数学-2023年高考考前押题密卷（江苏卷）（全解全析）_2023高考押题卷_学易金卷-2023学科网押题卷（各科各版本）_2023学科网押题卷-学易金卷-数学

数学-2023 年高考考前押题密卷（江苏卷） 数学·全解全析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的． 1．设全集 ， ， ，则如图所示的阴影部分所表示的集 合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得图中阴影部分表示的集合是 ．∵ ， ∴ ．又因为 ，∴ ． 故选：C． 2．已知i为虚数单位，复数z满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ，所以 . 故选：B 3．已知函数 ， 图像上每一点的横坐标缩短到原来的 ，得到 的图像， 的部分图像如图所示，若 ，则 等于（ ） 1 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据 ， 可得 ，故 ， 所以 ，故 的周期为24，所以 ， ， 故选：A． 4．“ ”是“圆 ： 与圆 ： 有公切线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】圆 ： 的圆心 ，半径 ，圆 ： 的圆 心 ，半径 ， 若两圆有公切线，则 ，即 ，解得 或 ， 所以“ ”是“圆 ： 与圆 ： 有公切线”的充分而 不必要条件. 故选：A. 5．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高 于 ，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于 人数的统计量， 能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ） ①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为 2，标准差为 ． A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据中位数、众数、平均数、标准差等知识确定正确答案. 【解析】任意连续7天，每天不超过5人体温高于 的人数为2，2，2，3，3，4，6， 则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误； 任意连续7天，每天不超过5人体温高于 的人数为0，1，2，4，4，4，6， 2 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误； 对于②，将 个数据从小到大排列为 ， ， ，所以 ， 由于 是自然数，且 ， 所以 都不超过 ，②正确. 对于④，将 个数据从小到大排列为 ， ， ， ， ， 由于 是自然数，若自然数 大于 ，则 ，矛盾， 所以 都不超过 ，④正确. 综上所述，正确的为②④. 故选:D 6．袋子中有大小相同的 个白球和 个红球，从中任取 个球，已知 个球中有白球，则 恰好拿到 个红球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求总的取球方法，再求恰好取到两个红球的方法，利用古典概率可得答案. 【解析】因为取到的3个球中有白球，所以共有 种方法， 3个球中恰好有两个红球的取法共有 种， 设事件 “取到的3个球中有白球，且恰好有2个红球”， 则 . 故选：A. 7．已知双曲线 的上、下焦点分别为 ， ，过 的直线交双曲线 上支于A，B两点，且满足 ， ，则双曲线的离心率为（ ） 3 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 ， ， 则 ， ． 在 中，由余弦定理得 ， 即 ． 在 中，由余弦定理得 ， 化简得 ，因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， ∴双曲线的离心率 ， 故选：D． 8．已知数列 是各项为正数的等比数列，公比为q，在 之间插入1个数，使这3个 数成等差数列，记公差为 ，在 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为 ，在 之间插入n个数，使这 个数成等差数列，公差为 ，则（ ） A．当 时，数列 单调递减 B．当 时，数列 单调递增 C．当 时，数列 单调递减 D．当 时，数列 单调递增 【答案】D 【详解】数列 是各项为正数的等比数列，则公比为 ， 4 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司由题意 ，得 ， 时， ，有 ， ，数列 单调递增，A选项错误； 时， ， ，若数列 单调递增，则 ， 即 ， 由 ，需要 ，故B选项错误； 时， ，解得 ， 时， ，由 ，若数列 单调递减，则 ， 即 ，而 不能满足 恒成立，C选项错误； 时， ，解得 或 ，由AB选项的解析可知，数列 单调递增，D选项正确. 故选：D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ） A． 是偶函数 B．若命题“ ， ”是假命题，则 C．设 ， ，则“ ，且 ”是“ ”的必要不充分条件 D． ， 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项 ；根据特称命题的的真假判断选项 ；根 据必要不充分条件的判断即可判断选项 ；根据等式的性质判断选项 . 【解析】对于 ，函数 的定义域为 ，且 ，所以函数为偶函数，故选项 正确； 对于 ，若命题“ ， ”是假命题，则 恒成立， 所以 ，解得 ，故选项 正确； 5 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司对于 ，若 ，且 ，则 成立，反之不一定成立，例如： 满 足 ，但是 ，故“ ，且 ”是“ ”充分不必要条件， 故选 错误； 对于 ，若 ，则 ，当 时方程有解，所以 ， ，故选项 正确； 故选： . 10．如图，在平行四边形 中， ， ， ，沿对角线 将△ 折起到△ 的位置，使得平面 平面 ，下列说法正确的有（ ） A．三棱锥 四个面都是直角三角形 B．平面 平面 C． 与 所成角的余弦值为 D．点 到平面 的距离为 【答案】ABD 【分析】先根据勾股定理判断 ，再由面面垂直得线线垂直，可判断A、B，以 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算线线角判断C，应用向量法求点面距 离可判断D. 