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2023 年高考考前押题密卷（北京卷）
数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D B B B D D D D
❑√10 1
11.4 12.68 13. 16 .
15 3
14.4
【解答题评分细则】
16．（1）因为PA垂直于圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC，
BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为AC为圆O的直径，所以BC⊥AB, .…………（2分）
PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，AN⊂平面PAB，所以BC⊥AN，
又因为AN⊥PB，BC∩PB=B，BC,PB⊂平面PBC，
所以AN⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AN⊥PC，.…………（4分）
又因为AS⊥PC，AS∩AN=A,AS,AN⊂平面ASN，
所以PC⊥平面ASN，SN⊂平面ASN，
所以∠ASN是二面角A−PC−B的平面角. .…………（5分）
（2）设AC=2a，因为∠ACB=30∘,∠PCA=45∘，
所以AB=a,PA=2a,BC=❑√3a，
过点B作AP的平行线为z轴，并以BC,BA为x,y轴建系如图，
则A(0,a,0),B(0,0,0),C(❑√3a,0,0),P(0,a,2a)，.…………（7分）
设平面APC的法向量为⃗m=(x,y,z)，
⃗AP=(0,0,2a),⃗AC=(❑√3a,−a,0),
所以¿令x=1,则y=❑√3,z=0，
所以⃗m=(1,❑√3,0)，.…………（9分）
设平面PBC的法向量为⃗n=(x ,y ,z )，
1 1 1
⃗BC=(❑√3a,0,0),⃗BP=(0,a,2a),
学科网（北京）股份有限公司所以¿令y =2,则x =0,z =−1，
1 1 1
所以⃗n=(0,2,−1)，.…………（11分）
设二面角A−PC−B的大小为θ，
|⃗m⋅⃗n| 2❑√3 ❑√15
则cosθ=|cos⟨⃗m,⃗n⟩|= = = ，
|⃗m|⋅|⃗n| 2×❑√5 5
❑√10
所以sinθ=❑√1−cos2θ=
.…………（13分）
5
a2+c2−b2
17．（1）若选①a2−b2+c2=2，由余弦定理得cosB= ，整理得accosB=1，则cosB>0，
2ac
又sinB=
1
，则cosB=❑
√
1−
(1) 2
=
2❑√2
，ac=
1
=
3❑√2
，则S =
1
acsinB=
❑√2
；
3 3 3 cosB 4 △ABC 2 8
若选②⃗AB⋅⃗BC=−1<0，则cosB>0，又sinB=
1
，则cosB=❑
√
1−
(1) 2
=
2❑√2
，
3 3 3
1 3❑√2 1 ❑√2
又⃗AB⋅⃗BC =−accosB，得ac= = ，则S = acsinB= ；.…………（8分）
cosB 4 △ABC 2 8
3❑√2
b a c b2 a c ac 4 9
（2）由正弦定理得： = = ，则 = ⋅ = = = ，则
sinB sinA sinC sin2B sin A sinC sin AsinC ❑√2 4
3
b 3 3 1
= ，b= sinB= ．.…………（14分）
sinB 2 2 2
18．（1）由题可知
20 20
∑ x y −20x y ∑(x −x)(y −y)
i i i i 800 2❑√2
r= i=1 = i=1 = = ≈0.94， .…………（3
√ 20 20 √ 20 20 ❑√80×9000 3
❑∑(x −x) 2∑(y −y) 2 ❑∑(x −x) 2∑(y −y) 2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
分）
故可用线性回归模型拟合y与x的关系．
( 3 )
（2）设A家庭中套中小白兔的人数为X ，则X ~B 3, ，
1 1 10
3 9
所以E(X )=3× = ． .…………（5分）
1 10 10
设A家庭的盈利为X 元，则X =40X −60，
2 2 1
所以E(X )=40E(X )−60=−24．
2 1
设B家庭中套中小白兔的人数为Y ，
1
学科网（北京）股份有限公司则Y 的所有可能取值为0，1，2，3，.…………（8分）
1
2 3 5 5
P(Y =0)= × × = ，
1 3 4 6 12
1 3 5 2 1 5 2 3 1 31
P(Y =1)= × × + × × + × × = ，
1 3 4 6 3 4 6 3 4 6 72
1 1 5 1 3 1 2 1 1 5
P(Y =2)= × × + × × + × × = ，
1 3 4 6 3 4 6 3 4 6 36
1 1 1 1
P(Y =3)= × × = ，
1 3 4 6 72
5 31 5 1 3
所以E(Y )=0× +1× +2× +3× = ．
1 12 72 36 72 4
设B家庭的盈利为Y 元，则Y =40Y −60，.…………（10分）
2 2 1
3
所以E(Y )=40E(Y )−60=40× −60=−30．
2 1 4
因为−24>−30，所以B家庭的损失较大.…………（13分）
