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2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
(1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为
(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i
(2)已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则(ð A) B为
U U
(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}
1
(3)函数 f(x)= + 4-x2 的定义域为
ln(x+1)
(A)[-2,0) (0,2] (B)(-1,0) (0,2] (C)[-2,2] (D)(-1,2]
U U
(4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B
样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同
的是
(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差
p
(5)设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为 ；命题q：函数y=cosx的图象关于直线
2
p
x= 对称.则下列判断正确的是
2
(A)p为真 (B)Øq为假 (C) pÙq为假 (D) pÚq为真
ìx+2y³2,
ï
(6)设变量x,y满足约束条件í2x+ y£4, 则目标函数z=3x- y的取值范围是
ï
î4x- y³-1,
3 3 3
(A)[- ,6] (B)[- ,-1] (C)[-1,6] (D)[-6, ]
2 2 2
(7)执行右面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
æpx pö
(8)函数y=2sinç - ÷(0£x£9)的最大值与最小值之和为
è 6 3ø
(A)2- 3 (B)0 (C)－1 (D)-1- 3
(9)圆(x+2)2 + y2 =4与圆(x-2)2 +(y-1)2 =9的位置关系为
第1页 | 共8页(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
cos6x
(10)函数y= 的图象大致为
2x -2-x
x2 y2
(11)已知双曲线C ： - =1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C :x2 =2py(p>0)的焦
1 a2 b2 2
点到双曲线C 的渐近线的距离为2，则抛物线C 的方程为
1 2
8 3 16 3
(A) x2 = y (B) x2 = y (C)x2 =8y (D)x2 =16y
3 3 [来源:Z_xx_k.Com]
1
(12)设函数 f(x)= ，g(x)=-x2 +bx.若y= f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不
x
同的公共点A(x,y ),B(x ,y )，则下列判断正确的是
1 1 2 2
(A)x +x >0,y + y >0 (B)x +x >0,y + y <0
1 2 1 2 1 2 1 2
(C)x +x <0,y + y >0 (D)x +x <0,y + y <0
1 2 1 2 1 2 1 2
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
(13)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为1，E为线段BC上的一
1 1 1 1 1
点，则三棱锥A-DED 的体积为＿＿＿＿＿.
1
(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得
到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，2
6.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，
[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本
中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温
不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.
(15)若函数 f(x)=ax(a>0,a¹1)在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数
g(x)=(1-4m) x 在[0,+¥)上是增函数，则a＝＿＿＿＿.
(16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始
位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上
uuur
沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为＿
第2页 | 共8页＿＿＿.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
(17)(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.
(Ⅰ)求证：a,b,c成等比数列；
(Ⅱ)若a=1,c=2，求△ABC的面积S.
(18)(本小题满分12分)
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分
别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片
颜色不同且标号之和小于4的概率.
(19) (本小题满分12分)
如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，
CB=CD,EC ^BD.
(Ⅰ)求证：BE=DE；
(Ⅱ)若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，
求证：DM ∥平面BEC .
(20) (本小题满分12分)
已知等差数列{a }的前5项和为105，且a =2a .
n 20 5
(Ⅰ)求数列{a }的通项公式；
n
(Ⅱ)对任意mÎN*，将数列{a }中不大于72m的项的个数记为b .求数列{b }的前m项和
n m m
S .
m
第3页 | 共8页(21) (本小题满分13分)
x2 y2 3
如图，椭圆M : + =1(a>b>0)的离心率为 ，直线x=±a和y=±b所围成的矩
a2 b2 2
形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l:y=x+m(mÎR)与椭圆M有两个不同的交点
|PQ|
P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求 的
|ST |
最大值及取得最大值时m的值.
(22) (本小题满分13分)
lnx+k
已知函数 f(x)= (k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y= f(x)在
ex
点(1, f(1))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值；
(Ⅱ)求 f(x)的单调区间；
(Ⅲ)设g(x)=xf¢(x)，其中 f¢(x)为 f(x)的导函数.证明：对任意x>0,g(x)<1+e-2.
[来源:学科网ZXXK]
第4页 | 共8页参考答案：
一、选择题：
(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B
(12)解：设F(x)=x3 -bx2 +1，则方程F(x)=0与 f(x)=g(x)同解，故其有且仅有两个不
2 2
同零点x,x .由F¢(x)=0得x=0或x= b.这样，必须且只须F(0)=0或F( b)=0，因
1 2 3 3
2 3 2
为F(0)=1，故必有F( b)=0由此得b= 3 2 .不妨设x 0，由此
1 1 1 2 1 2 2
1 1 x +x
知y + y = + = 1 2 <0，故答案为B.
1 2 x x xx
1 2 1 2
二、填空题
1 1 1 1
(13) 以△ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1，故V = × ×1×1×1= .
6 1 3 2 6 [来源:Zxxk.Com]
(14)9
最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩
形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.
1
(15)
4
1
当a>1时，有a2 =4,a-1 =m，此时a=2,m= ，此时g(x)=- x 为减函数，不合题意.
2
1 1
若00得- 50，从而 f¢(x)>0，
当x>1时k(x)<0，从而 f¢(x)<0.
综上可知， f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,+¥).
(III)由(II)可知，当x³1时，g(x)=xf¢(x)≤0＜1+e-2，故只需证明g(x)<1+e-2在
00，∴g(x)= <1-xlnx-x.
ex
设F(x)=1-xlnx-x，xÎ(0,1)，则F¢(x)=-(lnx+2)，
当xÎ(0,e-2)时，F¢(x)>0，当xÎ(e-2,1)时，F¢(x)<0，
所以当x=e-2时，F(x)取得最大值F(e-2)=1+e-2.
所以g(x)0，g(x)<1+e-2.
[来源:学,科,网]
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