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NT20 名校联合体高三年级 1 月质检考试
数学（一）
考试说明：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．复数 的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．样本数据3，8，4，6，27，9，1，5的第75百分位数为（ ）
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
3．已知向量 与 ，若 ，则 （ ）
A.4 B．-4 C.1 D．-1
4．已知数列 是等比数列，若 ，则 （ ）
A． B．-1 C． D.2
5．若椭圆 的离心率为 ，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数 及其导函数 的定义域均为 为奇函数，
，若方程 在区间 上恰有四个不
同的实数根 ，则 （ ）
A.2 B.4 C.8 D.6
8．如图，几何体 中， 是正三角形， ，
平面 分别为 的中点，直线 与平面
关注中学英语课堂, 获取更多资料相交于点 ．则 的值为（ ）
A.2 B.3 C． D.4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题不正确的有（ ）
A．斜二测画法不会改变边长比例
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大
D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面
10．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 的极大值为0
C． 有三个零点
D．曲线 在 处的切线方程为
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在 的右支上， 的内切圆圆心
为 ，过 作 ，垂足为 为坐标原点，则（ ）
A．双曲线 的离心率为 B．
C．圆心 的横坐标为1 D． 为双曲线 的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线 的倾斜角为 ，则 ___________．
关注中学英语课堂, 获取更多资料13．已知点 ，点 是抛物线 上的一点，点 是圆 ． 上的一点，
则 的最小值为___________．
14．在Rt 中， 为空间中的一个点， ，则三
棱锥 体积的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 为 边上一点，且 ，求 ．
16．（本小题满分15分）
已知 ， 两点．
（1）求以线段 为直径的圆的标准方程；
（2）若动点 满足 为 的中点，求点 的轨迹方程.
17．（本小题满分15分）已知椭圆 的上焦点为 ，焦距为2，椭圆 的上顶
点到 的距离与它到直线 的距离之比为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过点（0，4）且斜率存在的直线与椭圆 交于 两点，求 的值．
18．（本小题满分17分）
如图，斜三棱柱 的体积为 为 上一点， 平面
为锐角．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
关注中学英语课堂, 获取更多资料19．（本小题满分17分）
将平面内任意向量 绕坐标原点 逆时针方向旋转角 ，得到向量
．已知双曲线 ，将双曲线 绕点 逆时针旋
转 后得到曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）点 在曲线 上，曲线 在点 处的切线为直线 ．
（i）若 与两坐标轴分别交于 两点，求 的面积；
（ii）若 两点都在曲线 上（异于点 ），且满足 ，求证： ．
NT20 名校联合体高三年级 1 月质检考试数学（一）
参考答案
1．【答案】B
【解析】 ，所以共轭复数的虚部为 ，故选B．
2．【答案】C
【解析】数据1，3，4，5，6，8，9，27共8个，则 ，
因此第75百分位数为 ，故选C．
3．【答案】D
关注中学英语课堂, 获取更多资料【解析】 ，因为 ，则 ，解得 ．故选D．
4．【答案】C
【解析】由等比数列的性质得 ，解得 ．故选C．
5．【答案】C
【解析】因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，即 ，所以该椭圆的焦距为 ．
故选C．
6．【答案】A
【解析】 ，且 ，解得 或 ．
由 可得 ；而 还可能得 ，
由此可知：“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选A．
7．【答案】D
【解析】取 ，得 ，即 为奇函数；
取 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 的周期为 ．
又 为奇函数，所以 的图象的一个对称中心为 ，
故 图象的对称轴为直线 ，结合上面结论可得直线 也是 图象的对称轴，
又方程 在区间 上恰有四个不同的实数根 ，则
．
8．【答案】D
【解析】因为 分别为 的中点，
所以 ，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以 ．
关注中学英语课堂, 获取更多资料连接 ，交 于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，
则 ，又 为 的中点，
所以 为 的中点，所以 ，
又 ．
由 易知， ，即 ，解得 ，
所以 ．
故选D．
9．【答案】ABC
【解析】选项A，斜二测画法可能会改变边长比例，A选项错误；
选项B，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，
故选项B错误；
选项C，过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积是否最大，取决于轴截面三角形的顶角是否不大于
90°，故C错误；
选项D，用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确；故选ABC．
10．【答案】AB
【解析】函数 ，
由 得 或 ，所以 的单调增区间为 ．A选项正确；
当 时， 有极大值 B选项正确；
当 时， 有极小值 ，又 ，
所以 的图象与 轴有两个交点，C选项错误；
关注中学英语课堂, 获取更多资料，所以切线方程为 ，
即 D选项错误．
故选AB.