❑√2
19．（1）根据椭圆C的离心率为 知a=❑√2c，所以b=❑√a2−c2=c，如图，则|OF|=|OB|=c
2
3π
则在△A BF中，可得∠BF A = ，|A B|=❑√|OA | 2+|OB| 2=❑√3c，
1 1 4 1 1
|A B| ❑√3c
1 = =❑√6c=2×❑√3
由正弦定理得sin∠BF A ❑√2 ，
1
2
解得c=❑√2，所以a=2，b=❑√2，
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1．.…………（5分）
4 2
（2）由条件知直线l的斜率不为0，
设直线l:x=ty+m(t≠0)，P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
联立¿，得(t2+2)y2+2mty+m2−4=0，Δ>0得2t2+4>m2 .…………（7分）
学科网（北京）股份有限公司2mt m2−4
于是y + y =− ，y y = ，
1 2 t2+2 1 2 t2+2
x2 y2
因为A (−2,0)，A (2,0)，P(x ,y )代入椭圆方程得 1+ 1=1，
1 2 1 1
4 2
(
x2
)
2 1− 1
所以 y y y2 4 1， .…………（9分）
k k = 1 ⋅ 1 = 1 = =−
1 2 x +2 x −2 x2−4 x2−4 2
1 1 1 1
1 1 1
同理k k =− ，于是k =− ，k =− ，
3 4 2 1 2k 4 2k
2 3
5 1 1 5
因为k +k = (k +k )，所以− − = (k +k )，
1 4 3 2 3 2k 2k 3 2 3
2 3
k +k 5
即− 2 3= (k +k )．
2k k 3 2 3
2 3
3
又直线l的斜率存在，所以k +k ≠0，于是k k =− ，
2 3 2 3 10
y y 3
所以 1 ⋅ 2 =− ，即10 y y +3(x −2)(x −2)=0，.…………（11分）
x −2 x −2 10 1 2 1 2
1 2
又x =t y +m，x =t y +m，
1 1 2 2
所以10 y y +3(t y +m−2)(t y +m−2)=0，
1 2 1 2
整理得(3t2+10)y y +3t(m−2)(y + y )+3(m−2) 2=0，
1 2 1 2
所以(3t2+10) (m2−4) +3t(m−2) ( − 2mt ) +3(m−2) 2=0，
t2+4 t2+2
化简整理得(m−2)(2m+1)=0，
m2−4
又P、Q位于x轴的两侧，所以y y = <0，解得−2❑√30，t2= ，
16
5 16λ 20
S = ⋅ =
于是 △A 2 PQ 4 λ2+2 2，
λ+
λ
20
y=
又函数 2在(❑√30,+∞)上单调递减，
λ+
λ
( 5 )
所以△A PQ面积的取值范围为 0, ❑√30 ．.…………（15分）
2 8
20．（（1） ，即切点为 ，
该点处的斜率 ．
则 ，故 ．.…………（4分）
（2）由（1）知 ．
则 等价于 ，.…………（6分）
故
设 ，则 ，所以当 时， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，.…………（8分）
即当 时， ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ．.…………（10分）
令 ，则 ，
当 ，则 在 上为增函数．
因为 ，所以 ，又 ，.…………（13分）
由于 ，即 ，
则 ，即 ．.…………（15分）
学科网（北京）股份有限公司21．（1）(i− j)m +(j−k)m +(k−i)m =c
k i j
(j−i)m +(i−k)m +(k− j)m =c，所以，c=0
k j i
14
当b =2n 时，m =2，m =3，m = .…………（3分）
n 1 2 3 3
14 26
(1−2)· +(2−3)⋅2+(3−1)⋅3= ≠0所以，{b }不是“梦想数列”
3 3 n
（2）a =2i−1，a =2 j−1，a =2k−1，
i j k
n(a +a )
1 n
a +a +⋯+a S 2 n2，.…………（8分）
m = 1 2 n= n= =
n n n n n
k2 i2 j2
(i− j) +(j−k) +(k−i) =0所以，{c }是“梦想数列”
k i j n
a +a +a a a +a
（3）①令i=1，j=2，k=3，(1−2) 1 2 3+(2−3) 1+(3−1) 1 2=0
3 1 2
所以，a +a =2a ，即：a ､a ､a 成等差数列，.…………（11分）
1 3 2 1 2 3
②令i=1，j=2，k=n(n≥3)，
S S
(1−2) n+(2−n)a +(n−1) 2=0，
n 1 2
化简为：2S +(n2−3n)a −n(n−1)a =0，
n 1 2
2S +(n2−n−2)a −n(n+1)a =0.…………（13分）
n+1 1 2
两式相减得：2a +2na −2a −2na =0⇒a =a +nd
n+1 1 1 2 n+1 1
所以，a =a +(n−1)d(n≥4)，当n=1,2,3时也成立.
n 1
综上可得，“梦想数列”{a }是等差数列. .…………（15分）
n
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