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秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2026年1月10日07:40~09:40】
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2026 年普通高等学校招生全国统一考试·第二阶段学情调研测试
数 学 试 题
·川北版·（一轮结束）·
★考生注意★
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把
答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔
在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题
卷、草稿纸上作答无效。
4. 考试结束后，只交回答题卡。
5. 考试范围：请参照2026届绵阳二诊考试范围。
◈预祝你们考试成功◈
一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。
1．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．已知复数 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． 或 B． 或
C． D．
5．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则角 的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司6．若抛物线 的准线为直线 ，则 截圆 所得的弦长为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知等差数列 公差不为0，记其前n项和为 ，若 ， ，则正整数
k的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
8．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，满分18分。
9．记等比数列 的前 项和为 ，已知 ，公比为 ，则（ ）
A． 是等比数列 B． 是等差数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
10．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则（ ）
A．当 时， B． 在区间 上单调递减
C． 当且仅当 D． 轴是曲线 的一条切线
11．已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点 是其公共点，若
双曲线E的渐近线方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的实轴长为2
B．椭圆C的离心率为
C．椭圆C的长轴长为
D．椭圆C与双曲线E的焦距相同
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。
12．已知平面向量 ， ，若 ，则 ．
13．函数 的图象在 处的切线方程是
．
14．如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，
，以D为球心，1为半径作球，则该球的球面
与面ABC（三角形及其内部）的交线长度为 ．
四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分。
15．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数 在 上的最值．
16．如图，椭圆C： 的离心率为 ，左右焦点分别为 ， ，
左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段 的中点，点O为
坐标原点.直线 与直线 相交于点M.已知 面积有最大值为 .
(1)当点M坐标为 时，求 ；
(2)证明： .
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学科网（北京）股份有限公司17．图一，四边形 是边长为2的菱形，且 ，点 为 的中点，现将
沿直线 折起，形成如图二的四棱锥 ，点 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 的夹角的大小.
18．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若 为函数 的极小值点，求a的取值范围．
(3)曲线 上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存
在，说明理由．
19．设 是项数为 且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列
称为 的“ 等比关联数列”：①数列 的项数为 ；②
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学科网（北京）股份有限公司中
任意两项乘积都是 中的项；③ 是公比大于1的等比数列．
(1)已知数列 是 的“ 等比关联数列”，且 ， ， ，求数列 的
通项公式；
(2)已知数列 是 的“ 等比关联数列”，且 的前3项成等比数列的概率为 ，
求 的值；
(3)证明： 不存在“ 等比关联数列” ．
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数学试题参考答案与试题解析
1．A
【分析】利用这些数据可以分别计算出平均数、中位数、众数、方差，再加以比较即可.
【详解】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2，
方差是 ，
加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3，
方差是 ，
所以不发生变化的是平均数，
故选：A.
2．D
【分析】首先利用复数的除法运算化简z，再利用复数的几何意义求复数对应的点.
【详解】由已知得 ，∴z在复平面内对应的点的坐标为 ，
该点在第四象限.
故选：D
3．B
【分析】利用集合的交集运算求解即可.
【详解】集合 ， ，所以 .
故选：B
4．D
【分析】先解分式不等式，求得集合 ，再利用交集的定义求解即得.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 可得 且 ，解得 或 ，
即 或 ，又 ，
故 .
故选：D.
5．C
【分析】根据余弦定理即得．
【详解】由题可得 ， ，
试题 .
故选：C．
6．B
【分析】根据抛物线方程确定准线，再应用几何法求圆截直线所得弦长即可.
【详解】由 可变形为 ，其准线方程 ，圆心 到 的距离为1，
所以直线 截 所得的弦长为 ．
故选：B
7．B
【分析】根据给定条件求得 ，进而求出通项公式，再结合前前n项和公式列出方程
求解即得.
【详解】设等差数列 公差为 ，由 ，得 ，解得 ，
， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司因此 ，整理得 ，解得 .
故选：B
8．B
【分析】由两角和差正切公式得到 ，再结合余弦二倍角公式即可求解.
【详解】解析： ，可化为 ，
即 ，即 ，解得 ，
又 .
故选：B.
9．ABD
【分析】A选项， ，故 ，为等比数列；B选项，计算出
，故 ，为等差数列，B正确；C选项，计算出
， ，C错误；D选项， ，满足 ，D正
确.
【详解】A选项，由题意得 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司其中 ，故 为等比数列，A正确；
B选项， ，故 ，
又 ，故 是等差数列，B正确；
C选项， ， ，
，其中 ，故 不是等比数列，C错误；
D选项， ，故 ，
故 ，所以 为等比数列，D正确.
故选：ABD
10．AD
【分析】根据函数的奇偶性可判断A选项，再结合导数可判断函数单调性，进而可判断最值
与切线情况，即可判断BCD选项.
【详解】
A选项：由已知函数 为 上的奇函数，且当 时， ，
所以当 时， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，A选项正确；
B选项：易知函数 ，
当 时， ，则 ，
设 ，则 ，
可知当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调
递增，
所以 ，
则当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递
增，
结合奇函数性质可知，函数 在 和 上单调递减，在 和 上单
调递增，B选项错误；
C选项：由函数单调性与奇偶性可知，当 时， ，当 时，
，
所以当 时， ，C选项错误；
D选项：由函数单调性与奇偶性可知函数图像如图所示，
可知当 时，函数取得极值，此时切线方程为 ，即为 轴，D选项正确；
故选：AD.
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学科网（北京）股份有限公司11．BC
【分析】先根据渐近线得出离心率，再根据点在双曲线上计算判断A；再根据离心率之积计
算判断B；再计算实轴及焦距判断CD.