【解析】△ 中 ， ， ， 由余弦定理得 ，故 ，所以 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 面 ， 所以 平面 ， 平面 ，则 ；同理 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ，A、B正确； 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， 因为 ， ， 所以 ，即 与 所成角的余弦值为 ，C错误； 由上知： ，若 为面 的法向量， 6 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司所以 ，令 ，则 ， 而 ，则 到平面 的距离为 ，D正确. 故选：ABD. 11．设椭圆 ， ， 为椭圆 上一点， ，点 关于 轴对称，直线 分别与 轴交于 两点，则（ ） A． 的最大值为 B．直线 的斜率乘积为定值 C．若 轴上存在点 ，使得 ，则 的坐标为 或 D．直线 过定点 【答案】BCD 【分析】利用两点间距离公式表示出 ，结合 可得关于 的二次函数的 形式，通过讨论 与二次函数对称轴的位置关系，可求得 的最大值，知A错误；利用 斜率公式表示出 ，化简可得定值，知B正确；假设存在，可得 ， 求得 横坐标后，代入化简知C正确；表示出直线 后，根据直线过定点的求法可知 D正确. 【解析】 对于A， 在椭圆 上， ， ， 7 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司， 由题意知： ， 的对称轴为 ， 若 ，即 时， ， ； 当 ，即 时， ， ； 综上所述：A错误； 对于B， 关于 轴对称， ， ， ， ，B正确； 对于C，假设存在点 ，使得， ，则 ∽ ， ； 直线 ，直线 ， ， ， ，即 或 ，C正确； 对于D， ， ， ， 直线 ，即 ， 直线 过定点 ，D正确. 故选：BCD． 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用的问题，解题基本思路是能够利用 表示出所需的点的坐标，结合两点间距离公式、斜率公式、三角形相似关系等知识化简所 求量，从而确定选项的正误. 8 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司12．已知 ，分别是定义在R上的函数 ， 的导函数， ， ，且 是奇函数，则（ ） A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为 ，所以 （a为常数）， 所以 ．因为 ， 所以 ． 令 ，得 ，解得 ， 所以 ，则 的图象关于直线 对称，故选项 正确． 因为 ，且 ，所以 ．所以 ，即 是偶函数．因为 是奇函数，所以 的图象关于点 对称，所以 的图象关于点 对称，因为 是偶函数，所以 的图象关 于点 对称，则选项 正确． 因为 是奇函数，所以 ，所以 ， 所以 ，则 是周期为4的函数． 因为 ，所以 ，所以 ， ，则 ．因为 是奇函数， 所以 ，所以 ， 则选项 正确． 因为 ，所以 ，所以 ， ， ， ，所以，所以 ， 则选项 错误． 故选： . 9 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在 展开式中，含 的项的系数是__________． 【答案】20 【详解】 的展开式中 的系数为 ， 的展开式中 的系数为 ， 故在 展开式中，含 的项的系数为20． 故答案为：20 14．如图，无人机在离地面的高 的A处，观测到山顶M处的仰角为 ，山脚 C处的俯角为 ，已知 ，则山的高度 为___________. 【答案】 m 【分析】根据题中条件，先得到 m， ，在 中，根据正弦定理， 即可得出结果. 【解析】在 中， ，由图知 ，即 ， 在 中，由正弦定理得 ， ∵ ， ∴ m， 在 中， . 故答案为： m 10 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司15．已知函数 的定义域 ， 在 上单调递减，且对任意 的 ，有 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】令 ，得 ，令 ，得 ， 则 ，令 ， ，得 ， 所以 是偶函数， 因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增. 原不等式可化为 . 因为 ， ，且 在 上单调递增， 所以 ， 即 ，即 . 设 ， 则 ，当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以 ，所以 . 故答案为： 16．三棱锥 中， ， ，点E为CD中点， 的面积为 ，则AB与平面BCD所成角的正弦值为______，此三棱锥外接球的体 积为______． 【答案】 ## ## 【详解】设 平面 ，垂足为 ，如图， 11 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司过 作 于点 ，过 作 于 ，连接 ， 由 平面 ， 平面 ，得 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，得 ，同理 ， 从而 均为直角三角形， ∵ ， ， ∴ ，则 在 的平分线 上，易知AB与平面BCD所成角即为 ． ∵ ， ∴ ， 又 ， ，即 ，则AB与平面BCD所成角的正弦值为 ， 又 ，解得 ， 又 ， ， ，同理 ， ， 为外接球直径， 三棱锥外接球的体积为 ． 故答案为： ， . 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， ． (1)若 ，求 ； (2)记 与 的面积分别记为 和 ，求 的最大值． 12 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵ ，∴ ， ， ， ， ，............................4分 ∴ ；.......................................6分 （2）设 ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，① 13 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司， 当且仅当 ， 时取最大值 ； 综上， ， 的最大值是 ......................10分 18.