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昆明一中 2024 届高三第 3 次联考
数学参考答案
命题、审题组教师 杨昆华 刘皖明 李文清 李春宣 王佳文 毛孝宗 凹婷波 王在方 李露 陈泳序
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D A C C C B
1．解析：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，选B．
2．解析：由题，有 ， ．当 时，有 ，符合题意；当 时，有 ，此时
，所以 或 ，所以 ．综上，实数 的所有可能的取值组成的集合为 ，选
A．
3．第一步：将 个同学分为 组，共有 种分法；第二步：将 组分配给 个场馆，共有 种分法；所
以共有 种，选D．
4．解析：由已知 ， ，由函数 在区间 上单调
递增，知 ，选A．
5 ． 解 析 ： 由 题 意 可 知 ， ， 在 △ 中 ， 由 余 弦 定 理 得
，化简得 ，则 ，所以 ，选C．
6．解析：由已知函数关于直线 对称，且当 时单调递增，所以， ，选C．
7．解析：将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 ，所以对称
轴为 ，选C.
8．解析：由正项等比数列 可知 ， ， 成等比数列，则 ，又
所以 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取
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学科网（北京）股份有限公司等号，故 的最小值为 . 选B.
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 BC AC AC AD
f (x) f (x)=log |x|
9．解析：因为函数 为偶函数，所以 ；且偶函数 a 在 上单调递增，则
， 1<a+1<2， 2<a+2<3 , 而 f (x) 在 上 单 调 递 减 ， 故
f (a+1)>f (2)=f (−2)=f (b−2) f (a+2)<f (b+2)
， ，选BC
10．解析：对于A，因为 面
，
所以 是 与底面所成角，在 中，圆锥的母线长
是 ，半径 ， ，所以 ，则A正确；
对于B，圆锥 的侧面积为 ，表面积为
，
则B错误；
对于C，当点 与点 重合时， 为最小角，当点 与点 重合时 ，达到最大值，又
因为 与 ， 不重合，则 ，又 ，可得
，则C正确；
对于D，如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，又 为 的中点，则 ，因为 ，
所以 , 又 面 ， 面 ，所以 ，又 ， 面 ，故
，所以 为二面角 的平面角，因为点 为弧 的中点，所以 ，
，则 ，则D错误.选AC.
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学科网（北京）股份有限公司11．解析：由题意得 ，设直线 ，则点 到直线 的距离是 ，所以
，得 ， ，又因为 ， 所以
，
AC正确，选AC.
12．解析：函数的定义域为 且 ， ，令 ，得 或 ，当
或 时 ，函数单调递减；当 或 时 ，函数单调递增，可知函数的极大值
点为 ，极小值点为 ，函数在 上不单调，在 上单调递减，选AD．
三、填空题
13．解析：由已知直线 过圆心，所以 ， ，所以圆 的标准方程是
．
14．解析：因为 ，所以 ，因为
， 所 以 ， 因 为 ， 所 以
．
15．解析：正四面体的一个顶点到对应底面的距离，就是正四面体的高，如图
为底面△ 的外心， 平面 ，又 ，所以
．
16．解析：令 ，得 ，即 ．令 ， ，得
．因此 ， ， ， ， ， ， ，
，……．所以函数 是周期为 的周期函数，所以 ，即
．
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题
17．解：（1）由已知 ，所以等比数列 的公比为 ，
所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 . ………5分
（2）由（1）得：
. ………10分
18．解：（1）当点 为 的中点时， 平面 ，证明如下：
设 为 中点，连接 ．
B
1 A
1
C
因为三棱柱 中， ， 1
D
G
分别为 的中点， H
E
B
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边
A
F
C
形．
所以 ，又因为 平面 ， 平面
所以 平面 ． ………5分
（2）取 中点 ，连接 ．
z
B
因为 ， ， 1 A 1
C
1
所以△ 为正三角形，所以 ． D
G
E
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
B
O A y
F
所以 平面 ．因为△ 为等边三角形，所以 ．
C
x
以 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司依题意得 ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量 ，则
由 ，得 令 ，得 ．
取平面 的法向量 ，
设平面 与平面 所成二面角的大小为 ，则
．
所以 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ． ………12分
19．解：（1）因为 ，
由正弦定理得： ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 . ………6分
（2）因为 ，所以 ，在△ 中， ，
在△ 中，由正弦定理得
即 ，即 ，（*） ………8分
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学科网（北京）股份有限公司又因为在△ 中， ， ，
从而 ， ………10分
代入（*）式得 ，
即 ，
所以 . ………12分
20．解：（1） ，由题意可得， 在区间 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由于 在 上单调递减， ，故 . .........4分
（2）证明：当 时， ，
令 ，则
令 ，则 .
所以 在 上单调递减，且 ，
故存在 ，使得 ，
当 时， ，即 单调递增，
当 时， 单调递减，
又 ， ，所以 在 上各有一个零点，
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学科网（北京）股份有限公司从而 在 上有且仅有两个零点. .........12分
21．解：（1） 的所有可能取值为 .则
； ； ．
所以随机变量 的分布列为:
数学期望 ． ………6分
（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且 次传球后球在甲手中的概率为 ．
则有 ．
记 表示事件“经过 次传球后，球在甲手中”．
所以
．
即 ．
所以 ，且 ．
所以数列 表示以 为首项， 为公比的等比数列．
所以 所以 ．
即 次传球后球在甲手中的概率是 ． ………12分
22．解：（1）由题意得 ，因为 ，所以 ，得双曲线C的方程：
…………4分
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学科网（北京）股份有限公司(2)由题意知 ,设双曲线上的动点T的坐标为 且 ,则 .因为直线
的方程为 ,直线 的方程为 ,所以 ,
设以线段 为直径的圆Q上的任意一点为M,那么由 得圆Q的方程为
,
令 ,代入上述圆方程，得 ,
由 可得 ,因此有 ,解得 或 .所以，以线段 为直径的圆
必 经 过 两 定 点 .
………………………………………………………12分
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