11．【答案】ABD
【解析】对于A选项：由题知 ，
所以双曲线 的离心率为 ．A选项正确；
对于B选项：如图1所示，
设圆 与 的三边分别相切于点 ，
延长 交 于点 ，连接 ，
则 ，
，
因此B选项正确；
对于C选项：如图1所示，
．
解得 ，故圆心 的横坐标为2，
故C选项错误；
D选项，如图2，设双曲线 在点 处的切线为 ，作 ，
由光学性质可以知道 ，
关注中学英语课堂, 获取更多资料又 ，
所以 ，所以 为 的平分线，
故 三点共线．故D选项正确．故选ABD．
12．【答案】
【解析】由题意可得直线 的斜率为 ，所以 ，解得 ．
13．【答案】6
【解析】由题意知 是抛物线 的焦点，
过点 作准线的垂线，垂足为 ，记点 到抛物线 的准线的距离为 ，
所以 ，
当且仅当直线 与抛物线的准线垂直，点 在线段 上时，等号成立，
所以 的最小值为6．
14．【答案】
【解析】因为 ，所以 在过 点且与 垂直的平面 内，
设 平面 ，过 作 的垂线，垂足为 ，则 ，且 ，
因为 ，所以 点在以 为底面圆心的圆周上，
如图平面 平面 ，且平面 平面 ，
由图可知 到底面 的最大距离为 ，
所以三棱锥体积的最大值为
关注中学英语课堂, 获取更多资料15．【解析】
（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，
，
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，
所以
即 ，
解得 .
16．【解析】
（1）因为 为直径，则 的中点为 ，
所以圆心为 ，
半径 ，
所以圆 的标准方程为
（2）设 ，
关注中学英语课堂, 获取更多资料因为 ， 是线段 的中点，
由中点坐标公式得 ，
所以 ，
（1）知，点 的轨迹方程为 ，
将 代入得 ，
即 .
所以动点 的轨迹方程为 ．（除 两点）.
17．【解析】
（1）因为焦距为2，所以 ，即 ，
又椭圆上顶点到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，
上顶点 ，则 ，
解得 ，即 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题知 ，设直线 ，
联立 ，得 ，
则 ，解得 或 ，
由韦达定理可得 ，
所以
关注中学英语课堂, 获取更多资料所以 为定值0．
18．【解析】
（1）证明：连接 交 于点 ，
在斜三棱柱中，四边形 为平行四边形，
为 的中点，连接 ，
平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
，又在 中， 为 的中点，
为 中点，又 ，
，又 ，且 平面 ，
平面 .
（2） ，所以斜三棱柱 的高为1．
又 平面 平面
平面 平面 .
过 作 于 ，则 平面 ，即 为斜三棱柱的高，
，
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以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴，
在平面 内过 作垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则
所以 ，
取平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
19．【解析】
（1）取曲线 上任一点 ，则点 由双曲线 上一点 绕坐标原点 逆时针旋转
得到，
则
，即
（2）（i）设
关注中学英语课堂, 获取更多资料过 的切线 的方程为
即 ，令 ，得 ；
令 ，得 ；
可设 与 轴的交点 ，与 轴的交点 ，
.
（ii）由 的方程得 ，设 ，
过 的切线 的斜率
，
同理 ，
由已知
．
，所以 .
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