（12分）对于数列 ， ，的前n项和，在学习完“错位相减法”后， 善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解， 以下是她的思考过程： ①为什么 可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即 第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零 ②不妨将 ， 也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定， 所以运用待定系数法可得 ，通过化简左侧并与 右侧系数对应相等即可确定系数 ③将数列 ， 表示成 形式，然后运用 “裂项相消法”即可！ 聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基 础的“错位相减法”掌握． (1)请你帮助小周同学，用“错位相减法”求 的前n项和 ； (2)请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求 的前n项和 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 所以 ① 则 ②.............................4分 所以①-②得： 所以 ；.............................................................................6分 （2）因为 ，设 14 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司， 比较系数得： ，得 ，所以 ，......................8分 所以 ....12分 19.（12分）某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三 局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为 ，从第二局开始，每局获胜的概率 受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为 ，若上局未获胜，则该局 获胜的概率为 ，且一方第一局、第二局连胜的概率为 . (1)在一场比赛中，求甲以3：1获胜的概率； (2)设一场比赛的总局数为 ，求 的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】(1)甲以3：1获胜的有3种情况，甲在第一、二局获胜，或者第一、三局获胜，或 者第二、三局获胜，将3种情况的概率计算出即可求解； (2)先求出随机变量 的可能取值，然后求出其相应的概率，列出分布列，由数学期望的计 算公式求解即可. 【解析】（1）令事件 为甲在第i局获胜， ，2，3. 甲连胜两局的概率 ， 所以 .................................................2分 故在一场比赛中，甲以3∶1获胜的概率为： ...............4分 （2）X可能的值为3，4，5. ， 15 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司， ，.......................................8分 所以 的分布列： X 3 4 5 所以 ........................12分 20．（12分）如图1，在梯形 中， ， ， ， ， ， 线段 的垂直平分线与 交于点 ，与 交于点 ，现将四边形 沿 折起， 使 ， 分别到点 ， 的位置，得到几何体 ，如图2所示． (1)判断线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ，若存在，求出点 的位置； 若不存在，请说明理由． (2)若 ，求平面 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)存在，点 为线段 的中点 (2) ． 【详解】（1）当点 为线段 的中点时，平面 平面 ． 证明如下：由题易知 ， ， ，因为点 为线段 的中点， 所以 ， ，所以四边形 是平行四边形，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 连接 ，因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，....................4 所以 ，且 ，又 ， ，所以 ， ，所以 16 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司四边形 是平行四边形，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 因为 平面 ， 平面 ， ， 所以平面 平面 ．......................................................6分 （2）因为 ， ， 所以 ，所以 ， 又 ， ，所以 ， ， 两两垂直． 故以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 所以 ， ， ． 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ，得 ，取 ，得 ． 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 取 ，得 ．........................................10分 设平面 与平面 所成角为 ， 则 ， 所以 ， 所以平面 与平面 所成角的正弦值为 ．.........................12分 21．（12分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .点P到 17 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司抛物线 的准线的距离为 . (1)求椭圆 和抛物线 的方程； (2)如图过抛物线 的焦点F作斜率为 的直线交抛物线 于A，B两点（点A在x 轴下方），直线 交椭圆 于另一点Q.记 ， 的面积分别记为 ，当 恰好平分 时，求 的值. 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）由椭圆离心率和经过点 可得答案； （2）设 ， ， ，设直线 的斜率为 ，且 A，F，B共线得 ，从而 ， ， ，可求出直线 的斜 率为 .当 平分 时，利用 ，求出 ，从而 的值，由此 直线 ，由于 ，联立直线 和椭圆方程可得 ，再利用 ， 可得答案. 