 ，
因为 ，所以 ．
则
．
所以 ．
25．（22-23高一上·陕西榆林·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，
所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后
按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为 米.以盛水筒P刚
浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒
P在水面下，则h为负数）.
学科网（北京）股份有限公司(1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式 （其中 ， ，
）；
(2)若盛水筒P在 ， 时刻距离水面的高度相等，求 的最小值.
【答案】(1) ，
(2)40
【知识点】几何中的三角函数模型、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数的化
简、求值——诱导公式
【分析】（1）根据图形，利用几何知识和三角函数求解函数解析式；
（2）根据正弦方程，求解 的关系，通过分类讨论得到 的最小值.
【详解】（1）如图，过O作 交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM.
因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转 ，则 .
又因为 ， ，所以 ，
则 .
， ，
即 ， .
学科网（北京）股份有限公司（2）不妨设 ，由题意得 ，
故 ，
① ， ，解得 ， ，故 ，当且
仅当 ， 时，等号成立，
② ， ，解得 ，显然当 时， 取得最小
值，最小值为 .
综上， 的最小值为40.
【点睛】思路点睛：几何中的三角函数模型, 一般应按下面几个步骤进行：一是要认真分析题意，
借助已知或画出的示意图，弄清已知量和未知量，二是找出有关的数学模型，找出直角三角形或通
过添加辅助线构造有关的直角三角形，把问题转化为求直角三角形的边或角有关问题，三是选择合
适的三角函数表示出相应的角或线段，建立起函数模型.
学科网（北京）股份有限公司
