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2024年高考押题预测卷
数学·全解全析
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得 ， ，
所以 ，所以 .故选：C．
2．已知复数 满足 ，则复数 的共轭复数的模 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
所以 ，所以 .故选：A.
3．设 是两个平面， 是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】D
1
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】对于A，若 ， ， ，则 相交或平行，故A错误；
对于B，若 ， ，则 或 ，故B错误.
对于C，若 ， ， ，
当 两两相交时， 两两相交，故C错误；
对于D，若 ， ， ，由线面平行的性质可得 ，故D正确故选：D.
4．将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种
数为（ ）
A．56 B．84 C．126 D．210
【答案】B
【解析】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法，
等价于将 10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法.
用3个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成4堆，
由于 10个小球中间共有 9个空隙，因此共有 种不同的分法.故选：B.
5．记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设等比数列 的公比为 ，
若 ，即 ，故 ．故选：C．
6． 的内角 的对边分别为 .已知 ， ， ，则 的外接圆半径为
（ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】A
【解析】因为 ， ， ，所以由余弦定理可得 ，
所以 ，设 的外接圆半径为 ，
由正弦定理可得 ，即 .
则 的外接圆半径为 .故选：A
7．己知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .故选：B.
8．双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ， ，过 作直线与双曲线
的左、右两支分别交于 ， 两点．若 ，且 ，则直线 与 的斜率之积
为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线定义可知 ， ，
设 ，则有 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
整理可得： ，故 ， ，
则有 ，整理可得： ，
设 ，则有 ，即 ，
故 .故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
4
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．若 是样本数据 的平均数，则（ ）
A． 的极差等于 的极差
B． 的平均数等于 的平均数
C． 的中位数等于 的中位数
D． 的标准差大于 的标准差
【答案】AB
【解析】对于A，样本数据 的平均数为 ，则 ，
故 的极差等于 的极差，故A正确；
对于B，数据 的平均数 ，故B正确；
对于C，如果 是按从小到大排列，
则 的中位数为 ，不一定等于 的中位数，故C错误；
对于D， 的方差 ，
而 的方差 ，
但当 时两组数据的方差相等，其标准差也相等，故D错误．故选：AB．
10．已知 的部分图象如图所示，则（ ）
5
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 的最小正周期为π
B． 满足
C． 在区间 的值域为
D． 在区间 上有3个极值点
【答案】AD
【解析】由图象可知， ，所以 ，故A正确；
又因为 ，所以 ，
而且 ，所以 ，所以函数解析式为 .
所以 ，故B错误；
对于C，当 时， ，所以 ，
所以 的值域为 ，故C错误；
对于D，当 时， ，当 取得 时，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司取得极值，所以 在 上有3个极值点，故D正确.故选：AD.
11．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若函数 的图象关于点 对称，
，且 ，则（ ）
A． 的图像关于点 对称 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A中，设函数 的图象关于 对称，
则 关于 对称，可得 关于 对称，
因为函数 的图像关于点 对称，可得 ，解得 ，
所以函数 的图象关于 对称，所以A正确；
对于B中，由函数 的图象关于 对称，可得 ，
因为 ，可得 ，
则 ，
两式相减得 ，即 ，所以B不正确；
对于C中，令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以函数 是以4为周期的周期函数，
由 ，可得 ，所以 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为函数 是以4为周期的周期函数，则 是以4为周期的周期函数，
所以 ，
由 ，可得 ，
即 ，令 ，可得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以C正确；
对于D中，因为 ，且函数 关于 对称，可得 ，
又因为 ，令 ，可得 ，所以 ，
再令 ，可得 ，所以 ，
由 ，可得 ，
可得
又由函数 是以4为周期的周期函数，且 ，
所以
，所以D正确.故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中常数项为 ．
【答案】16
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】依题意， 展开式的常数项为 ，
含 的项为 ，
所以 的展开式中常数项为 .
13．若抛物线 的焦点到直线 的距离为1，则实数 的值为 ．
【答案】
【解析】由抛物线 可化为 ，可得其焦点为 ，
因为抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，
可得 ，解得 或 （舍去），故实数 的值为 ．
14．某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为6）的冰淇淋
模型放到椐窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成
直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为 ．
【答案】
【解析】设上面球心为 ， 的圆心为 ， 三点在底面投影的正三角形 的中心为 ，
圆锥的顶点为 ， 边中点为 ，
连接 ，由题意可知 ， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由几何关系可得 三点共线，
由题意可得 ，
在几何体中，设三角形 的外接圆半径为 ，则由正弦定理可得 ，
由 可得 ，所以 ，
所以半球面上的最高点到平面DEF的距离为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知质量均匀的正 面体， 个面分别标以数字1到 ．
（1）抛掷一个这样的正 面体，随机变量 表示它与地面接触的面上的数字．若 求n；
（2）在（1）的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量 表示这两个正 面体与地面接触的面上的
数字和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7， 分别取值0，1，2，求 的分布列及期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【解析】（1）因为 ，所以 .
（2）样本空间 ，共有36个样本点.
记事件 “数字之和小于7”，事件 “数字之和等于7"，
事件 “数字之和大于7”.
， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司共15种，故
，共6种，
故 ；
，
，共15种，故 ；
从而 的分布列为：
0 1 2
故
16．已知函数 .
（1）若 的图象在点 处的切线与直线 垂直，求 的值;
（2）讨论 的单调性与极值.
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题得， 的定义域为 .
.
的图象在点 处的切线与直线l:2x 垂直，
，解得 .
（2）由（1）知 .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①当 时， 恒成立， 在 上为减函数，此时 无极值;
②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极小值为 .
综上可得，当 时， 在 上为减函数， 无极值;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
的极小值为 ，无极大值.
17．如图，在几何体 中，四边形 是边长为2的正方形， ， ，点 在线
段 上，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】（1）在线段 上取一点 ，使 ，
连结 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
由 ，得 ，又 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 平面 平面 ，所以 ，
又四边形 是正方形，所以 ，
所以 两两互相垂直．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由 ，得 ，
于是 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
得 ，即 ，
令 ，得 ，所以平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18．已知O为坐标原点，椭圆C： 的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，
直线PA、PB、PO的斜率分别为 ，且 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个
四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
【答案】（1） ；（2）是定值，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】（1）由题意可得 ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，化简得： ①，
又 在椭圆上， ②，
由①②得 ，
又 ，∴ ，故椭圆C的标准方程 ；
（2）设直线 的平行线与椭圆相交于点 、 （ 在上方），
直线 的平行线与椭圆相交于点 、 （ 在上方），
∴直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
又 ，∴ ，
联立 ，解得 ，∴ ，
联立 ，解得 ，∴ ，
设直线EF的倾斜角为 ，直线GH的倾斜角为 ， ，
∴ ，
则 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
∴四边形面积为：
，
故该四边形的面积为定值 .
19．已知 ，集合 其中 .
（1）求 中最小的元素；
（2）设 ， ，且 ，求 的值；
（3）记 ， ，若集合 中的元素个数为 ，求 .
【答案】（1）7；（2） 或10；（3）
【解析】（1） 中的最小元素为 .
（2）由题得 ，设 ， .
①当 时， 或 或
或 或 或 .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司经检验，当 时， ，符合题意，所以 .
②当 时， 或 或 或 .
经检验，当 时， ，符合题意，所以 .
③当 时，不符合题意.因此， 或10.
（3）设 ，则 ，其中 ，
，所以 ，
设 ，则 .
因为 ，
所以
.
因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
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