【详解】因为双曲线E的渐近线方程为 ，则双曲线 所以椭
圆的离心率为 ，B选项正确；
设双曲线方程为 ，双曲线过 ，所以 ，所以 ，实
轴长为 ，焦距为 ，A选项错误；
椭圆的离心率为 ，所以 ，
设椭圆方程为 ，椭圆也过 ，所以 ，所以 ，长
轴长为 ，焦距为 ，C选项正确，D选项错误.
故选：BC.
12．
【分析】由向量垂直求得 ，由模的坐标运算公式求解即可.
【详解】已知平面向量 ， ，若 ，则 ,解得 ，
所以 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司13．
【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在 处的切线斜率，进而可得切
线方程.
【详解】由已知，得 ，所以 ，
所以所求切线方程为 ，即 .
故答案为： .
14．
【分析】先求出 到平面 的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可.
【详解】∵DA，DB，DC两两垂直， ，
∴ ，
所以 是边长为 的等边三角形，
所以边长为 的等边三角形的高为： ，
所以 ，
设 到平面 的距离为 ， ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
解得 ，则 ，
所以以 为球心， 为半径的球与平面 ，平面 ，平面 的交线为 个半径
为 的圆的弧线，与面 的交线为一个圆，且圆的半径为 ，
所以交线总长度为： .
故答案为： .
15．(1) ，
(2)最大值2，最小值
【分析】（1）化简 的解析式，由此求得 的最小正周期，利用整体代入法求得
的单调递减区间.
（2）根据三角函数最值的求法来求得 在 上的最值.
【详解】（1）因为
所以函数 的最小正周期 ，.
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得： ，
所以 的单调递减区间为 .
（2）因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， ，
所以 ，即 时， .
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用题干中的条件先求出椭圆的方程，再设点E的坐标，利用D点在椭圆上
即可求出点E坐标，利用两点间的距离公式即可求得结果.
（2）设出直线 的方程，与椭圆联立得到各个点坐标，利用斜率相乘等于 即可证明结
论.
【详解】（1）由题意得 ， ， ，解得 ，
，
故椭圆C的方程为 .
当点M坐标为 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 .
代入椭圆方程得 解得 或0（舍去），即 ，
又 ，故 .
（2）设直线AD： ，与椭圆C方程联立得 ， ，
又 ，故 ，则 ， ，又 ，
故直线 的斜率 ，
所以 ，故 .
17．(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）取线段 的中点为 ，利用线面平行的判定推理得证.
（2）根据给定条件，结合三棱锥的体积计算证得 平面 ，再建立空间直角坐标
系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量法求出面面角.
【详解】（1）在图二中，取线段 的中点为 ，连接 和 ，
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学科网（北京）股份有限公司由点 为 的中点，得 且 ，
又四边形 是边长为2的菱形，点 为 的中点，
所以 且 ，
则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，因此 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）在图一中，由菱形 的边长为2， ，得 都是正三角形，
而点 为 的中点，则有 ，
则 ，
设四棱锥 的高为 ，
其体积为 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为1，而 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此 平面 ，直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
由 平面 ，得 为平面 的法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，而 ，解得 ，
所以平面 与平面 的夹角的大小为 .
18．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）按 值取正负零分别讨论 在0左右两侧值的正负而得解；
（3）假定曲线 存在两个不同的点关于 轴对称，转化为曲线
上存在两个不同的点关于 轴对称，利用导数判断 单调性即可
得解.
【详解】（1） ， ，
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2） ，
①若 ，则 ， 单调递增，无极值，不符合题意．
②若 ，则当 时， ， ，所以 不可能为极
小值点，不符合题意．
③若 ，令 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，当 时， ，即
在 上单调递减，
则 ，又 ，当 时， ．
若 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 为函数 的
极小值点，符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司若 ，因为 在 上单调递增， 的值从 增到0，
所以直线 与曲线 在 上的图象有公共点，即存在 使得
，
当 时， ，即 ，
所以存在 ，使得当 时， ，
当 时， ，此时 为函数 的极小值点，符合题意．
综上， .
（3）不存在，理由如下．
假定曲线 上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为 ， ，
，
则有 ，即 ，
化简得 ．
令 ，则 ，
由 知函数 在 上单调递增，
由 得 ，即 ，这与 矛盾，
所以曲线 上不存在两个不同的点关于y轴对称.
19．(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据定义计算出 的前三项，即可写出等比数列 的通项公式；
（2）先计算出 及 的项数，再由 的公比为 ，写出确定的 ，进而
求出 ，再分两种情况讨论 的可能性，从而得到使 的前3项成等比数列的所有可能
情况，进而求出概率；
（3）先计算出 的项数，再由 的公比为 ，写出确定的 ，进而求出 ，
再求出确定的 ，推理出 ， ， 是连续三项，从而推理出 是第4项或第7
项，进而分两种情况讨论即可得证.
【详解】（1）因为 ， ， ，
由定义可知， ，
故数列 的通项公式为 ；
（2）因为 中4项均不相同，所以 有 种， 有 项，
假设 ，则 ， ， ， ．
设 的公比为 ，则 ，
又数列 的第三项 ，第四项 ，
或第三项 ，第四项 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
且 ，得 ，且 ，
或 ，
且 ，得 ，且 ，
这两种情况，不能同时成立，使得 的前3项为等比数列有4种情况，
故 ．
（3）当 时，假设 的各项从小到大排列，此时数列 有 项，
则 ， ， ， ，
因为 是等比数列，所以 ，即 ，所以 ．
设 的公比为 ，则 ，所以 ，
所以 ， ，
剩余四项为 ， ， ， ，
又公比 ，所以 ， ， 是连续三项，因此 是第4项或第7项，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，所以 ，即 ，不符合题意；
当 时， ，所以 ，即 ，不符合题意；
因此当 时， 不存在“ 等比关联数列” ．
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