【解析】（1）由于椭圆 的离心率为 ，则 ， 所以 ，故设 ，由于椭圆 经过点 ， 18 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司从而 ，故椭圆 的方程为 . 由于点P到抛物线 的准线 的距离为 ， 则 ，故 ， 从而抛物线 ...........................................4分 （2）由于 ，设 ， ， ， 设直线 的斜率为 ，由于 ， 则 ， ， 由于 ， ，且A，F，B共线得 ， 故 ，从而 ， ， 从而 ， ，.....................6分 由于 ，则直线 的斜率为 ，当 平分 时， 则 ，即 ，即 即 ，从而 或 ， 从而 或 ，由于 ，故 ， 19 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司由此直线 .由于 ， 考虑到 ，从而 ， 从而 ，联立 ， 即 ，从而 ，则 ，..................10分 从而 ， 由此 ， ， 从而 ，从而 . ................................................................12分 22.（12分） 已知函数 f xealnxax2aaR ． (1)判断 f x 在区间 e， 上的单调性； 4 (2)若 f x恰有两个不同的零点 x ， x ，且 x x ，证明：x 1 3x 2 a a 4． 1 2 1 2 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 exax 【解析】（1）求导得 fx x ，分两种情况：若 a0 ，若 a0 ，讨论 f x的单调 性，进而可得答案． ea  （2）由（1）可知若 有两个不同的零点，则 ，且极大值 f  0， f x a0  a  ea  ea   ea    ea   f  ealn ea2aea ln 12a，即ea ln 10，当 时，又  a   a    a     a   a0 x x ea x 2 1  t  2 ealnx ax 2a0 ealnx ax 2a0 20 lnx lnx a x 1 1 2 2 2 1 1 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司x x ea x ，且 ，两式相减可得 2 1  ，不妨设t  2 ， ealnx ax 2a0 ealnx ax 2a0 lnx lnx a x 1 1 2 2 2 1 1 ea  lnt tlnt  ea t1lnt 2ea 则 且 ，x x      ，进而可得x x  ，要证 t1 x 2 tx 1 1 2 a t1 t1 a t1 1 2 a 4 x 3x a 4，即证 a ，即可得出答案． 1 2 a 2e2 a2 ea eaax 【详解】（1）解： fx a ， x x 若a0，则 f 'x0恒成立， 所以 f x 在 e， 上单调递增，  ea  若 ，当x0， 时， ， 单调递增， a0  a  f�( x) >0 f x ea  当x ，时， ， 单调递减，  a  f 'x0 f x ea 下面判断 与 的大小关系， a e ea 令ga (a0)， a eaa1 则ga (a0)， a2 所以当a0，1 时，ga0， 所以ga 在 0，1 上单调递减， 当a1， 时，ga0， 所以ga 在 1， 上单调递减， ea 所以ga g(a) g1e， a min ea 所以 a e，即 ea1a ，*当且仅当 a1 时，取等号，  ea  ea  所以当 且 时， 在e， 上单调递增，在 ，上单调递减， a0 a1 f x  a   a  当a1时， f x 在 e， 上单调递减， 综上所述，当a0， f x 在 e， 上单调递增， 当a1时， f x 在 e， 上单调递减， 21 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 ea  ea  当 且 时， 在e， 上单调递增，在 ，上单调递减．..........4分 a0 a1 f x  a   a  ea  （2）证明：由 可知若 有两个不同的零点，则 ，且极大值 f  0， 1 f x a0  a  ea  ea   ea   f  ealn ea2aea ln 12a，  a   a    a   ea 由不等式*可得 e， a  ea   所以ea ln 10，   a   ea  所以当 时， f  0恒成立， a0  a  又ealnx ax 2a0，且ealnx ax 2a0， 1 1 2 2 x x ea 两式相减可得 2 1  ， lnx lnx a 2 1 x 不妨设t  2 ，则 且 ， x x tx 1 t1 2 1 t1x ea ea lnt 所以 1  ，即x   ， lnt a 1 a t1 ea tlnt 所以x   ， 2 a t1 ea  lnt tlnt  ea t1lnt x x      ， 1 2 a t1 t1 a t1 2t1 设htlnt ， t1 1 4 (t1)2 ht   0， t (t1)2 t(t1)2 t1lnt 所以 hth10 ，即 2， t1 2ea 所以x x  ， 1 2 a ea  由 可得x  ，，...........................10分 x x 2  a  1 2 4 要证x 3x a 4， 1 2 a 22 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司2ea 4 需要证 2x a 4， a 2 a 4ea 4 只要证 a 4， a a 即4ea a24a4， a 即 ， 2e2 a2 a a 即证e2  1，由*可证， 2 4 所以x 3x a 4即证．.....................12分 1 2 a 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是：由a0时，函数有两个零点，由 x x ea x ，且 ，两式相减可得 2 1  ，设t  2 ， ealnx ax 2a0 ealnx ax 2a0 lnx lnx a x 1 1 2 2 2 1 1 ea t1lnt 2ea 4 ，构造x x   ，进而得到x x  ，将x 3x a 4，转化为 t1 1 2 a t1 1 2 a 1 2 a a 2e2 a2证明而得解. 23 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司24 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司